【複習內容】
1． 多邊形的內角和與外角和
2．平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質和判定
3．梯形的定義，等腰梯形的性質和判定，梯形中常用的輔助線
4．平行線等分線段定理，三角形、梯形的中位線定理
【考點指要】四邊形所涉及的知識點均是考點，也是中考內容必涉及的熱點，思維層次居中，是重點但不是難點。
【典型例題】
例1．如圖1，在四邊形abcd中，∠a=135°，∠b=∠d=90°，bc=2，ad=2，則四邊形abcd的面積是（ ）
a．4 b．4c．4 d．6
分析：在處理四邊形或多邊形的邊長、角度或面積問題時，常將不規則的圖形通過「割」或「補」轉化為特殊三角形或特殊四邊形的問題加以解決。
解：延長ba、cd交於點e，則易知△ebc是等腰直角三角形，從而s△ebc=eb·ec=6
同理s△eda=2，故s四邊形abcd =6－2=4.
例2．如圖2，四邊形abcd是平行四邊形，且∠ead=∠baf。
（1）求證：△cef是等腰三角形；
（2）△cef的哪兩邊之和恰好等於 abcd 的周長？證明你的結論。
分析：（1）根據已知條件不難證明∠e=∠f，得△cef是等腰三角形。
（2）易探索出ce+cf等於 abcd的周長。
證明：（1）由題意，得da∥cf，ab∥ce，
∴∠ead=∠f，∠baf=∠e。
又∵∠ead=∠baf， ∴∠e=∠f， 故ce=cf。
（2）∵∠ead=∠baf=∠f=∠e，
∴de=ad，fb=ab
∴ce+cf=cd+ad+cb+ab，即ce+cf等於 abcd的周長。
說明；中考中關於平行四邊形的考題大多結合三角形知識進行考查，而平行四邊形的性質定理是證明兩條線平行、相等及兩角相等的重要依據。
例3 如圖3， abcd中，aq、bn、cn、dq分別是∠dab、∠abc、∠bcd、
∠cda的平分線，aq與bn交於p，cn與dq交於m，在不新增其它條件的情況下，試寫出乙個由上述條件推出的結論，並給出證明過程（要求：推理過程中要用到「平行四邊形」和「角平分線」這兩個條件）。
由題設條件可得出：△apb是直角三角形．
證明如下：在 abcd中，∵ad∥bc， ∴∠bad+∠abc=180°
又∵aq、bn分別平分∠bad，∠abc，
∴∠bap+∠abp=90°，即∠apb=90°故△apb是直角三角形。
事實上，由題設條件還可得出△bpa≌△dmc，四邊形pqmn是矩形等結論。
說明：解此類問題要審清題意：（1）不增加任何條件；（2）推理過程中要用到「平行四邊形」和「角平分線」這兩個條件，否則算錯。
例4．如圖4，以長為2的定線段ab為邊作正方形abcd，取ab的中點p，鏈結pd，在ba的延長線上取點f，使pf=pd，以af為邊作正方形amef，點m在ad上。
（1）求am、dm的長；
（2）求證；am2=ad·dm
分析：（1）在rt△pad中，利用勾股定理可以算出pd==pf，am=af=pf－ap=－1，dm=ad－am=2－（－1）=3－
（2）利用代數方法證明等積式，分別計算等式左、右兩邊。
解（1）∵正方形abcd的邊長為2，p是ab中點，
∴ab=ad=2，ap=1，∠bad=90°
∴pd= 又∵pf=pd， ∴af=－1
在正方形amef中，am=af=－1，md=ad－am=3－
證明（2）：由（1）得，ad·dm=2（3－）=6－2，
am2=（－1）2=6－2am2=ad·dm
說明：代數計算也是證明幾何問題的方法之一，不要忽視。
例5 如圖5，四邊形abcd是正方形，四邊形acef為菱形，e在fb上，求∠ecb的度數。
解：鏈結bd，設它與ac交於點o。過e作egac於g。
∵四邊形abcd是正方形。 ∴bdac， ∴eg∥bo
又∵四邊形acef是菱形， ∴fe∥ac
∴四邊形ebog是平行四邊形， ∴eg=bo=bd=ac=ec。
在rt△ceg中，由eg=ec，得∠ecg=30°
又∵∠acb=45°，∴∠ecb=45°－30°=15°。
說明：**出eg=ec是解決本題的關鍵所在。
例6．如圖6，梯形abcd，ab∥cd，ac=bc，且acbc，bd=ba，求∠dac的度數。
分析：欲求∠dac，應先求出∠dab，但題設條件只有bd=da，於是想到梯形中常用的輔助線——高，可轉化為先求∠abd，從而問題迎刃而解。
解：分別過d、c作deab於e，cfab於f
∵ac=bc，abbc， ∴cf=ab 又ab=bd， ∴cf=bd，即de=bd。
在rt△bde中，由de=bd，設∠abd=30° 注意到ab=bd，∴∠dab=75°。
而∠cab=45° ∴∠dac=75°－45°=30°
說明：本題可根據梯形中常用的輔助線找到另外解法，同學們不妨一試。
例7．如圖7，△abc中，點o是ac邊上的乙個動點，過點o作直線mn∥bc設mn交∠bca的平分線於點e，交∠dca的平分線點f。
（1） 求證：oe=of；
（2） 當點o運動到何處時，四邊形aecf是矩形？並證明你的結論。
（3）若ac邊上存在點o，使四邊形aecf是正方形，且， 求∠b的大小。
分析：（1）可通過oc作橋梁，證得oe=oc=of。（2）可先證aecf是平行四邊形，再證明∠ecf=90°。（3）結合三角函式易求出∠b的大小。
證明（1）：由已知，mn∥bc， ∴∠oec=∠bce， 又∵∠bec=∠oce，
∴∠oec=∠oce， 從而oe=oc，同理of=oc， 故oe=of。
解（2）：當點o運動到ac邊的中點時，四邊形aecf是矩形。
∵oe=of，oa=oc， ∴四邊形aecf是平行四邊形。
又∵∠ecf=∠eco+∠ocf=（∠bca+∠acd）=90°， ∴ aecf是矩形。
（3）若四邊形aecf是正方形，則acef， 又ef∥bc， ∴acbc。
在rt△abc中，tan b=, ∴∠b=60°.
說明：（1）證明四邊形是矩形（或菱形），通常先證它是平行四邊形，再根據矩形（或菱形）的特有條件論證它是矩形（或菱形）。（2）解動態幾何問題的一般方法是考察所給圖形上的動點運動到某一特殊位置上的靜止狀態，再研究此時各元素之間的位置或數量關係，使問題得到解決。
例8． 如圖8，梯形abcd中，ad∥bc，ad：bc=1：3，對角線ac與bd相交於o，aebc，垂足為e，ae恰好過bd的中點f，∠fbe=30°
（1）求證：△aof是等邊三角形
（2）若bf和of是關於x的方程x2－（k－2）x+k=o的兩實根，試求k的值，並求梯形abcd的面積。
分析：（1）可作dgbc於g，將ad轉化為eg，再根據f是bd的中點及ad：bc=1：
3，可證出△aec≌△dgb，得∠cae=∠bdg=60°，結合∠afo=∠bfe=60°，可知△aof是等邊三角形。
（2）利用根與係數關係求出反值，進而求出方程的根，再求出ad=2，bc=6，ae=4，得梯形abcd的面積為16。
證明（1）：過d作dgbc於g，則ad=eg.
∵ad∥bc，f是bd的中點， ∴ad=be，af=ef.
又∵ad：bc=1：3， ∴gc=ad， ∴ec=bg. ∴∠rt△aec≌rt△dgb,
∴∠cae=∠bdg= 90°－30°=60°, 又∠afo=∠bfe=60° 故△aof是等邊三角形，
解（2）：設of=x1，bf=x2， ∵bf=2ef=2af=2of， ∴x2=2x1
由根與係數關係得即，解得k1= k2= 8.
∵k= x1＜0，應捨去。 ∴k=8，此時x1=2, x2=4.
從面ad=2 故s梯形abcd =16。
說明：中考試題中常出現以特殊四邊形為背景設計的，與三角形、相似形、方程或函式等知識有機結合的綜合題，難度較大且靈活，解題時應結合特殊四邊形的有關性質，採用數形結合、轉化等思想方法，實破難點，以較快地找到解題途徑。
【專題練習】
一、 選擇題
1．五邊形的內角和與外角和的比是（ ）
a．5：2
b．2：3
c．3：2
d．2：5
中考複習之四邊形專題 精
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