2023年高二期末測試
數學（理科）
命題人: 安道波何豔國馬利
本試卷分第i卷（選擇題）和第ii卷（非選擇題）兩部分，其中第ii卷第21、22題為選考題，其它題為必考題．考生作答時，將答案答在答題卡和答題紙上，在本試卷上答題無效．
第i卷一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．若複數（是虛數單位），則=
（ab）1 （cd）2
2．離散型隨機變數的分布列為
則實數的值為 ( )
（abcd）
3．若有乙個線性回歸方程為＝,則變數增加乙個單位時 ( )
（a） 平均增加2.5個單位b） 平均增加0.5個單位
（c） 平均減少2.5個單位d） 平均減少0.5個單位
4．隨機變數服從正態分佈，若，且，則等於（ ）
（a） 0.4 （b） 0.3 （c） 0.2 （d） 0.1
5．若二項式的展開式中常數項是60，則正實數的值（ ）
（ab） （c）2 （d）4
6．從4名學生中，選出3人分別從事三項不同的工作，其中甲不能從事工作a，則不同的選派方案共有
（a）18種 （b）20種 （c）24種 （d）36種
7．從1，2，3，4，5中任取2個不同的數，事件a為「取到的2個數之和為偶數」，事件b為「取到的2個數均為奇數」，則（ ）
（a） （b） （c） （d）
8．個人排成一排,其中甲、乙兩人至少有一人在兩端的不同排法種數是（ ）
（a） （b） （c） （d）
9．隨機變數服從二項分布，即～，若則等於（ ）
（a） （bc） 1d）0
10．6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人兩本，不同的分法種數是（ ）
（a） （b） （c） （d）
11． 若，則的值為（ ）
（a） （b） （c） （d）
12．在用數學歸納法證明的過程中：假設當時，不等式成立，則需證當時，也成立．若，則＝( )
（a） （b）
（c） （d）
第ii卷
本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題~第20題為必考題，每個試題考生都必須做答．第21題~第22題為選考題，考生根據要求做答．
二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．設， (為虛數單位)，則的值為_______．
14. 把4件不同產品擺成一排，若產品與產品不相鄰，則不同的擺法有種.
15．由數字0，1，2，3，4組成無重複數字的三位數中，不同的偶數有個．
16．二維空間中圓的一維測度(周長)，二維測度(面積)，觀察發現為的導數)；三維空間中球的二維測度(表面積)，三維測度(體積)，觀察發現v′＝s( v′為v的導數)．則由四維空間中「超球」的三維測度，猜想其四維測度w
三、解答題：本大題共6題,共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（本小題滿分12分）
某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數多少之間的關係，他們分別到氣象局與某醫院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數，得到如下資料：
該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組資料中選取2組，用剩下的4組資料求線性回歸方程，再用被選取的2組資料進行檢驗．
（ⅰ）若選取的是1月與6月的兩組資料，請根據2月至5月份的資料，求出y關於x的線性回歸方程＝x＋；
（ⅱ）若由線性回歸方程得到的估計資料與所選出的檢驗資料的誤差均不超過2人，則認為得到的線性回歸方程是理想的，試問該小組所得線性回歸方程是否理想．
附：（參考資料）
18．（本小題滿分12分）
某班主任對全班40名學生進行了作業量多少的調查．資料如下表：
（ⅰ）請完善上表中所缺的有關資料；並根據表中資料，問是否有95%的把握認為「喜歡玩遊戲與作業量的多少有關係」？
（ⅱ）從不喜歡玩遊戲的學生中隨機抽取2名學生，表示認為作業多的學生人數，求的分布列．
附：χ2＝.
19．(本小題滿分12分)
甲乙兩人獨立解某一道數學題，已知該題被甲獨立解出的概率為，被甲和乙都解出的概率為．
（ⅰ）求該題被乙獨立解出的概率；
（ⅱ）求解出該題的人數的數學期望和方差．
20．(本小題滿分12分)
為提高學生學習數學的興趣，某地區舉辦了學生「數獨比賽」．比賽成績共有90分，70分，60分，40分，30分五種，按本次比賽成績共分五個等級．從參加比賽的學生中隨機抽取了30名學生，並把他們的比賽成績按這五個等級進行了統計，得到如下資料表：
（ⅰ）根據上面的統計資料，試估計從本地區參加「數獨比賽」的學生中任意抽取一人，其成績等級為「 或」的概率；
（ⅱ）根據（ⅰ）的結論，若從該地區參加「數獨比賽」的學生（參賽人數很多）中任選3人，記表示抽到成績等級為「或」的學生人數，求的分布列及其數學期望．
21．選考題:（本小題滿分12分．請考生在a，b，c三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時，用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號塗黑．）
a．選修4-1:幾何證明選講
如圖，直線ab經過⊙上的點，並且，，⊙交直線於點、，鏈結、.
（ⅰ）求證：直線是⊙的切線；
（ⅱ）若，⊙的半徑為3，求的長.
b．選修4—4：座標系與引數方程
以直角座標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極座標系．已知曲線的極座標方程為，直線的引數方程
是： .
（ⅰ）求曲線的直角座標方程，直線的普通方程；
（ⅱ）將曲線的橫座標縮短為原來的，再向左平移1個單位，得到曲線，求曲線上的點到直線距離的最小值.
c．選修4—5：不等式選講
已知函式，且的解集為[－1,1]．
（ⅰ ）求的值；
（ⅱ ）若，且，求證：．
22．選考題:（本小題滿分10分．請考生在a，b，c三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時，用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號塗黑．）
a．選修4-1:幾何證明選講
b．選修4—4：座標系與引數方程
以直角座標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極座標系．已知點的直角座標為，點的極座標為，若直線過點，且傾斜角為，圓以為圓心為半徑．
（ⅰ）寫出直線的引數方程和圓的極座標方程；
（ⅱ）試判定直線和圓的位置關係．
c．選修4—5：不等式選講
設函式，且的最小值為，若，
求的取值範圍．
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