相似三角形中的對應高

──一道課本習題的變式**

湖北省黃石市下陸中學宋毓彬

人教九年級數學下冊複習題27第13題是一道應用「相似三角形對應高的比等於相似比」進行求解的幾何問題。由此題生成的中考題和競賽題近幾年來頻頻出現，下面就這道習題的一般變式作系列**。

一、原題再現

如圖，△abc是一塊銳角三角形材料，邊bc=120mm，高ad=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在bc上，其餘兩個頂點分別在ab、ac上，這個正方形零件的邊長是多少？

分析：如圖1，efgh為正方形，則ef∥bc，ak⊥ef，

設正方形邊長為x，△aef的高可寫成ak=ad—kd=ad—ef=80—x。

由△aef∽△abc，即

解得x=48 即正方形零件的邊長是48mm

點評：在應用相似三角形的性質解題時，同學們比較熟悉的性質是對應角相等、對應邊成比例，而相似三角形中「對應高的比等於相似比」則不太熟悉。但在解決相似三角形的面積問題或內接四邊形問題時，我們一定要注意用好相似三角形中的對應高。

二、拓展一：三角形內接矩形長寬間的數量關係**

例1　如圖所示，某校計畫將一塊形狀為銳角△abc的空地進行生態環境改造，已知△abc的邊bc長為120m，高ad長80m，學校計畫將它分割成△ahg、△bhe、△gfc和矩形efgh四部分，現計畫在△ahg上種草，在△bhe、△gfc上種花。問：當fg長為多少公尺時，種草的面積與種花的面積相等？

（2023年鄂州市中考題）

分析：如圖2，四邊形efgh為矩形，則gh∥bc，ak⊥gh，

設fg=x，ak=ad－fg=80—x

由△ahg∽△abc，即，

hg=120－x，又be+fc=bc－ef=bc—hg=x

由s△ahg=s△bhe +s△gfc，

（120－x）（80—x）=·x·x 解得x=40

即fg長40公尺時，種草的面積與種花的面積相等。

點評：利用相似三角形對應高的比等於相似比，將hg用gf的式子表示出來，是解題的關鍵。

三、拓展二：三角形內接矩形面積的最值問題**

例2　有一塊三角形土地，它的底邊bc=100公尺，高ah=100公尺。某單位要修建一座底面是矩形defg的大樓，當這座大樓的地基面積最大時，這個矩形的長和寬各是多少？

分析：如圖3，四邊形efgd為矩形，則gd∥bc，ak⊥gd，

設gf=x，則ak=ah—gf=100—x

由△adg∽△abc，即

dg=100—x，s四邊形defg=（100－x）x= —（x—50）2+2500

x=50時，s四邊形defg最大，此時dg=100—x=50，

即矩形長寬均為50公尺時地基面積最大。

點評：三角形形內接矩形的面積與矩形的長寬有關。借助相似三角形中邊與高的關係，將矩形的長與寬聯絡起來，找出長與寬之間的數量關係，將面積表示成長或寬的二次函式式，進而可得到面積最大的限制條件。

四、拓展三：由一般到特殊的**

例3　如圖4，面積為a－c的正方形defg內接於面積為1的正三角形abc，其中a、b、c為整數，且b不能被任何質數的平方整除，則的值等於。（2023年全國初中數學競賽）

分析：設正方形defg的邊長為x，正三角形abc的邊長為m。作ah⊥bc交dg於k。

正三角形abc中，ah=m，則ak=ah—gf=m—x

由s△abc=1，·m·m=1，m2=

由△adg∽△abc，即，x=（2—3）m

x2=（2—3）2m2=28—48 即a－c=28—48，

∴a=28，b=3，c=48，=

點評：已知三角形的面積，尋求正三角形與內接正方形的邊長關係，進而得到面積關係，是解決本題的關鍵。但解決本題的如口仍然是借助相似三角形對應高的比將三角形的邊長與正方形的邊長聯絡起來。

五、拓展四：三角形內接矩形分割的各部分間面積關係**

例4（武漢市初中數學競賽初賽試題）如圖5，點d、e在bc上，點f、g分別在ac、ab上，且四邊形defg為正方形。如果s△cfe=s△agf=1，s△bdg=3。那麼s△abc等於（）

a．6 b．7 c．8 d．9

分析：設正方形defg的邊長為x。

作ah⊥bc於h，交gf於k。則ak⊥gf。

由s△cfe=s△agf=1，s△bdg=3。

則ec=，bd=，ak=，bc=ec+bd+de=x+。

由△agf∽△abc，即，x4=16，x=2。

∴s△abc=1+1+3+22=9。

相似三角形中的對應高

相似三角形

相似三角形

相似三角形

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