1.[一] 在一箱子裡裝有12只開關，其中2只是次品，在其中隨機地取兩次，每次取乙隻。考慮兩種試驗：（1）放回抽樣，（2）不放回抽樣。我們定義隨機變數x，y如下：
試分別就（1）（2）兩種情況，寫出x和y的聯合分布律。
解：（1）放回抽樣情況
由於每次取物是獨立的。由獨立性定義知。
p (x=i, y=j)=p (x=i)p (y=j)
p (x=0, y=0 )=
p (x=0, y=1 )=
p (x=1, y=0 )=
p (x=1, y=1 )=
或寫成（2）不放回抽樣的情況
p =p =
p =p =
或寫成3.[二] 盒子裡裝有3只黑球，2只紅球，2隻白球，在其中任取4只球，以x表示取到黑球的隻數，以y表示取到白球的隻數，求x，y的聯合分布律。
解：（x，y）的可能取值為(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，聯合分布律為
p =p =
p =p =
p =p =
p =p =
p =0
5.[三] 設隨機變數（x，y）概率密度為
（1）確定常數k。 （2）求p
（3）求p (x<1.54）求p (x+y≤4}
分析：利用p =再化為累次積分，其中
解：（1）∵，∴
（2）（3）
（4）6．（1）求第1題中的隨機變數（x、y ）的邊緣分布律。
（2）求第2題中的隨機變數（x、y ）的邊緣分布律。
解：（1）① 放回抽樣（第1題）
邊緣分布律為
x 0 1 y 0 1
pip·j
② 不放回抽樣（第1題）
邊緣分布為
x 0 1 y 0 1
pip·j
（2）（x，y ）的聯合分布律如下
解： x的邊緣分布律y的邊緣分布律
x 0 1 2 3y 1 3
pip·j
7.[五] 設二維隨機變數（x，y ）的概率密度為
解： 8.[六] 設二維隨機變數（x，y）的概率密度為
求邊緣概率密度。
解:9.[七] 設二維隨機變數（x，y）的概率密度為
（1）試確定常數c。（2）求邊緣概率密度。
解: l=
15. 第1題中的隨機變數x和y是否相互獨立。
解：放回抽樣的情況
p = p ·p =
p = p p =
p = p p =
p = p p =
在放回抽樣的情況下，x和y是獨立的
不放回抽樣的情況：
p =
p =p = p + p =
p ·p =
p ≠p p
∴ x和y不獨立
16.[十四] 設x，y是兩個相互獨立的隨機變數，x在（0，1）上服從均勻分布。y的概率密度為
（1）求x和y的聯合密度。（2）設含有a的二次方程為a2+2xa+y=0,試求有實根的概率。
解：（1）x的概率密度為
y的概率密度為
且知x, y相互獨立，
於是（x，y）的聯合密度為
（2）由於a有實跟根，從而判別式
即： 記
19.[十八] 設某種商品一周的需要量是乙個隨機變數，其概率密度為
並設各週的需要量是相互獨立的，試求（1）兩周（2）三周的需要量的概率密度。
解：（1）設第一周需要量為x，它是隨機變數
設第二週需要量為y，它是隨機變數
且為同分布，其分布密度為
z=x+y表示兩周需要的商品量，由x和y的獨立性可知：
∵ z≥0
∴ 當z<0時，fz (z) = 0
當z>0時，由和的概率公式知
∴（2）設z表示前兩周需要量，其概率密度為
設ξ表示第三週需要量，其概率密度為：
z與ξ相互獨立
η= z +ξ表示前三周需要量
則：∵η≥0， ∴當u<0， fη(u) = 0
當u>0時
所以η的概率密度為
22.[二十二] 設某種型號的電子管的壽命（以小時計）近似地服從n（160，20）分布。隨機地選取4只求其中沒有乙隻壽命小於180小時的概率。
解：設x1，x2，x3，x4為4只電子管的壽命，它們相互獨立，同分布，其概率密度為：
設n=min
p =p
p 4=4= (0.1587)4=0.00063
27.[二十八] 設隨機變數（x，y）的分布律為
（1）求p ，p
（2）求v=max (x, y )的分布律
（3）求u = min (x, y )的分布律
解：（1）由條件概率公式
p =同理 p =
（2）變數v=max
顯然v是一隨機變數，其取值為 v：0 1 2 3 4 5
p =p =0
p =p + p + p
=0.01+0.02+0.01=0.04
p =p + p + p
p + p
=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16
p =p + p + p + p
p + p + p
=0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28
p =p + p + p + p
=0.07+0.06+0.05+0.06=0.24
p =p + …… + p
=0.09+0.08+0.06+0.05=0.28
（3）顯然u的取值為0，1，2，3
p =p +……+ p + p
+ …… + p =0.28
同理 p =0.30 p =0.25 p =0.17
或縮寫成**形式
（2） v 0 1 2 3 4 5
pk 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28
（3） u 0 1 2 3
pk 0.28 0.30 0.25 0.17
（4）w=v+u顯然w的取值為0，1，……8
p=p=0
p=p+p
∵ v=max=0又u=min=1不可能
上式中的p=0，
又 p=p+p=0.2
故 p=p+p=0.2
p=p= p+ p
p+ p+p
=0.03+0.01+0.02=0.06
p=p= p+ p
p+ p+p
p =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13
p= p+ p+p
p+ p+p
p =0.19
p= p=p+ p
+p =p+ p
+p+ p =0.24
p= p=p+ p
+p =p+ p
+p =0.19
p= p=p+ p
第三章隨機變數的數字特徵
3.1隨機變數的數學期望 數學期望是用來在概率論和統計方差中衡量隨機變數或一組資料的集中趨勢.3.1.1隨機變數的數學期望的概念 1 隨機變數的數學期望的概念 離散型隨機變數的數學期望 設離散型隨機變數的分布律為 若無窮級數絕對收斂，則稱無窮級數的和為隨機變數的數學期望，記作,即 連續型隨機變數的數...
離散型隨機變數及其分布
隨機變數 如果隨機試驗的結果可以用乙個變數的取值來表示，這個變數取值帶有隨機性，並且取這些值的概率是確定的，那麼這個變數叫隨機變數，通常用小寫希臘字母等表示。隨機變數的所有可能取值可以一一列出，這種隨機變數叫離散型隨機變數。如 某人連續射擊目標，射中目標的次數。隨機變數的所有可能取值是連續的充滿某個...
第二章隨機變數及其分布
為了深入研究隨機事件及其概率，本章將引進隨機變數的概念 在隨機試驗中，用隨機變數的取值來表示隨機事件，從而使我們能夠應用各種數學方法來分析和研究隨機事件的概率及其性質，更深刻地揭示隨機現象的統計規律性 概率論的發展歷史表明,由於隨機變數的引入,使得數學工具更充分地發揮了作用,概率論的研究由古典概率時...