第二章我們討論了隨機變數的分布函式，我們看到分布函式能夠完整地描述隨機變數的統計特性．但在一些實際問題中，不需要去全面考察隨機變數的整個變化情況，而只需知道隨機變數的某些統計特徵．例如，在檢查一批棉花的質量時，只需要注意纖維的平均長度，以及纖維長度與平均長度的偏離程度，如果平均長度較大、偏離程度較小，質量就越好．從這個例子看到，某些與隨機變數有關的數字，雖然不能完整地描述隨機變數，但能概括描述它的基本面貌．這些能代表隨機變數的主要特徵的數字稱為數字特徵．本章介紹隨機變數的常用數字特徵：數學期望、方差和相關係數．
§4.1 數學期望(隨機變數的均值)
1、 離散型隨機變數的數學期望
例3.1 某年級有100名學生，17歲的有2人，18歲的有2人，19歲的有30人，20歲的有56人，21歲的有10人，則該年級學生的平均年齡為
事實上我們在計算中是用頻率的權重的加權平均，對於一般的離散型隨機變數，其定義如下：
定義設離散型隨機變數的分布律為表3-1
表3-1
若級數絕對收斂，則稱其為隨機變數的數學期望或均值．記為．若級數發散，則稱隨機變數的數學期望不存在．
例 3.2 一批產品在有一二三等品及廢品4種，所佔比例分別為，各級產品的出廠價分別為6元，4.8元，4元，0元，求產品的平均出廠價．
解由題意產品的平均出廠價為
(元)例 3.3 設隨機變數服從二項分布，求它的數學期望．
解由於，因而
例 3.4 設隨機變數服從引數為的泊松分布，求它的數學期望．
解由於，因而
例 3.5 已知離散型隨機變數的概率分布為
，求．解。
2、 連續型隨機變數的數學期望
定義設連續型隨機變數的分布密度函式為，若積分絕對收斂，則稱其為的數學期望或均值．記為，即．
例 3.6 設隨機變數服從正態分佈，求．
解由於正態分佈的密度函式為
因而令，則．
例 3.7 設隨機變數服從引數為的指數分布，求．
解由於指數分布的密度函式為
因而．例 3.8 設隨機變數服從上的均勻分布，求．
解由於均勻分布的密度函式為
因而 ．
例 3.9 設隨機變數服從柯西分布，其密度函式為，計算。
解，因為發散，所以不存在。
3、 隨機變數的函式的數學期望
定理2 設為隨機變數的函式： (g是連續函式)，（1）是離散型隨機變數，分布律為；若級數絕對收斂，則有．（2）是連續型隨機變數，它的分布密度為，若積分絕對收斂，則有。
定理1告訴我們：求時，不必知道的分布，而只需知道的分布就可以了．
上述結果也可推廣到兩個變數的情形。
定理設是隨機變數的連續函式，（1）是二維離散型隨機變數，聯合分布律為；則有 ．（設該級數絕對收斂）（2）是二維連續型隨機變數，聯合分布密度為，則有．（設該積分絕對收斂）
例 3.10 設隨機變數服從正態分佈，求 (1)；(2)．
解 (1)， 令，
則由分部積分法有 ，因而 。
(2)， 令，則
．例 3.11 設的概率密度函式為
求．解由定理3.2，，
例3.12 隨機變數的分布律如表3-2：
表3-2
求．解 ，
，4、 數學期望的性質
1）設是常數，則有．
2）設是隨機變數，設是常數，則有．
3）設，是隨機變數，則有．（該性質可推廣到有限個隨機變數之和的情況）
4． 設，是相互獨立的隨機變數，則有．（該性質可推廣到有限個隨機變數之積的情況）
1、2由讀者自己證明．我們來證明3和4．我們僅就連續型情形給出證明，離散型情形類似可證．
證明: 設二維連續型隨機變數的聯合分布密度為，其邊緣分布密度為， ．則+.
性質3得證．
又若和相互獨立，此時，故有
]。性質4得證．
例 3.13 設獨立同分布，且，那麼服從，因而．
§3.2 方差
1、 方差的概念
定義設是隨機變數，存在，就稱其為的方差，記為(或)，即=，稱為標準差，記為．
如果是離散型隨機變數，分布律為；則
如果是連續型隨機變數，它的分布密度為，則
2、 方差的計算
定理：設為隨機變數，則= 。
證明: 由方差的定義及數學期望的性質，得
例3.12 隨機變數的分布律如表3-2：
表3-2
求．解 ，
．例2設隨機變數服從（0-1）分布，其分布列為，求。
解因為，
所以．例 3.15 設隨機變數服從正態分佈，求．
解，令，則
例3.16 設隨機變數服從引數為的泊松分布，求．
解由於=， 而
，因而．
例 3.17 設隨機變數服從引數為的指數分布，求．
解由於指數分布的密度函式為
而，故 ．
例 3.18 設隨機變數服從上的均勻分布，求．
解由於均勻分布的密度函式為，
而，故。
3、 方差的性質
1、 設是常數，則有；
2、 設是常數，則有；
3、 設，是相互獨立的隨機變數，則有；
4、 設是相互獨立的隨機變數，則．
（以上4個性質的證明留給讀者自己完成．）
例 3.20 設隨機變數服從二項分布，求．
解由二項分布知，隨即變數是重貝努利試驗中事件發生的次數，且在每次試驗中事件發生的發生的概率為，設，且，，
那麼，且相互獨立，所以．
又，因此 ．
例 3.21 設的概率密度函式為
求及．解
．例 3.22 一台裝置由三大件組成，載裝置的運轉過程中需要調整的概率分別為0.10，0.20，0.30，假設各部分相互獨立，表示需要調整的部件數，試求的分布，．
解設，由於各部件相互獨立，則有
4．車貝曉夫不等式
概率論中有許多不等式，下面的車貝曉夫不等式是其中最基本和最重要的乙個。
車貝曉夫不等式：對於任何具有有限方差的隨機變數，都有
其中是任一正數。
證明：若是的分布函式，則
這就證明了不等式（4．2．10）。
有時把（4．2．10）改寫成
或 。
從車貝曉夫不等式還可以看出，當方差愈小時，事件的概率愈小，從這裡可以看出方差是描述隨機變數與其期望值離散程度的乙個量，這與我們以前的理解完全一致。
特別地，若，則對任意，恒有，因此，即，所以方差為零的隨機變數是常數。
§3.3 協方差及相關係數、矩
我們除了討論與的數學期望和方差外，還需討論描述與之間相互關係的數字特徵．本節討論這方面的數字特徵．
一、 協方差及相關係數的定義
定義設有二維隨機變數，如果存在，則稱為隨機變數與的協方差．記為，即
稱為隨機變數與的相關係數．若，稱與不相關．
二、 協方差與相關係數的性質
1． 協方差的性質
(1) ；
(2) ；
(3)；
(4)；
(5)；
(6) 若與相互獨立，則，即與不相關．反之，若與不相關，與不一定相互獨立．
2． 相關係數的性質
(1) ；
(2) 若與相互獨立，則；
(3) 當與有線性關係時，即當（為常數，）時，，
且 ；
(4)的充要條件是，存在常數使．
相關係數只是隨機變數間線性關係其強弱的乙個度量，當表明隨機變數與具有線性關係時為正線性相關，時為負線性相關，當時，這種線性相關程度就隨著的減小而減弱，當時，就意味著隨機變數與是不相關的．
例 3.23 設是服從上的均勻分布，又，試求相關係數．
解，因而 ．
相關係數=0，隨機變數與不相關，但是有，從而與不獨立．
例 3.24 設二維隨機變數的概率密度函式為
證明隨機變數與不相關，也不相互獨立．
證明由於關於軸、軸對稱，有
，因而即是與不相關．
又由於，．
顯然在上，，所以與不相互獨立．
三、 矩
定義設和是隨機變數，若存在，稱它為的階原點矩，簡稱階矩．若存在，稱它為的階中心矩．若存在，稱它為和的階混合矩．若存在，稱它為和的階混合中心矩．
顯然，的數學期望是的一階原點矩，方差是的二階中心矩，協方差是和的二階混合中心矩．
第三章隨機變數的數字特徵
3.1隨機變數的數學期望 數學期望是用來在概率論和統計方差中衡量隨機變數或一組資料的集中趨勢.3.1.1隨機變數的數學期望的概念 1 隨機變數的數學期望的概念 離散型隨機變數的數學期望 設離散型隨機變數的分布律為 若無窮級數絕對收斂，則稱無窮級數的和為隨機變數的數學期望，記作,即 連續型隨機變數的數...
第一章隨機變數的數字特徵
概率論與數理統計 單元自測題 專業班級姓名學號 一 填空題 1 設隨機變數相互獨立，其中，則 2 設隨機變數，則 3 已知隨機變數，且，則二項分布中的引數4 設和相互獨立,且,則 5 設隨機變數的分布函式為則 二 選擇題 1 設二維隨機變數的聯合密度為，則 都不對。2 設隨機變數和相互獨立，為常數，...
專題39隨機變數的數字特徵 正態分佈
姓名分數 一 選擇題 1 500人中至少有1個人的生日在10月1日的概率是 a b c d 2 在某一試驗中事件a出現的概率為,則在次試驗 現次的概率為 a 1 b c 1 d 3 設隨機變數,且,則 a b c d 4 已知隨機變數服從二項分布，則的值為 a b c d 5 口袋裡放有大小相等的兩...