為了對隨機試驗進行全面和深入的研究，從中揭示出客觀存在的統計規律性，我們常把隨機試驗的結果與實數對應起來，即把隨機試驗的結果數量化，引入隨機變數的概念。隨機變數的概率論與數理統計的最基本的概念之一。
2．1隨機變數的概念
在隨機現象中，許多隨機試驗的結果是可以用數量表示的。有些隨機試驗的結果雖然與數量沒有直接關係，但是卻可以將其結要數量化。
例1 設有10件產品，其中**5件，次品5件。現從中任取3件產品，問這3件產品中的次品數是多少？
顯然，次品數可以是0，1，2，3，即試驗結果是數量性的。我們用表示取到3件產品中的次品件數，則可以分別用表示這3件產品中沒有次品、有一件次品、有兩件次品和有3件次品。這裡是一變數，它究竟取什麼值與試驗的結果有關，即與試驗的樣本空間的基本事件有關。
用表示試驗的樣本空間，用表示樣本空間中的元素即基本事件，並記成。例1中試驗的樣本空間為=，因此，可把變數看作定義在樣本空間上的函式：
從而可以記為。由於基本事件是隨機出現的，因此的取值也是隨機出現的，稱為隨機變數。
例2 拋擲一枚硬幣，觀察出現的正反面的情況。
該試驗只有兩個可能的結果：出現正面和出現麼面，即
出現正面，出現反面}
很明顯，試驗結果是非數量性的，與數量沒有直接關係。為了研究的需要，我們可以用乙個數來代表乙個試驗結果，例如用1代表出現正面，用0代表出現反面。可設
是定義在樣本空間上的函式，也是一隨機變數。
下面我們給出隨機變數的定義。
定義2.1 設試驗的樣本空間，如果對每乙個，有乙個實數與之對應，得到乙個定義在上的單值實值函式，稱為隨機變數，並簡記為。
隨機變數隨著試驗結果的不同而取不同的值，它是根據試驗結果取值的變數。現實中的隨機變數很多，例如，某地區每年的降雨量；擲一枚子出現的點數；炮彈落地點與目標之間的距離；某工廠生的燈泡的壽命等。
引入隨機變數後，隨機事件就可以用隨機變數來表示。這樣，對隨機事件的研究就轉化為對隨機變數的研究。由於有了數量化的隨機變數，從而就有可能幫助我們使用微積分和線性代數等工具來研究隨機試驗。
隨機變數按照其取值的不同，一般分為兩類。一類稱為離散型隨機變數，一類稱為連續型隨機變數。
2．2 離散型隨機變數
1．基本概念
定義2.2 對於隨機變數，如果它只可能取有限個或可列個值，則稱為離散型隨機變數。
如例1中的隨機變數所有可能的取值是4個，而例2中的隨機變數可能的取值是2個，這是屬於有限個值的情況，它們都是離散型隨機變數。又例如，一射手向某一目標射擊，直到擊中該目標時的射擊次數是個隨機變數，它所有可能的取值是，是屬於可列個值的情況，它也是離散型隨機變數。
設離散型隨機變數所有可能的取值是，為了完全地描述隨機變數，除了知道可能的取值以外，還要知道取各個值的概率。設
2.1）
稱（2.1）式為離散型隨機變數的概率分布或分布律。
離散型隨機變數的分布律具有下列性質：
（1）≥02.2）
（22.3）
分布律也可以用**的形式表示：
它比較直觀地表示了隨機變數取各個值的概率規律。
例3 討論例1中的隨機變數的概率分布。
解是表示取出的3件產品中的次品數，它所有可能取的值是0，1，2，3。下面分別計算，，和。
顯然這是一古典概型，容易計算出
它們滿足（2。2）和（2。3）式。
的概率分布寫成**形式為
例4 一射手對靶連續不斷地進行射擊，直到第一次擊中為止，如每次射擊命中的概率為，試求所需射擊次數的概率分布。
解首先確定的可能取值，然後再定出取這些值的概率，易知的可能取值是1，2，…，現計算的值，由於事件表示射手第次射擊首次命中目標，而前次射擊均未命中，所以
其中。故的概率分布為
2．常見離散型隨機變數的概率分布
（1）兩點分布
若隨機變數的概率分布為
其中則稱隨機變數服從兩點分布（或分布），記為。
例5 袋內裝有5個白球，6個紅球，從中摸出兩球，記
顯然服從兩點分布，其概率分布為，。
（2）二項分布
設隨機試驗重複進行次，且滿足：
1）每次試驗只有兩個可能的結果和，且
， ；
2）每次試驗的結果互不影響。
具有以上特點的試驗稱為重貝努里試驗。
重貝努里試驗是一種很重要的數學模型，有著廣泛的應用。以表示重貝努里試驗中事件發生的次數，則是乙個隨機變數，且其概率分布為
。其中。我們稱這種分布為以、為引數的二項分布，若隨機變數服從以、為引數的二項分布，則可記為。
顯然，兩點分布就是二項分布在時的特殊情況。
例6 設一批產品共2000個，其中有40個次品。採取有放回抽樣的方式隨機抽取100個樣品，求樣品中次品數的概率分布。
解從產品中任取一件為次品的概率，採用有放回抽樣方式，每一次是否取到次品是相互獨立的，因此樣品中次品數的可能取值為0，1，2，…，40，且
。3．泊松分布
若隨機變數的概率分布為
其中為常數，則稱服從引數為的泊松分布，記為。
在客觀世界中，服從泊松分布的隨機變數是很常見的，如在一段時間內，**交換台收到的呼叫次數：一頁書中印刷錯誤出現的個數；公共汽車站到來的乘客數等都服從或近似服從泊松分布。
在前面的二項分布中，我們看到，當很大，很小時，其概率值計算起來會很困難，而此時我們有結論：當很大，很小時，二項分布的概率函式近似等於泊松分布（的概率函式，即
2.4）
例7 某箱子中有電子元件400只，已知次品率為2%，求出此箱中至少有兩隻次品的概率。
解設次品數為，則有，所求概率為≥，直接使用二項分布計算很困難，利用（2。4）式可得
≥==0.997。
2.3 連續型隨機變數
1．基本概念
在實踐中有很多隨機現象所出現的試驗結果是不可列的。例如，測量的誤差、排隊等待的時間、元器件的使用壽命等。這些隨機變數是在乙個區間內連續取值的，對這類隨機變數不能像離散型隨機變數那樣來建立其分布律，只有知道它取值於某一區間的概率，才能掌握其取值的概率分布情況。
定義2.3 對於隨機變數,若存在非負可積函式,使得取值於任意區間的概率為
2.5）
則稱為連續型隨機變數，稱為的概率密度函式，簡稱為概率密度。
由定義可知概率密度函式具有下列性質：
（1）≥0 ；
（2）。
這些性質表明，概率密度函式的曲線位於軸的上方，且曲線與軸之間的面積恒為1，通常我們以此來確定概率密度函式中的待定係數。反之，若滿足以上兩個條件的函式，則一定是某個連續型隨機變數的概率密度函式。因此，概率密度函式全面地描述了連續型隨機變數取值的概率規律。
對於連續型隨機變數，對任何正整數，都有事件包含事件，即有
≤，由於上式對任何正整數都是成立的，當時，
從而有≤0，但概率不能小於零，於是有=0，即連續型隨機變數取任一指定實數值的概率均為零。
這樣，在計算連續型隨機變數取值於某一區間的概率時，可以不必區分該區間是開區間或閉區間或半開半閉區間，即有
≤=≤=≤≤}=。
例8 設隨機變數的概率密度為
確定常數，並求。
解由概率密度的性質（2）
從而。由（2。5）式，
。2．常見的連續型隨機變數的概率密度
（1）均勻分布
如果隨機變數的概率密度為
則稱服從上的均勻分布，記作。
若服從上的均勻分布，則稱為隨機數，它在蒙特卡洛方法中起著重要的作用。
例9 秒錶刻度的分劃值為0.2秒，如果計時的精度取到鄰近的刻度整數，求使用該秒錶時的誤差的絕對值大於0.05的概率。
解設為使用該秒錶時的誤差，則在區間上服從均勻分布，其密度函式
誤差的絕對值大於秒的概率為
（2）指數分布
如要隨機變數的概率密度為
其中為常數，則稱服從引數為的指數分布，記為。容易驗證
（1）≥0；
（2）。
指數分布在研究有關「壽命」一類問題中有著重要的作用，如燈泡的壽命、動物的壽命、**的通話時間等，都可以近似地認為服從指數分布。
例10 設某種產品的使用壽命（單位：小時）服從引數的指數分布，求該產品的使用壽命超過3000小時的概率。
解所求概率為由（2。5）式可得
這裡]於是
(3)正態分佈
如果隨機變數的概率密度為
式中,則稱服從引數為的正態分佈,記作。
特別地，當、時，此時的正態分佈稱為標準正態分佈，記為，標準正態分佈的密度函式記作，
正態分佈又稱為高斯分布或誤差分布。在自然現象和社會現象中，大量的隨機變數都服從或近似服從正態分佈，如測量某零件長度的誤差、炮彈落點距目標的偏差、乙個地區成年男性的身高、某地區居民的年收入、產品的重量等都可近似地看作服從正態分佈。一般說來，若某一隨機變數是受多種相互獨立的隨機因素的影響，而每一種隨機因素所起的作用又是極其微小的，哪麼該隨機變數就近似服從正態分佈。
正態分佈在概率統計的理論與應用中占有特別重要的地位。
圖2.1
對於正態分佈的密度函式，它具有以下性質：
（1）的曲線關於對稱，如圖所示。這表明對於任意的，有
（2）在時，取得最大值。
第二章隨機變數及其分布
為了深入研究隨機事件及其概率，本章將引進隨機變數的概念 在隨機試驗中，用隨機變數的取值來表示隨機事件，從而使我們能夠應用各種數學方法來分析和研究隨機事件的概率及其性質，更深刻地揭示隨機現象的統計規律性 概率論的發展歷史表明,由於隨機變數的引入,使得數學工具更充分地發揮了作用,概率論的研究由古典概率時...
第二章隨機變數及其分布習題
1.設隨機變數的分布律為 k 1,2,則常數 2.盒內有5個零件，其中2件次品，從中任取3件，用表示取出的次品數，則的概率分布為 3.設隨機變數，若，則 4.設服從引數為的泊松分布且已知，則 5.設隨機變數的分布律為0 1 則的分布函式 為6.設是離散型隨機變數的分布函式，若，則成立。7.設連續型隨...
離散型隨機變數及其分布
隨機變數 如果隨機試驗的結果可以用乙個變數的取值來表示，這個變數取值帶有隨機性，並且取這些值的概率是確定的，那麼這個變數叫隨機變數，通常用小寫希臘字母等表示。隨機變數的所有可能取值可以一一列出，這種隨機變數叫離散型隨機變數。如 某人連續射擊目標，射中目標的次數。隨機變數的所有可能取值是連續的充滿某個...