小學等差數列講義

第二講：等差數列

一，數列有關知識點：

⒈ 數列的定義：按一定次序排列的一列數叫做數列.

注意：⑴數列的數是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數列的數相同而排列次序不同，那麼它們就是不同的數列；

⒉ 數列的項：數列中的每乙個數都叫做這個數列的項. 各項依次叫做這個數列的第1項（或首項），第2項，…，第n 項，….

例如，上述例子均是數列，其中①中，「4」是這個數列的第1項（或首項），「9」是這個數列中的第6項.

⒊數列的一般形式：，或簡記為，其中是數列的第n項

結合上述例子，幫助學生理解數列及項的定義. ②中，這是乙個數列，它的首項是「1」，「」是這個數列的第「3」項，等等

4．等差數列的定義：－=d ，（n≥2，n∈n）

後一項減前一項為一定值，我們把這個定值叫公差，用d表示

5．等差數列的通項公式：（每一項都可用通項公式來表示）

6．數列的前n項和：

數列中，稱為數列的前n項和，記為.

求和公式:總和=(首項+末項)×項數÷2=等差中項×項數

等差數列的前項和公式1：

等差數列的前項和公式2：

二．例題精講

例1，認識數列：等差數列:3、6、9、…、96,

這是乙個首項為3,末項為96,項數為32,公差為3的數列。

例2，有乙個數列：4、7、10、13、…、25，這個數列共有多少項

提示仔細觀察可以發現，後項與其相鄰的前項之差都是3，所以這是乙個以4為首項，以公差為3的等差數列，根據等差數列的項數公式即可解答。

解：由等差數列的項數公式:項數=(末項-首項)÷公差+1,可得,項數=(25-4)÷3+1=8,所以這個數列共有8項。

例3.有一等差數列：2，7,12,17，…，這個等差數列的第100項是多少？

提示：仔細觀察可以發現，後項與其相鄰的前項之差等於5，所以這是乙個以2為首項，以公差為5的等差數列，根據等差數列的通項公式即可解答

解：由等差數列的通項公式:第幾項=首項+(項數-1)×公差,可得,第100項=2+(1oo-1)×5=497,所以這個等差數列的第100項是497。

例4，計算2+4+6+8+…+1990的和。

提示：仔細觀察數列中的特點，相鄰兩個數都相差2，所以可以用等差數列的求和公式來求。

解：因為首項是2,末項是1990,公差是2,昕以,項數=(1990-2)÷2+1=995,再根據等差數列的求和公式:總和=(首項+末項)×項數÷2,解出2+4+6+8+…+1990=(2+1990)×995÷2=991020。

例5.計算（1+3+5+…+l99l)-（2+4+6+…+1990）

提示：仔細觀察算式中的被減數與減數，可以發現它們都是等差數列相加，根據題意可以知道首項、末項和公差，但並沒有給出項數，這需要我們求項數，按照這樣的思路求得項數後，再運用求和公式即可解答。

解：被減數的項數=(1991-1)÷2+1=996，所以被減數的總和=(1+1991)×996÷2=992016;減數的項數=(l990-2)÷2+1=995,所以減數的總和=(2+1990)×995÷2=991020.所以原式=992016-991020=996。

例6，已知一列數：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是這列數中第幾個數。

提示：仔細觀察這列數可以發現，後項與其相鄰的前項之差等於3，所以這是乙個以2為首項，以公差為3的等差數列，求80是這列數中第幾個數，實際上是求該數列的項數。

解：這列數的首項是2,末項是80,公差是3,運用公式:項數=(末項-首項)÷公差+1,即(80-2)÷3+1=27,所以80是該數列的第27項。

例9：若干人圍成16圈，一圈套一圈，從外向內圈人數依次少6人，如果共有912人，問最外圈有多少人？最內圈有多少人？

分析：從已知條件912人圍成16圈，一圈套一圈，從外到內各圈依次減少6人，也就是告訴我們這個等差數列的和是912，項數是16，公差是6。題目要求的是等差數列末項 a- a=d (n-1)=6 (16-1)=90(人)

解： a+a=s2n=912216=114（人）

外圈人數=（90+114）2=102（人）內圈人數=（114-90）2=12（人答：最外圈有102人，最內圈有12人。