為了深入研究隨機事件及其概率，本章將引進隨機變數的概念．在隨機試驗中，用隨機變數的取值來表示隨機事件，從而使我們能夠應用各種數學方法來分析和研究隨機事件的概率及其性質，更深刻地揭示隨機現象的統計規律性．概率論的發展歷史表明,由於隨機變數的引入,使得數學工具更充分地發揮了作用,概率論的研究由古典概率時期跨越到分析概率時期,概率論研究取得了飛速的進展.
第二章介紹隨機變數及其分布的一些主要理論，如隨機變數的分布函式，離散型隨機變數的分布律，連續型隨機變數的概率密度函式等概念及其性質; 隨機變數函式的分布；同時還將一些常用實際問題模型化,介紹相應的概率分布，如二項分布,泊松分布,均勻分布,指數分布,正態分佈等.
第一節隨機變數及離散型隨機變數
一、 隨機變數
許多隨機試驗，其結果都可以直接用數值表示，此時樣本空間的元素是數.例如擲一顆骰子,觀察出現的點數，記錄某城市120急救**台一晝夜接到的呼叫次數，在一批燈泡中任取乙隻,測試它的壽命等等.有些隨機試驗，其結果與數值無關，人們對於這樣的樣本空間就難以描述和研究，為此，引入隨機變數的概念.
定義1 設隨機試驗的樣本空間為.如果對每乙個樣本點，都有唯一確定的實數與之對應，則稱上的實值函式為乙個隨機變數，簡記為.
本書中，我們一般用大寫字母表示隨機變數，用小寫字母表示實數.
隨機變數是定義在樣本空間上的實值函式，但與普通的函式有本質的區別：隨機變數的自變數是隨機試驗結果，不一定是實數，在試驗前只能知道隨機變數的取值範圍，無法確定的取值，也就是說的取值有一定的概率.隨機變數的引入，使我們能用隨機變數描述隨機現象，進而能夠利用數學方法研究隨機現象。
例1 擲硬幣試驗，觀察出現正面和反面的情況，記
則樣本空間.建立樣本空間與實數集的對應：
便是乙個隨機變數.表示事件，表示事件，事件的概率用隨機變數表示為，事件的概率用隨機變數表示為.
隨機變數可以分為兩大類，一類是其取值可以一一枚舉出來的，稱為離散型隨機變數，它們可以僅取有限個值，也可以取無限可列個值；另一類是非離散型隨機變數，它們的取值無法一一枚舉出來,在非離散型隨機變數中，最重要的是連續型隨機變數.本書主要討論離散型和連續型隨機變數.
二、離散型隨機變數及其分布律
對隨機變數我們感興趣的不只是其可能取哪些值,更重要的是要知道其取這些值的概率.對於離散型隨機變數來說,如果知道了它的可能取值以及相應的概率,那麼對這個隨機變數就有了全面的了解.
1.離散型隨機變數及其分布律的概念
定義2 設隨機變數的所有可能取值為,取各個可能值的概率為
2-1)
則稱為離散型隨機變數，稱式(2-1) 為隨機變數的分布律(或概率分布).
隨機變數的分布律也可以用**的形式表示為:
2.分布律的性質
容易證明,分布律具有如下性質:
（1） 非負性: ;
（2） 規範性: .
可以證明：任何一組數，如果滿足上述兩條性質，都可以作為某個離散隨機變數的分布律。因此，上述兩條性質是離散型隨機變數的本質屬性.
例2 袋中有5個球，其中黑球3個，白球2個。現從中任取兩個球，求取出的兩個球中黑球數的分布律.
解設表示取出兩2個球中黑球數，則的所有可能取值為0,1,2.事件表示「兩個球都是白球」，表示「兩個球中一白一黑球」，表示「兩個球都是黑球」，則
於是x的分布律為:或用**表示：
三、常用的離散型隨機變數
下面介紹常用的離散型隨機變數.
1.兩點分布
定義3 若離散型隨機變數的分布律為
則稱服從引數為的兩點分布或(0-1)分布.
兩點分布的分布律也可以寫成
在實際問題中,兩點分布是經常遇見的一種分布.例如，對新生嬰兒的性別是否「男嬰」，射擊是否「中靶」，檢查產品是否「合格」等試驗，都可以用兩點分布的隨機變數來描述.
2.二項分布
二項分布是最常用的離散型概率分布，它是17世紀瑞士數學家伯努利通過試驗推導出來的.
定義4 若離散型隨機變數的分布律為
則稱服從引數為的二項分布，記為.
顯然, 二項分布的分布律滿足分布律兩條性質,非負性和規範性.重伯努利概型中事件發生的次數服從二項分布，即，其中為事件發生的概率，也就是說，二項分布的產生背景是重伯努利試驗；之所以稱為二項分布，是因為恰好是二項式展開式中的第項.特別的，當時，二項分布即為兩點分布，故兩點分布可以記為.
二項分布的圖形見圖2-1.
圖2-1 二項分布的圖形
例3 某人進行射擊，若每次射擊命中率為0.6,獨立射擊5次,求至少擊中2次的概率.
解將一次射擊看成一次試驗,5次射擊即5重伯努利試驗.設表示射擊中的次數,則.的分布律為
於是至少擊中2次的概率為
例4 設某牌空調的銷量佔全部空調銷量的40％，問隨機調查6名顧客，購買該牌空調的顧客恰為3名的概率是多少?至少有3名顧客的概率是多少?
解設隨機變數為「購買該牌空調的人數」,則~.6名顧客中有3名購買該牌空調的概率為:
=6名顧客中至少有3名購買該牌空調的概率為: ==
例5 設有80台同型別裝置,各台工作是相互獨立的,發生故障的概率都是0.01,且一台裝置的故障能由乙個人處理.考慮兩種配備維修工人的方法,其一是由4人維修,每人負責20臺,其二是由3人共同維護80臺.
試比較這兩種方法在裝置發生故障時不能及時維修的概率的大小.
解按第一種方法: 設表示第1人維護的20台中同一時刻發生故障的台數,則,第1人維護的20臺裝置發生故障時不能及時維修的概率為
按第二種方法: 設表示80台中同一時刻發生故障的台數,則,故 80臺裝置發生故障時不能及時維修的概率為
這一結果說明, 第二種方法節省人力,工作效率比第一種方法還好.
3. 泊松分布
二十世紀初羅瑟福和蓋克兩位科學家在觀察與分析放射性物質放出的粒子個數的情況時,他們做了2608 次觀察(每次時間為7.5 秒)發現放射性物質在規定的一段時間內, 其放射的粒子數x 服從泊松分布.
定義5 若離散型隨機變數的分布律為
則稱服從引數為的泊松分布，記為.
顯然, 泊松分布的分布律滿足分布律的非負性,且有規範性:
泊松分布刻畫的是稀有事件在一段時間內發生次數的分布,引數的意義將在第五章說明.具有泊松分布的隨機變數在實際應用中是很多的,例如,**交換台單位時間內接到的呼喚次數,某醫院在一天內接收的急診病人數,一本書一頁中的印刷錯誤數,某一地區乙個時間間隔內發生交通事故數等都服從泊松分布. 泊松分布圖形見圖2-2, 泊松分布概率可以查附表3的泊松分布表.
圖2-2 泊松分布圖形
例6 某航線的班機，常常有旅客預訂票後又臨時取消,若一段時間內預訂票而取消的人數服從引數為4的泊松分布.求(1)這段時間正好有4人取消的概率；(2) 這段時間不超過3人取消的概率；(3) 這段時間超過6人取消的概率.
解設表示預訂票而取消的人數,則,這段時間正好有4人取消的概率
;這段時間不超過3人取消的概率
;這段時間超過6人取消的概率
. 泊松分布的概率計算可以通過附表3查得.
歷史上, 泊松分布是作為二項分布的近似而引入的.下面介紹用泊松分布來逼近二項分布的定理.
定理1(泊松定理) 設隨機變數服從二項分布,則當近似服從泊松分布,即下面的近似等式成立
其中.(證明見參考文獻[1]).
在伯努利試驗中,當很大,通常指;很小, 通常指,且通常指時,用泊松分布近似求解二項分布.
例7 計算機硬體公司製造某種特殊型號的微型晶元，次品率為0.005，各晶元成為次品相互獨立.求在500只產品中次品數分別為0, 1, 2的概率.
解設表示500只產品中次品數, 則, 由定理1近似服從引數為的泊松分布,次品數分別為0,1,2的概率為
表2-1給出用二項分布直接計算的結果和泊松分布計算的結果.從表2-1可以看出,兩種分布對應的概率相當近似.
第二節隨機變數的分布函式與連續型隨機變數
一、分布函式的定義和性質
上一節討論的分布律完整描述了離散型隨機變數的統計規律性,非離散型隨機變數由於取值不能乙個乙個地列舉出來,無法寫出其分布律,因此,我們轉而研究隨機變數取值落在乙個區間內的概率.
定義1 設是隨機變數，是任意實數，函式
稱為隨機變數的分布函式.
如果將看成是數軸上的隨機點的座標,那麼, 分布函式在處的函式值就表示落在區間上的概率.分布函式是乙個普通函式,因此,我們將能用微積分的方法來研究隨機變數.
對於任意實數,有
因此,若已知的分布函式,我們就知道落在任一區間上的概率,從這個意義上說,分布函式完整地描述了隨機變數的統計規律性.
例1 設隨機變數的分布律為
求的分布函式.
解由分布函式的定義,有
當時,當時,當時,當時,的分布函式為:
易知，的圖形是一條階梯形的曲線,是跳躍點,跳躍值分別是0.3,0.2,0.5.
分布函式的性質:
(1)單調性:是乙個不減函式，即任意的；
(2)值域:；
(3)連續性:右連續，即.
可以證明：若函式滿足上述三條性質，則必存在乙個隨機變數，以為分布函式，因此，上述三條性質是隨機變數分布函式的本質屬性.
二 、連續型隨機變數及其概率密度的定義和性質
定義2 隨機變數的分布函式為，如果存在非負可積函式，使得對於任意實屬有
則稱為連續型隨機變數，並稱為的概率密度函式，簡稱概率密度.
由定義2根據微積分的知識知道,連續型隨機變數的分布函式是連續函式,而且,改變概率密度在各別點的函式值不影響分布函式的取值.
概率密度的性質:
（1） 非負性:;
（2） 規範性: .
第二章隨機變數及其分布習題
1.設隨機變數的分布律為 k 1,2,則常數 2.盒內有5個零件，其中2件次品，從中任取3件，用表示取出的次品數，則的概率分布為 3.設隨機變數，若，則 4.設服從引數為的泊松分布且已知，則 5.設隨機變數的分布律為0 1 則的分布函式 為6.設是離散型隨機變數的分布函式，若，則成立。7.設連續型隨...
第二節隨機變數及其分布
為了對隨機試驗進行全面和深入的研究，從中揭示出客觀存在的統計規律性，我們常把隨機試驗的結果與實數對應起來，即把隨機試驗的結果數量化，引入隨機變數的概念。隨機變數的概率論與數理統計的最基本的概念之一。2 1隨機變數的概念 在隨機現象中，許多隨機試驗的結果是可以用數量表示的。有些隨機試驗的結果雖然與數量...
離散型隨機變數及其分布
隨機變數 如果隨機試驗的結果可以用乙個變數的取值來表示，這個變數取值帶有隨機性，並且取這些值的概率是確定的，那麼這個變數叫隨機變數，通常用小寫希臘字母等表示。隨機變數的所有可能取值可以一一列出，這種隨機變數叫離散型隨機變數。如 某人連續射擊目標，射中目標的次數。隨機變數的所有可能取值是連續的充滿某個...