8.4因式分解（五）
提公因式法、公式法的綜合運用
一、教學目標
1. 進一步熟悉提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式.
2. 學生能根據不同題目的特點擊擇較合理的分解因式的方法.
3. 知道因式分解的方法步驟：有公因式先提公因式，以及因式分解最終結果的要求：必須分解到多項式的每個因式不能再分解為止.
二、教學重點、難點
知道因式分解的步驟和因式分解的結果的要求，能綜合運用提公因式法，運用公式法分解因式.
三、教學過程
(一)設定情境
情境1 比一比，看誰算得快
(1)65.52－34.522)1012－2×101×1＋1
(3)482＋48×24＋1224)5×552－5×452
思考 (1)在計算過程中，你用到了哪些因式分解的方法？
(2)能用平方差公式、完全平方公式分解因式的多項式有什麼特徵？
(3)計算中(3)和(4)能直接用公式嗎？((3)需變形為482＋2×48×12＋122，(4)需先提公因式，再用平方差公式)
情境2 分解因式①4a4－100 ②a4－2a2b
思考 (1)在解答這兩題的過程中，你用到了哪些公式？
(2)你認為(2a2＋10)(2a2－10)和(a2－b2)2這兩個結果是因式分解的最終結果嗎？如果不是，你認為還可以怎樣分解？
(3)怎樣避免出現上述分解不完全的情況呢？(學生可交流)
情境3 把下列各式分解因式(練習)
(1)ab2－2a2b－ab (2)a2－1 (3)a2b2－4ab＋4 (4)a3－a
思考 (1)你是怎樣確定乙個多項式的公因式的？具體方法由學生簡述，教師補充說明.
(2)請寫出平方差公式和完全平方公式.
情境4 (1)師生共同回顧前面所學過的因式分解的方法.
提取公因式法、運用公式法，並說明公因式的確定方法及公式的特徵.
(2)整理知識結構圖
提公因式法： 關鍵是確定公因式
因式分解運用公式法平方差公式：a2－b2=(a＋b)(a－b)
完全平方公式：a2±2ab＋b2=(a±b)2
結論多項式的因式分解，要根據多項式的特點，選擇使用恰當的方法去分解，對於有些多項式，有時需同時用到幾種不同的方法，才有分解完全.
(二)探索綜合使用提公因式法、運用公式法分解因式的方法步驟：
1. 先提取公因式後利用公式
例1 把下列各式分解因式
(1)18a2－502)2x2y－8xy＋8y (3)a2(x－y)－b2(x－y)
分析 ①先觀察18a2－50，發現含有公因式2，因此可以先提公因式，再繼續觀察另乙個因式9a2－25，能否再繼續分解.
②注意(3)的公因式是(x－y)
解：(1)18a2－50=2(9a2－252) 2x2y－8xy＋8y
2(3a＋5)(3a－52y(x2－4x＋4)=2y(x－2)2
(3) a2(x－y)－b2(x－y)=(x－y)(a2－b2)=(x－y)(a＋b)(a－b) (2) (3)可由學生口述，教師板書
歸納：將乙個多項式分解因式時，首先要觀察被分解的多項式是否有公因式，若有，就要先提公因式，再觀察另乙個因式特點，進而發現其能否用公式法繼續分解.
2. 兩個公式先後套用
例2把下列各式分解因式
(1)a4－162)81x4－72x2y2＋16y4
解：(1)a4－16=(a2＋4)(a2－4)=(a2＋4)(a＋2)(a－2)
(2)81x4－72x2y2＋16y4
=(9x2)2－2·9x2·4y2＋(4y2)2 =(9x2－4y2)2
=[(3x＋2y)2(3x－2y)]2 =(3x＋2y)2(3x－2y)2
例3 (供選擇)分解因式
(1)(a2＋b2)－4a2b22)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1
解：(1)(a2＋b2)－4a2b22)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1
=(a2＋b2)2－(2ab)2x2－2x)＋1]
=[(a2＋b2)＋2ab][(a2＋b2)－2abx2－2x＋1)2
=(a2＋b2＋2ab)(a2＋b2－2abx－1)2]2
=(a＋b)2(a－b)2x－1)4
說明 (1)本題(1)中把a2＋b2，2ab看作乙個整體，先用平方差，再用完全平方公式.
(2)把x2－2x看作乙個整體，先用完全平方公式，再用完全平方公式，從本題的解題過程，讓學生體會數學中「換元」的思想.
(3)本例還可以適當增加：(x2－6)(x2－2)＋4這種先變形後用公式的題型，體會數學中的化歸思想.
(三)因式分解的應用
例4 閱讀下列材料，然後回答文後問題
已知2x＋y=b，x－3y=1 求14y(x－3y)2－4(3y－x)3的值.
分析：先將14y(x－3y)2－4(3y－x)3進行因式分解，再將2x＋y=6和x－3y=1整體代入.
解：14y(x－3y)2－4(3y－x)3=14y(x－3y)2＋4(x－3y)3
=2(x－3y)2[7y＋2(x－3y)]
=2(x－3y)2(2x＋y)
當2x＋y=時，原式=2×12×6=12，回答下列問題：(1)上述問題體現了思想，這種思想在求值問題中經常用到.
(2)已知a＋b=5，ab=3，求代數式a3b＋2a2b2＋ab3的值.(由學生完成).
說明：本題目的是讓學生通過閱讀體會整體代換思想和因式分解在求值問題中的應用.
例5 已知，如圖，4個圓的半徑都為a，用代數式表示其中陰影部分的面積，並求當a=10，π取3.14時，陰影部分的
(四)練習
1、辨析分解因式 a4－8a2＋16
a4－8a2＋16=(a2－4)2=(a＋2)2(a－2)2=(a2＋2a＋4)(a2－2a＋4)
這種解法對嗎？如果不對，指出錯誤原因.
說明：本題考查學生因式分解與整式乘法的意義，錯因是混淆了二者的區別，走了「回頭路」
2. 選擇題：
多項式①16x5－x ②(x－1)2－4(x－1)＋4 ③(x＋1)4－4x(x＋1)2＋4x2 ④－4x2－1＋4x分解因式後，結果含有相同因式的是( )
ab、③④ cd、②③
3. 填空：
請寫出乙個三項式，使它能先提公因式，再運用公式法來分解因式，你編的三項式是 ，分解因式的結果是
本題設計說明：學生不僅要學會課本上的例題和習題，而且要懂得借助課本內容的思想方法去編擬習題，這是創新教育的一種表現形式.
4. 把下列各式分解因式
(1)3ax2－3ay42)－2xy－x2－y2 (3)3ax2＋6axy＋3ay2
(4)x4－815)(x2－2y)2－(1－2y)2
(6)x4－2x2＋17)x4－8x2y2＋16y4
分兩組板演：(1)~(3)一組，(4)~(7)為另一組，也可以投影部分學生的解答過程進行點評.
五、小結
學生通過例題的學習及練習自己總結在綜合運用提公因式法和運用公式法分解因式時要注意的問題和解題步驟，可由1個或幾個學生回答，互相補充，教師歸納(投影)
(1)如果多項式各項有公因式，應先提公因式，再進一步分解.
(2)分解因式必須分解到每個多項式的因式都不能再分解為止.
(3)因式分解的結果必須是幾個整式的積的形式.
即：「一提」、「二套」、「三查」特別強調「三查」，檢查多項式的每乙個因式是否還能繼續分解因式，還可以用整式乘法檢查因式分解的結果是否正確.
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