第二章因式分解
重點難點：
1、重點：了解因式分解與整式乘法的區分，學會因式分解的基本方法
2、難點：在練習中鍛鍊整式的計算能力及靈活使用因式分解
知識點：
一. 分解因式
1. 把乙個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因式.
2. 因式分解與整式乘法是互逆關係.
3. 分解因式必須徹底
因式分解與整式乘法的區別和聯絡:
(1)整式乘法是把幾個整式相乘,化為乙個多項式;
(2)因式分解是把乙個多項式化為幾個因式相乘.
二. 提公共因式法
1. 如果乙個多項式的各項含有公因式,那麼就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.
如:2. 概念內涵:
(1)因式分解的最後結果應當是「積」;
(2)公因式可能是單項式,也可能是多項式;
(3)提公因式法的理論依據是乘法對加法的分配律,即:
3. 易錯點點評:
(1)注意項的符號與冪指數是否搞錯;
(2)公因式是否提「乾淨」;
(3)多項式中某一項恰為公因式,提出後,括號中這一項為+1,不漏掉.
三. 運用公式法
1. 如果把乘法公式反過來,就可以用來把某些多項式分解因式.這種分解因式的方法叫做運用公式法.
2. 主要公式:
(1)平方差公式:
(2)完全平方公式: （1） （2）
3. 易錯點點評:
因式分解要分解到底.如就沒有分解到底.
4. 運用公式法:
(1)平方差公式:
①應是二項式或視作二項式的多項式;
②二項式的每項(不含符號)都是乙個單項式(或多項式)的平方;
③二項是異號.
(2)完全平方公式:
①應是三項式;
②其中兩項同號,且各為一整式的平方;
③還有一項可正負,且它是前兩項冪的底數乘積的2倍.
5. 因式分解的思路與解題步驟:
(1)先看各項有沒有公因式,若有,則先提取公因式;
(2)再看能否使用公式法;
(3)用分組分解法,即通過分組後提取各組公因式或運用公式法來達到分解的目的;
(4)因式分解的最後結果必須是幾個整式的乘積,否則不是因式分解;
(5)因式分解的結果必須進行到每個因式在有理數範圍內不能再分解為止.
四. 分組分解法:
1. 分組分解法:利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法.
如:2. 概念內涵:
分組分解法的關鍵是如何分組,要嘗試通過分組後是否有公因式可提,並且可繼續分解,分組後是否可利用公式法繼續分解因式.
3. 注意: 分組時要注意符號的變化.
五. 十字相乘法:（難）
1.對於二次三項式,將a和c分別分解成兩個因數的乘積, , , 且滿足,往往寫成的形式,將二次三項式進行分解.
如: 2. 二次三項式的分解:
3. 規律內涵:
(1)理解:把分解因式時,如果常數項q是正數,那麼把它分解成兩個同號因數,它們的符號與一次項係數p的符號相同.
(2)如果常數項q是負數,那麼把它分解成兩個異號因數,其中絕對值較大的因數與一次項係數p的符號相同,對於分解的兩個因數,還要看它們的和是不是等於一次項係數p.
4. 易錯點點評:
(1)十字相乘法在對係數分解時易出錯;
(2)分解的結果與原式不等,這時通常採用多項式乘法還原後檢驗分解的是否正確.
典型例題精講:
例1．下列各式從左到右的變形中，是因式分解的為（ ）
ab、cd、
分析：做這類題一定要把概念分析清楚。因式分解的條件有：（1）左邊是乙個多項式；（2）右邊是積的形勢；（3）右邊的每乙個因式必須是整式；（4）分解因式必須徹底。
答案：a
例2.利用分解因式證明： 能被120整除。
分析：首先要了解某個數被另乙個數整除是乙個什麼概念。即a能被b整除，則b是a的乙個約數，可以表示成a=bxc。
做這類題我們只要把多項式因式分解，其中乙個因式就是所給的除數就可以了。
例3.若則
分析：做這類題只要記住兩個完全平方公式，對它們進行推導得到：x+y=（x+y）-2xy=(x-y) +2xy；
xy=【 (x+y) -(x+y)】÷2；（x+y）=(x-y) +4xy。
課堂練習:
一、選擇題
1．下列各式中從左到右的變形屬於分解因式的是（ ）.
ab.c. d.
2．把多項式－8a2b3c＋16a2b2c2－24a3bc3分解因式，應提的公因式是( )，
a.－8a2bc b. 2a2b2c3 c.－4abc d. 24a3b3c3
3．下列因式分解錯誤的是
ab．cd．4．下列多項式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ）
b.－x2＋1 d.－x2－1
5．把－6(x－y)2－3y(y－x)2分解因式，結果是( )．
a.－3(x－y)2(2＋yb. －(x－y)2(6－3y)
c.3(x－y)2(y＋2d. 3(x－y)2(y－2)
6．把代數式分解因式，下列結果中正確的是( ).
a． b． c． d．
7．比較左、右兩圖的陰影部分面積，可以得到因
式分解公式( ).
ab.c. d.
8．對於任何整數，多項式都能（ ）
a.被8整除 b.被m整除 c.被(m－1)整除 d.被(2m－1)整除
9．已知a=2012x+2009，b=2012x+2010，c=2012x+2011，則多項式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值為（ ）
a.0b.1c.2d.3
10．滿足m2＋n2＋2m－6n＋10=0的是（ ）
n=311.當n是整數時，不一定是
a、2的倍數 b、4的倍數 c、6的倍數 d、8的倍數
12.設，那麼等於( )
a、 b、 c、 d、
11.三角形的三邊、、滿足，則這個三角形是( )
a、等腰三角形 b、等邊三角形 c、直角三角形 d、等腰直角三角形
二、填空題
1．2a2b－6ab2分解因式時，應提取的公因式是
2． －x－1
3．多項式與的公因式是
4．若a＋b=2011,a－b=1,z則a2－b2
5.因式分解：1＋4a2－4a
6.已知長方形的面積是（），若一邊長為，則另一邊長為
7.如果a2＋ma＋121是乙個完全平方式，那麼m＝________或_______.
8.已知正方形的面積是（，）,利用分解因式，寫出表示
該正方形的邊長的代數式
9.學習了用平方差公式分解因式後，在完成老師布置的練習時，小明將一道題記錯了乙個符號，他記成了－4x2－9y2，請你幫小明想一想，老師布置的原題可能是________.
10.如果多項式加上乙個單項式以後，將成為乙個整式完全平方式，那麼加上的單項式是
11.若時
12.已知，則
13.觀察下列各式：，…將你猜想到的規律用只含乙個字母的式子表示出來
三、計算題
1.分解因式
(1)－x3＋2x2－x2) a2－b2＋2b－1
(34)
(56)
(7)x-11x+248)x+5x-24
(910)
2. 四、思考題
1.能被198整除嗎？能被200整除嗎？說明你的理由
2．若，求的值？
3.閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：
1+x+x(x+1)+x(x+1) =(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x) (1+x)
=(1+x)
(1)上述分解因式的方法是________，共應用了_______次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1) +…+ x(x+1)，則需應用上述方法______次，結果是________
(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1) +…+ x(x+1) (n為正整數).
北師大八年級下冊第二章《分解因式》大全
乙個文件精品盡在 知識梳理 1 分解因式的概念 把乙個多項式分成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式2 分解因式與整式乘法的關係 分解因式與整式乘法是的恒等變形。3 分解因式的一些注意點 1 結果應該是的形式 2 必須分解到每個因式都不能為止 3 如果結果有相同的因式，必須寫成的形式。1 公...
八年級數學下 第二章分解因式單元測試北師大版
八下 第2章分解因式 單元練習北師大版 滿分120分，時間90分鐘 一 選擇題 每題4分，共40分 1 下列從左到右的變形，其中是因式分解的是 ab c d 2 把多項式 8a2b3 16a2b2c2 24a3bc3分解因式，應提的公因式是 a 8a2bc b 2a2b2c3 c 4abc d 24...
新北師大版八年級數學下第四章因式分解全章學案
第4章因式分解學案 4.1因式分解 一 基礎訓練 1 下面式子從左邊到右邊的變形是因式分解的是 a x2 x 2 x x 1 2b a b a b a2 b2 c x2 4 x 2 x 2d x2 x x 2 下列各式分解因式正確的是 a a b b ab 4x2y 8xy2 1 4xy x y 1...