1．（2013新課標全國ⅰ，12分）一批產品需要進行質量檢驗，檢驗方案是：先從這批產品中任取4件作檢驗，這4件產品中優質品的件數記為n.如果n＝3，再從這批產品中任取4件作檢驗，若都為優質品，則這批產品通過檢驗；如果n＝4，再從這批產品中任取1件作檢驗，若為優質品，則這批產品通過檢驗；其他情況下，這批產品都不能通過檢驗．假設這批產品的優質品率為50%，即取出的每件產品是優質品的概率都為，且各件產品是否為優質品相互獨立．
(1)求這批產品通過檢驗的概率；
(2)已知每件產品的檢驗費用為100元，且抽取的每件產品都需要檢驗，對這批產品作質量檢驗所需的費用記為x(單位：元)，求x的分布列及數學期望．
解：本題主要考查獨立重複試驗和互斥事件的概率、條件概率、離散型隨機變數的分布列和數學期望等，意在考查考生的閱讀理解能力及運用所學概率知識解決實際問題的能力．
(1)設第一次取出的4件產品中恰有3件優質品為事件a1，第一次取出的4件產品全是優質品為事件a2，第二次取出的4件產品都是優質品為事件b1，第二次取出的1件產品是優質品為事件b2，這批產品通過檢驗為事件a，依題意有a＝(a1b1)∪(a2b2)，且a1b1與a2b2互斥，所以p(a)＝p(a1b1)＋p(a2b2)
＝p(a1)p(b1|a1)＋p(a2)p(b2|a2)
＝×＋×
＝.(2)x可能的取值為400,500,800，並且
p(x＝400)＝1－－＝，p(x＝500)＝，
p(x＝800)＝.
所以x的分布列為
ex＝400×＋500×＋800×＝506.25.
2．(2013山東，12分)甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束．除第五局甲隊獲勝的概率是外，其餘每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設各局比賽結果互相獨立．
(1)分別求甲隊以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率；
(2)若比賽結果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分、對方得0分；若比賽結果為3∶2，則勝利方得2分、對方得1分．求乙隊得分x的分布列及數學期望．
解：本題考查相互獨立事件的概率、二項分布、離散型隨機變數的概率分布與數學期望等基礎知識，考查分類與整合思想，考查運算求解能力，考查分析問題和解決問題的能力．
(1)記「甲隊以3∶0勝利」為事件a1，「甲隊以3∶1勝利」為事件a2，「甲隊以3∶2勝利」為事件a3，
由題意知，各局比賽結果相互獨立，
故p(a1)＝3＝，
p(a2)＝c2×＝，
p(a3)＝c22×＝.
所以，甲隊以3∶0勝利、以3∶1勝利的概率都為，以3∶2勝利的概率為.
(2)設「乙隊以3∶2勝利」為事件a4，
由題意知，各局比賽結果相互獨立，
所以p(a4)＝c22×＝.
由題意知，隨機變數x的所有可能的取值為0,1,2,3，
根據事件的互斥性得
p(x＝0)＝p(a1＋a2)＝p(a1)＋p(a2)＝，
又p(x＝1)＝p(a3)＝，
p(x＝2)＝p(a4)＝，
p(x＝3)＝1－p(x＝0)－p(x＝1)－p(x＝2)＝，
故x的分布列為
所以ex＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
3．（2013湖南，12分）某人在如圖所示的直角邊長為4公尺的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物．根據歷年的種植經驗，一株該種作物的年收穫量y(單位：kg)與它的「相近」作物株數x之間的關係如下表所示：
這裡，兩株作物「相近」是指它們之間的直線距離不超過1公尺．
(1)從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好「相近」的概率；
(2)從所種作物中隨機選取一株，求它的年收穫量的分布列與數學期望．
解：本小題主要考查古典概型、離散型隨機變數的分布列與數學期望的求解，考查考生的閱讀理解能力、收集資料的能力、運算求解能力和創新意識．
(1)所種作物總株數n＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地塊內部的作物株數為3，邊界上的作物株數為12.從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株的不同結果有cc＝36種，選取的兩株作物恰好「相近」的不同結果有3＋3＋2＝8種．
故從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物，它們恰好「相近」的概率為＝.
(2)先求從所種作物中隨機選取的一株作物的年收穫量y的分布列．
因為p(y＝51)＝p(x＝1)，p(y＝48)＝p(x＝2)，
p(y＝45)＝p(x＝3)，p(y＝42)＝p(x＝4)，
所以只需求出p(x＝k)(k＝1,2,3,4)即可．
記nk為其「相近」作物恰有k株的作物株數(k＝1,2,3,4)，則n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.
由p(x＝k)＝，得p(x＝1)＝，p(x＝2)＝，p(x＝3)＝＝，p(x＝4)＝＝.
故所求的分布列為
所求的數學期望為
e(y)＝51×＋48×＋45×＋42×＝＝46.
解析：∵p(x＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝，隨機變數x的可能值為0,1,2,3，因此p(x＝0)＝，p(x＝1)＝×()2＋×()2＝，p(x＝2)＝×()2×2＋×()2＝，p(x＝3)＝×()2＝，因此e(x)＝1×＋2×＋3×＝.
答案：4．（2012山東，12分）現有甲、乙兩個靶．某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得2分，沒有命中得0分．該射手每次射擊的結果相互獨立．假設該射手完成以上三次射擊．
(1)求該射手恰好命中一次的概率；
(2)求該射手的總得分x的分布列及數學期望ex.
解：(1)記：「該射手恰好命中一次」為事件a，「該射手射擊甲靶命中」為事件b，「該射手第一次射擊乙靶命中」為事件c，「該射手第二次射擊乙靶命中」為事件d，由題意知p(b)＝，p(c)＝p(d)＝，由於a＝b ＋c＋d，
根據事件的獨立性和互斥性得
p(a)＝p(b＋c＋d)
＝p(b)＋p(c)＋p(d)
＝p(b)p()p()＋p()p(c)p()＋p()p()p(d)
＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×
＝.(2)根據題意，x的所有可能取值為0,1,2,3,4,5.
根據事件的獨立性和互斥性得
p(x＝0)＝p()
＝[1－p(b)][1－p(c)][1－p(d)]
＝(1－)×(1－)×(1－)
＝.p(x＝1)＝p(b)＝p(b)p()p()
＝×(1－)×(1－)＝.
p(x＝2)＝p(c＋d)＝p(c)＋p(d)
＝(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×
＝，p(x＝3)＝p(bc＋bd)＝p(bc)＋p(bd)
＝××(1－)＋×(1－)×＝，
p(x＝4)＝p(cd)＝(1－)××＝，
p(x＝5)＝p(bcd)＝××＝.
故x的分布列為
所以ex＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
5．（2012江蘇，10分）設ξ為隨機變數．從稜長為1的正方體的12條稜中任取兩條，當兩條稜相交時，ξ＝0；當兩條稜平行時，ξ的值為兩條稜之間的距離；當兩條稜異麵時，ξ＝1.
(1)求概率p(ξ＝0)；
(2)求ξ的分布列，並求其數學期望e(ξ)．
解：(1)若兩條稜相交，則交點必為正方體8個頂點中的1個，過任意1個頂點恰有3條稜，所以共有8c對相交稜，因此p(ξ＝0)＝＝＝.
(2)若兩條稜平行，則它們的距離為1或，其中距離為的共有6對，
故p(ξ＝)＝＝，
於是p(ξ＝1)＝1－p(ξ＝0)－p(ξ＝)＝1－－＝，
所以隨機變數ξ的分布列是
因此e(ξ)＝1×＋×＝.
6．(2011新課標全國，12分)某種產品的質量以其質量指標值衡量，質量指標值越大表明質量越好，且質量指標值大於或等於102的產品為優質品，現用兩種新配方(分別稱為a配方和b配方)做試驗，各生產了100件這種產品，並測量了每件產品的質量指標值，得到下面試驗結果：
a配方的頻數分布表
b配方的頻數分布表
(1)分別估計用a配方，b配方生產的產品的優質品率；
(2)已知用b配方生產的一件產品的利潤y(單位：元)與其質量指標值t的關係式為y＝從用b配方生產的產品中任取一件，其利潤記為x(單位：元)，求x的分布列及數學期望．(以試驗結果中質量指標值落入各組的頻率作為一件產品的質量指標值落入相應組的概率)
解：(1)由試驗結果知，用a配方生產的產品中優質品的頻率為＝0.3，所以用a配方生產的產品的優質品率的估計值為0.3.
由試驗結果知，用b配方生產的產品中優質品的頻率為＝0.42，所以用b配方生產的產品的優質品率的估計值為0.42.
(2)用b配方生產的100件產品中，其質量指標值落入區間[90,94)，[94,102)，[102,110]的頻率分別為0.04,0.54,0.
42，因此p(x＝－2)＝0.04，p(x＝2)＝0.54，p(x＝4)＝0.
42，即x的分布列為
x的數學期望ex＝－2×0.04＋2×0.54＋4×0.42＝2.68.
7．(2010山東，12分)某學校舉行知識競賽，第一輪選拔共設有a、b、c、d四個問題，規則如下：
(1)每位參加者計分器的初始分均為10分，答對問題a、b、c、d分別加1分、2分、3分、6分，答錯任一題減2分；
(2)每回答一題，計分器顯示累計分數，當累計分數小於8分時，答題結束，淘汰出局；當累計分數大於或等於14分時，答題結束，進入下一輪；當答完四題，累計分數仍不足14分時，答題結束，淘汰出局；
(3)每位參加者按問題a、b、c、d順序作答，直至答題結束．假設甲同學對問題a、b、c、d回答正確的概率依次為，，，，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．
離散型隨機變數及其分布列
主備人 徐恩戰審核人 徐恩戰使用時間 2013 05 學習目標 理解離散型隨機變數及其分布列的概念。學習重點 離散型隨機變數的兩種特殊分布列的應用。引入 1 某人射擊一次，可能出現哪些結果?2 某次產品檢驗，在可能含有次品的100件產品中任意抽取4件，其中含有多少件次品？概念生成 1 隨機變數的概念...
離散型隨機變數及其分布
隨機變數 如果隨機試驗的結果可以用乙個變數的取值來表示，這個變數取值帶有隨機性，並且取這些值的概率是確定的，那麼這個變數叫隨機變數，通常用小寫希臘字母等表示。隨機變數的所有可能取值可以一一列出，這種隨機變數叫離散型隨機變數。如 某人連續射擊目標，射中目標的次數。隨機變數的所有可能取值是連續的充滿某個...
離散型隨機變數的分布列測試
姓名高三素質測試一 1.袋中有2個黑球6個紅球，從中任取兩個，可以作為隨機變數的是 a 取到的球的個數b 取到紅球的個數 c 至少取到乙個紅球d 至少取到乙個紅球的概率 2 拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點數與第二枚骰子擲出的點數的差為x，則 x 4 表示試驗的結果為 a 第一枚為5點，第二...