離散型隨機變數的概念分布

會求出某些簡單的離散型隨機變數的概念分布

過程與方法：使學生初步學會利用離散型隨機變數思想描述和分析某些隨機現象的方法，並能用所學知識解決一些實際問題，進一步體會概率模型的作用，初步形成用隨機觀念

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會求出某些簡單的離散型隨機變數的概念分布

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「離散型隨機變數」的教學設計之我見

人民教育出版社中數室田載今

隨機變數是因隨機試驗結果的變化而變化的量．由於隨機試驗的結果是事先無法確定的，所以表示隨機試驗結果的量要因結果的不同而變化，這樣的量當然屬於隨機變數．隨機變數的本質是定義在樣本空間ω上的乙個對映，它把試驗結果映為實數，即r，其中，且對任意實數x，由滿足的基本事件所組成的集合也是乙個事件．

引入隨機變數的概念，其作用不僅是把隨機試驗的結果數量化從而帶來表示方法的簡化，更重要的是把對隨機現象統計規律的研究數學化，從而可以利用數學方法研究隨機現象的規律性，其中對隨機變數的概率分布的研究是實現這種轉化的關鍵．

如果樣本空間是可數的，即或，則隨機變數的取值也可以一一列出，這樣的隨機變數即離散型隨機變數．離散型隨機變數比連續型隨機變數更容易理解，它是高中數學學習的主要隨機變數型別．

一般地，關於離散型隨機變數的教學目標大多規定為：

通過具體例項，歸納概括離散型隨機變數的特徵，得出離散型隨機變數的概念；

體會引入隨機變數的作用；

滲透將實際問題轉化為數學問題進行隨機分析的思想方法．

目前的高中數學教材中，離散型隨機變數和離散型隨機變數的分布列大都先後出現在兩個小節中的內容．從教師教學用書中所附的教學設計案例和一般的實際教學過程看，將這兩個內容分在兩節課中學習是一般的教學安排．在這部分內容的第一課時中，通常只安排關於離散型隨機變數概念的內容，而不涉及離散型隨機變數的分布列．筆者認為，這樣安排是有一定道理的：第一，離散型隨機變數是基礎概念，離散型隨機變數的分布列是針對離散型隨機變數而定義的，從邏輯關係上說兩者有先後之分；第二，兩個概念的第一次出現分在不同課時內，學習內容單一，目標明確，可以將其分別解決，避免認識不清而產生混淆，從而使基本概念學得更紮實牢固；第三，這樣處理與現行教材的課文、練習、習題的安排順序保持基本一致，便於學生自學和做作業．

兵法曰：兵無常態，水無常勢．這就是說解決問題的方法不是一成不變的，應根據實際情況權衡利弊相機行事．同樣地，教學有法，教無定法．一種教學設計難以方方面面都能兼顧，往往在保證了一些方面有利的同時，也存在另一些方面的不足．如前所述，引入離散型隨機變數的概念，體會引入隨機變數的作用，滲透將實際問題轉化為數學問題進行隨機分析的思想方法，是本部分的教學目標，三者是相互聯絡的乙個整體（三位一體）．如果只是引入離散型隨機變數的概念，而不能較明顯地體現為什麼要引入它，則會影響對其作用和相關思想方法的體會．要體現引入隨機變數的作用，滲透將實際問題轉化為數學問題進行隨機分析的思想方法，顯然離不開對離散型隨機變數的概率分布的研究，這是把對隨機現象統計規律的研究數學化的關鍵．從這個角度看，如果能在同一課時中引入離散型隨機變數後，緊接著出現分布列，使兩者更密切地聯絡起來，可能更有利於教學目標的實現．

筆者考察實際教學發現，在一節課中僅討論離散型隨機變數，內容上顯得比較單薄，時間上顯得比較寬餘，效果上顯得比較拖沓，從提高教學效率考慮似還有潛力可挖．更重要的是，如果只引入隨機變數而不涉及概率分布，這節課至多只能使人感到隨機變數是對試驗結果的一種數量化表示，而無法認識這種表示與隨機度量（即可能性大小）的密切聯絡，這使得體會隨機變數作用的效果大打折扣．在高中數學教材的向量部分，曾指出「如果沒有運算，向量只是乙個『路標』，因為有了運算，向量的力量無限．」與此類似，如果不涉及概率分布，隨機變數只是一種「表示」，因為有了概率分布，隨機變數才能在研究隨機現象時發揮作用．

筆者認為，將離散型隨機變數和其分布列更緊密地聯絡起來，在實際教學中具有可行性．為說明這一點，筆者不揣冒昧地提出如下一種教學過程的設計草案，敬請讀者指正．

離散型隨機變數及其分布列第一課時的教學過程草案

一、描述隨機變數

試驗結果經常可以用表示計數或度量的量來表示，例如出現某種現象的次數，某物理量的長度，等等．即使是定性的試驗結果，也可以數量化表示．例如擲硬幣時，正面向上記為1，反面向上記為0．表示隨機試驗結果的量，其取值事先不能確定，它隨著試驗結果隨機確定．一般地，隨著試驗結果的變化而變化的量叫做隨機變數（random variable）．隨機變數通常用表示．

二、考慮隨機試驗案例及相關問題

請看下面的隨機試驗，並考慮相關問題．

隨機試驗1 擲一枚質地均勻的骰子．

（1）用x表示擲出的點數，要表示試驗的全部可能結果，x應取哪些值？

擲骰子時，擲出的點數可能是1，2，3，4，5，6中的乙個，但事先不能確定，結果是隨機產生的．用x表示擲出的點數，x的值應隨機地取1，2，3，4，5，6中的某個．

（2）x取到每乙個值的概率各是多少？

由古典概型可知，x取1，2，3，4，5，6中每乙個值的概率都是這可以列表表示如下：

（3）x<5表示什麼？它對應的概率是多少？

x<5表示事件「點數小於5」，即事件「點數為1或2或3或4」．它的概率為

（4）如果多次重複擲一枚骰子，那麼擲出點數的平均值最可能是多少？

每次擲出的點數無法事先確定，因此多次擲出的點數的平均值也無法事先確定．但是，我們可以依據「大量重複試驗時頻率穩定於概率」對此進行估計．由於點數1，2，3，4，5，6出現的頻率都會穩定於，所以多次重複擲骰子時點數的平均值最可能是

隨機試驗2 同時擲兩枚質地均勻的硬幣．

（1）用x表示擲出正面的個數，要表示試驗的全部可能結果，x應取哪些值？

擲兩枚硬幣時，擲出正面的個數可能是0，1，2中的乙個，但事先不能確定，結果是隨機產生的．用x表示擲出正面的個數，x的值應隨機地取0，1，2中的某個．

（2）x取到每乙個值的概率各是多少？

由古典概型可知，x取0，1，2中每乙個值的概率可以列表表示如下：

（3）x<2和x>0各表示什麼？它們對應的概率各是多少？

x<2表示事件「正面個數小於2」，即事件「正面個數為0或1」； x>0表示事件「正面個數大於0」，即事件「正面個數為1或2」．它捫的概率分別為和．

（4）如果多次重複這個試驗，那麼擲出正面個數的平均值最可能是多少？

每次擲出的結果無法事先確定，因此多次擲出的正面個數的平均值也無法事先確定．但是，我們可以依據「大量重複試驗時頻率穩定於概率」對此進行估計．由於點數0，1，2出現的頻率分別會穩定於，和，所以多次重複試驗時正面個數的平均值最可能是

三、引出離散型隨機變數及其分布列

思考1 上面兩個x是隨機變數嗎？它們的取值形式有什麼特點？這些取值與試驗結果有什麼關係？

在上述試驗及相關問題中，兩個x分別表示「點數」和「正面個數」，它們都是表示隨機試驗的結果的量，都隨試驗結果的變化而變化，因此都是隨機變數．這兩個隨機變數的所有可能取值都可以一一列出，即分別為1，2，3，4，5，6和0，1，2．每一列數都對應著乙個試驗的所有可能結果．

一般地，所有可能取值能夠一一列出的隨機變數，叫做離散型隨機變數（discrete random variable）．

思考2 上面兩個**的形式有什麼特點？它們表示了什麼內容？

上面問題中的**，分兩行列出隨機變數x的可取值，以及各值對應的概率．它不僅表示出離散型隨機變數x的變化範圍，而且表示出各種變化的可能性大小，即從變化內容及其可能性這兩方面全面地刻畫了離散型隨機變數x．

一般地，表示離散型隨機變數x的所有可能值及取各個值的概率的**

叫做x的分布列（distribution series）．x的分布列也可以表示為

，容易發現，由於與隨機試驗的全部可能結果一一對應，所以它們所對應的概率的和

思考3 初步體會離散型隨機變數及其分布列的作用．

從上面的問題可以看出，對於研究隨機試驗問題，例如估計多次重複試驗結果的平均值，離散型隨機變數及其分布列是非常有用的工具．由此可以覺察，引入隨機變數給定量地表示和研究隨機性問題帶來方便；有了離散型隨機變數及其分布列，就可以對許多隨機試驗的結果從變化範圍和變化可能性兩方面有更清晰的認識．

四、例題

此處例題為鞏固與加深對離散型隨機變數及其分布列的一般認識而安排,二項分布、超幾何分布等內容安排在後續課時．

例用隨機變數x表示擲兩枚骰子的試驗結果,並寫出x的分布列．

解：設x表示兩枚骰子的點數之和，則x的分布列為

根據x的分布列，可以求出有關事件的概率．例如，

,五、小結

1. 回顧離散型隨機變數及其分布列的概念；

2. 初步體會離散型隨機變數及其分布列在研究隨機試驗問題時的作用．

前面已經說過，教學有法，教無定法．教材和教學的設計方案具有多樣性，不同方案各有長短．選擇方案的關鍵在於從實際出發，在保證重點，突出要實現的主要教學目標的前提下，力求教學效果的最大化．筆者提出上述意見及教學設計，只是一孔之見，意在拋磚引玉，能為改進教材和教學的討論提供參考．

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《離散型隨機變數及其分布列》教學反思

一、教學內容、要求以及完成情況的再認識

《離散型隨機變數的分布列》在近幾年高考的推波助瀾下愈發突顯出其應用性和問題設計的新穎和創造性，如火如荼的新課改時時刻刻在提醒我們「思路決定出路」，們明確教學設計應是為了「學生的學而設計教」，不是為了「老師的教而設計學」。

1.學的重點應是離散型隨機變數的分布列的含義與性質而非如何求概率

看過《離散型隨機變數的分布列》的幾個**，大多採用「乙個定義、三項注意、變式訓練」的傳授型數學概念教學模式，定義匆匆過，訓練變式多，學生表示隨機變數的分布列時錯誤不斷。這些錯誤集中指向是某些事件的概率求錯，從而導致分布列的表示錯誤，老師又糾錯，學生還犯錯。整堂課反映出的教學重點是求隨機事件的概率。

孰不知學生出錯的根本原因是在思維的過程中沒有有意識的將分布列問題轉化為求互斥事件的概率。正所如皮之不存、毛之焉附，。

2.數學概念的教學應是從創設概念的生長點的問題情境切入**而不是拋給學生

「乙個定義、三項注意、變式訓練」的「拋式」數學概念教學模式，猶如過眼雲煙，未建立在學生已有的認知基礎上的數學概念的理解猶如空中樓閣，未建立在思維的最近發展區內進行的模擬歸納的正遷移思維猶如斷了翅膀的鳥，未歷經數學概念的**而進行的變式訓練亦不過是模仿解題。「問題是數學的心臟」，數學活動是由「情景問題」驅動的，「問題解決」是其主要的活動形式，創設可以連續變式的正多面體的問題情境，提出從低緯度向高緯度發展的問題是歷經數學概念再創造的好的開始。

離散型隨機變數的概念分布

離散型隨機變數及其分布

離散型隨機變數及其分布列

離散型隨機變數的分布列測試

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