圖形的相似
第一部分知識梳理
1. 對應邊成比例，對應角都相等的兩個多邊形相似。相似多邊形的對應邊之比叫做相似比。
2. 相似三角形：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似
3. 相似三角形的判定方法：
三邊對應成比例的兩個三角形相似。
兩個角對應相等的兩個三角形相似。
兩邊對應成比例並且夾角相等的兩個三角形相似。
4. 判定三角形相似，一般先找等角，當難發現等角或僅能判定一組等角時，則應轉向證明邊對應成比例。
5. 相似三角形幾種基本型別：
平行線型：常見的有如下兩種，de∥bc，則△ade∽△abc
相交線型：常見的有如下四種情形，
如圖（1）（2），已知∠1=∠b，則由公共角∠a得，△ade∽△abc
如下圖（3），已知∠1=∠b，則由公共角∠a得，△adc∽△acb
如下圖（4），已知∠b=∠d，則由對頂角∠1=∠2得，△ade∽△abc
1234）
旋轉型：如圖（5）已知∠bad=∠cae，∠b=∠d，則△ade∽△abc，下圖為常見的基本圖形．
母子型：如圖（6）已知∠acb=90°，ab⊥cd，則△cbd∽△abc∽△acd．
56） 第二部分精講點撥
考點1.多邊形相似
【例1】已知四邊形abcd與四邊形a1b1c1d1相似，且a1b1:b1c1:c1d1:
d1a1=7:8:11:
14，若四邊形abcd的周長為40，求四邊形abcd的各邊的長．
變式1 下列說法正確的是（ ）
a．所有的平行四邊形都相似 b．所有的矩形都相似
c．所有的菱形都相似d．所有的正方形都相似
變式2 如圖，四邊形abcd和efgh相似，求角α、β的大小和eh的長度x。
考點2. 相似三角形
【例2】下列說法正確的是（ ）
a．全等三角形一定相似b．相似三角形一定全等
c．有乙個角是40°的兩個等腰三角形相似 d．兩個等腰直角三角形不一定相似
變式1 △abc的三條邊之比為2：5：6，與其相似的另乙個△a′b′c′最大邊長為15cm，則另兩邊長的和為 ．
變式2 已知：在△abc中，三邊長分別為，，2，△a』b』c』 的兩邊長分別為1，，若△abc∽△a』b』c』，則△a』b』c』的第三邊長為（ ）
a． b．２ c． d．２
考點3. 相似三角形的判定
【例3】根據下列條件，判斷與是否相似，並說明裡由：
(1(2變式1 在△abc中，be⊥ac，cf⊥ab，求證：△abc∽△aef。
變式2 已知△abc中，ab=ac，∠a=36°，bd是角平分線，求證：△abc∽△bcd
變式3 如圖在rt△abc 中，ad⊥bc於d。
（1）求證：△bac∽△bda∽△adc
（2）求證：；；
（3）已知：bd=6，cd=3，求ad、ab、ac； （4）已知：ac=6，bd=9，求bc、ab、ad。
考點四.**創新
【例5】 如圖，∠acb＝∠adc＝900，ac＝，ad＝2。問當ab的長為多少時，這兩個直角三
角形相似？
變式已知如圖，正方形abcd的邊長為1，p是cd邊的中點，點q**段bc上，設bq＝，
是否存在這樣的實數，使得q、c、p為頂點的三角形與△adp相似，若存在，求出的值；若不存
在，請說明理由。
第三部分過關檢測
【基礎闖關】
1. 關於相似多邊形的下列敘述正確的是（ ）
a.對應邊相等的多邊形叫做相似多邊形 b.多邊形的邊數不等時也可以相似
c.對應角、對應邊都相等的多邊形叫做相似多邊形
d.對應角相等、對應邊成比例的多邊形叫做相似多邊形
2. 下列說法中，正確的是（ ）
a.銳角三角形都相似b.直角三角形都相似
c.等腰三角形都相似d.等邊三角形都相似
3. 如圖，平行四邊形abcd中，e是ab延長線上一點，鏈結de，交ac於g，交bc於f，那麼圖中相似三角形（不含全等三角形）共有（ ）對。
a. 6b. 5c. 4d. 3
4. 如圖，、分別是、的中點，則（ ）
a． 1∶2 b．1∶3 c．1∶4 d． 2∶3
5. 如圖所示，給出下列條件：①；②；③；
④．其中單獨能夠判定的個數為（ ）
a．1 b．2 c．3 d．4
6. 把乙個矩形剪去乙個正方形，若剩餘的矩形和原矩形相似，則原矩形的長與寬之比是
7. 在直角座標系中，已知a（－3，0）、b（0，－4）、c（0，1），過c點作直線交軸於d，使得以點d、c、o為頂點的三角形與△aob相似，這樣的直線有條。
8．乙個鋼筋三角架長分別為20cm、50 cm、60 cm，現要再做乙個與其相似的鋼筋三角架，而只有長為30 cm和50 cm的兩根鋼筋，要求以其中一根為一邊，從另一根上截下兩段（允許有餘料）作為兩邊，則不同的載法有種。
9. 如圖，d為δabc內一點，e為δabc外一點，且∠1=∠2，∠3=∠4.
(1)δabd與δcbe相似嗎？請說明理由.
(2)δabc與δdbe相似嗎？請說明理由.
10. 如圖，點c、d**段ab上，且δpcd是等邊三角形.
(1)當ac，cd，db滿足怎樣的關係時，δacp∽δpcb；
(2)當δpcb∽δacp時，試求∠apb的度數.
第四部分中考鏈結
1、已知：在直角座標系中的位置如圖所示，為的中點，點為折線上的動點，線段把分割成兩部分．
問：點在什麼位置時，分割得到的三角形與相似？
（注：在圖上畫出所有符合要求的線段，並求出相應的點的座標）．
2．在中，，
點在所在的直線上運動，作
（按逆時針方向）．
（1）如圖1，若點**段上運動，交於．
①求證：；
②當是等腰三角形時，求的長．
（2）①如圖2，若點在的延長線上運動，的反向延長線與的延長線相交於點，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點的位置；若不存在，請簡要說明理由；
②如圖3，若點在的反向延長線上運動，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點的位置；若不存在，請簡要說明理由．
3、一般來說，數學研究物件本質屬性的共同點和差異點。將數學物件分為不同種類的數學思想叫「分類」的思想。將事物分類，然後對劃分的每一類進行研究和求解的方法叫做：
「分類討論」的方法。請依據分類的思想和分類討論的方法解決下列問題：
如圖，在中， >
（1）若是銳角,請探索在直線ab上有多少個點d，能保證∽（不包括全等）
（2）請對進行恰當的分類，直接寫出每一類在直線ab上能保證∽（不包括全等）的點d的個數。
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