3.1隨機變數的數學期望
數學期望是用來在概率論和統計方差中衡量隨機變數或一組資料的集中趨勢.
3.1.1隨機變數的數學期望的概念
(1)隨機變數的數學期望的概念
①離散型隨機變數的數學期望
設離散型隨機變數的分布律為 ().若無窮級數絕對收斂，則稱無窮級數的和為隨機變數的數學期望，記作,即
.②連續型隨機變數的數學期望
設連續型隨機變數的概率密度為.若反常積分絕對收斂，則稱反常積分的值為隨機變數的數學期望，記作,即：
.注：①由於數學期望描述隨機變數取值的平均大小，因此又稱為均值；
②如果上述的無窮級數或反常積分不絕對收斂，則稱隨機變數的數學期望不存在.
3.1.2隨機變數函式的數學期望
(1)一維隨機變數函式的數學期望
設是隨機變數的函式： (是連續函式).
①設離散型隨機變數具有分布律 (),且無窮級數絕對收斂，則.
②設連續型隨機變數的概率密度為，且反常積分絕對收斂，則：
.(2)一維隨機變數函式的數學期望
設是隨機變數,的函式： (是連續函式).
①設離散型隨機變數具有分布律 (),且無窮級數絕對收斂，則.
②設二維連續型隨機變數的聯合概率密度為，且反常積分：
絕對收斂，則.
3.1.3隨機變數的數學期望的性質
(1) ( 為常數)；
(2) ( 為常數)；
(3) ；
證明：設二維連續型隨機變數概率密度為，其邊緣概率密度為, ,則：
對於二維離散型隨機變數的證明類似.
(4)如果隨機變數與相互獨立，則有.
證明：設二維連續型隨機變數概率密度為，其邊緣概率密度為, ,且與相互獨立，則：
對於二維離散型隨機變數的證明類似.
注：這一性質可以推廣到任意有限個相互獨立的隨機變數之積的情況.
3.2隨機變數的方差
方差是用來在概率論和統計方差中衡量隨機變數或一組資料的離散程度.
3.2.1隨機變數的方差的相關概念
(1)設是乙個隨機變數，若存在，則稱為的方差,記為或,即.
(2)方差的算術平方根稱為的均方差或標準差.
(3) 稱為隨機變數的標準化隨機變數，且，.
3.2.2隨機變數的方差的性質
設為任意常數，是兩個隨機變數，且下列各式中的期望，方差都存在，則：
(1) .
(2) .
證明：.
(3)(4) 的充要條件是.
證明：①充分性：由於，所以，則：
.②必要性:由於，根據切比雪夫不等式(參見3.2.3)，得：
，其中任意為任意大於0的數，
所以當也成立，
顯然.【例3.1】設隨機變數，
(ⅰ)求；
(ⅱ)求.
解：先求標準正態變數的數學期望和方差.
的概率密度為（）.
(ⅰ) ,
因為,所以.
(ⅱ)因為,所以.
3.2.3切比雪夫不等式
設隨機變數的數學期望和方差都存在，則對任意，有：
.證明：設是連續型隨機變數，的概率密度為,則有：
推論：切比雪夫大數定律
設隨機變數相互獨立，數學期望和方差都存在，並且方差有公共上界，即 ()，則對任意，都有：
.證明：由於，,
所以根據切比雪夫不等式有，
即：.因為 ()，
所以，由此得，
當時，，又因為概率不大於1，
所以.3.3中心極限定理
在自然界與生產中，一些現象受到許多相互獨立的隨機因素的影響，如果每個因素所產生的影響都很微小時，總的影響可以看作是服從正態分佈的。
3.3.1李雅普諾夫中心極限定理
設隨機變數相互獨立，且， ()都存在.若存在正數，使得當時，有：，
則當時，隨機變數之和的標準化變數服從標準正態分佈，即 ().
3.3.2獨立同分布中心極限定理
設隨機變數相互獨立且同分布，且， ()都存在，則的標準化變數服從標準正態分佈，即：
.【例3.2】假設某種型號的螺絲釘的重量是隨機變數，期望值為50克，標準差為5克，求
(ⅰ)100個螺絲釘一袋的重量超過5.1千克的概率；
(ⅱ)每箱螺絲釘裝有500袋，500袋中最多有4%的重量超過5.1千克的概率.
解：(ⅰ)假設表示袋中第顆螺絲釘的重量，則相互獨立同分布，，,記一袋螺釘的重量為,則：
根據獨立同分布中心極限定理得：
(ⅱ)假設 ()只能取得0和1兩個值，1表示第袋螺絲釘的重量超過5.1千克，0表示第袋螺絲釘的重量不超過5.1千克，根據(ⅰ)中結論得此概率分布為 (),其中，
則，,顯然相互獨立，
根據獨立同分布中心極限定理得：
3.4相關係數，矩及協方差的矩陣
3.4.1相關係數
(1)相關係數的相關概念
①設是二維隨機變數，如果存在，則稱它為隨機變數與的協方差，記作,即：
.②協方差作為描述和相關程度的量，在同一物理量綱之下有一定的作用，但同樣的兩個量採用不同的量綱使它們的協方差在數值上表現出很大的差異.為此引入如下概念：
如果與的方差都不等於0，則稱為隨機變數與的的相關係數.
注：當較大時表示與的線性關係較好；當較小時表示與的線性關係較差.
(2)相關係數的性質
①；證明：考慮以的線性函式來近似表示.並通過與的均方誤差來衡量與的近似程度. 值越小表示近似程度越好.這樣我們應該算出取取得最小值時的和，分別求出關於，的偏導數：
解得代入均方誤差原式得：
由於和非負，所以.
②的充要條件是存在常數使.
證明：(a)必要性：
由於，所以，
故有, ,
由於，所以,
即.(b)充分性：
設存在常數使，即，
所以，則有,
又因為與的均方誤差，
所以有，即,
則.【例3.3】設在平面上由圓周所圍成的區域內服從均勻分布，
(ⅰ)證明與不相關；
(ⅱ)證明與不相互獨立.
證明：(ⅰ)因為的聯合概率密度分布
所以，，
，則有,又有,即與不相關.
(ⅱ)當時，，
當時，，
所以，則有，即可知與不相互獨立.
3.4.2矩，協方差矩陣
(1)隨機變數的矩
①隨機變數的矩的相關概念
設是二維隨機變數.
(a)若 ()存在，則稱為的階原點矩；
(b)若 ()存在，則稱為的階中心矩；
(c)若 ()存在，則稱為與的混合原點矩；
(d) ( )存在，則稱為與的混合中心矩.
②偏態係數和峰度係數
偏態係數和峰度係數分別是在概率論和統計方差中衡量隨機變數或一組資料分布的對稱性和峰凸程度.
(a)偏態係數的相關概念
1、如果和存在，則稱為為隨機變數的偏態係數，記作.
2、當時，的分布為正偏態分布，此時資料位於均值右邊的比位於左邊的少；當時，的分布為負偏態分布，此時資料位於均值左邊的比位於右邊的少.如圖3.1.
(b)峰度係數的相關概念
1、如果和存在，則稱為為隨機變數的峰度係數，記作.
2、當，則稱的分布具有不足的峰度；當，則稱的分布具有過度的峰度.如圖3.2.
注：當且時，的分布為正態分佈；
圖3.1圖3.2
(2)協方差矩陣
一般，維隨機變數的分布是不知道的，或者是太複雜，以至在數學上不易處理，因此在實際應用中協方差矩陣就顯得重要了.
①協方差矩陣的定義
設 ()都存在，則稱矩陣為維隨機變數的協方差矩陣.
注：維隨機變數的協方差矩陣是對稱矩陣.
②維正態隨機變數
(a) 維正態隨機變數的定義
先對二維正態隨機變數的概率密度公式進行改寫，然後將它推廣到維正態隨機變數中.
由於二維正態隨機變數的聯合概率密度為：
.的協方差矩陣，
矩陣的行列式,
矩陣的逆矩陣.
其中，.
於是的概率密度可以改寫為：
.推廣到維正態隨機變數中有：
，其中，，是的協方差矩陣.
(b) 維正態隨機變數的性質
1、維正態隨機變數的每乙個分量 ()都是正態隨機變數；反之，若都是正態隨機變數且相互獨立，則是維正態隨機變數；
2、維隨機變數服從維正態分佈的充要條件是的任意線性組合 (其中不全為0)服從一維正態分佈；
3、若維隨機變數服從維正態分佈，設是 ()的線性函式，則也服從維正態分佈；
4、設維隨機變數服從維正態分佈，則「相互獨立」與「兩兩不相關」是等價的.
第三章多維隨機變數及其分布
1.一 在一箱子裡裝有12只開關，其中2只是次品，在其中隨機地取兩次，每次取乙隻。考慮兩種試驗 1 放回抽樣，2 不放回抽樣。我們定義隨機變數x，y如下 試分別就 1 2 兩種情況，寫出x和y的聯合分布律。解 1 放回抽樣情況 由於每次取物是獨立的。由獨立性定義知。p x i,y j p x i p...
第4章隨機變數的數字特徵
第二章我們討論了隨機變數的分布函式，我們看到分布函式能夠完整地描述隨機變數的統計特性 但在一些實際問題中，不需要去全面考察隨機變數的整個變化情況，而只需知道隨機變數的某些統計特徵 例如，在檢查一批棉花的質量時，只需要注意纖維的平均長度，以及纖維長度與平均長度的偏離程度，如果平均長度較大 偏離程度較小...
第一章隨機變數的數字特徵
概率論與數理統計 單元自測題 專業班級姓名學號 一 填空題 1 設隨機變數相互獨立，其中，則 2 設隨機變數，則 3 已知隨機變數，且，則二項分布中的引數4 設和相互獨立,且,則 5 設隨機變數的分布函式為則 二 選擇題 1 設二維隨機變數的聯合密度為，則 都不對。2 設隨機變數和相互獨立，為常數，...