第一章隨機變數習題一
系班姓名學號
1、寫出下列隨機試驗的樣本空間
(1)同時擲三顆骰子，記錄三顆骰子點數之和
=(2)生產產品直到有10件**為止，記錄生產產品的總件數
=(3)對某工廠出廠的產品進行檢驗，合格的記上「**」，不合格的記上「次品」，如連續查出2個次品就停止，或檢查4個產品就停止檢查，記錄檢查的結果。用「0」表示次品，用「1」表示**。
=(4)在單位圓內任意取一點，記錄它的座標
=(5)將一尺長的木棍折成三段，觀察各段的長度
=其中分別表示第
一、二、三段的長度
(6 ) .10只產品中有3只次品 ，每次從其中取乙隻(取後不放回) ，直到將3只次品都取出 ， 寫出抽取次數的基本空間u =
「在 ( 6 ) 中 ，改寫有放回抽取」 寫出抽取次數的基本空間u =
解: ( 1 ) u =
其中 ei 表示 「 抽取 i 次 」 的事件 。 i = 3、 4、 …、 10
( 2 ) u =
其中 ei 表示 「 抽取 i 次 」 的事件 。 i = 3、 4、 …
2、互不相容事件與對立事件的區別何在？說出下列各對事件的關係
(1)與互不相容 (2)與對立事件
(3)與互不相容4)與相容事件
(5)20個產品全是合格品與20個產品中只有乙個廢品互不相容
(6)20個產品全是合格品與20個產品中至少有乙個廢品對立事件
解: 互不相容對立事件 : 且
3、設a,b,c為三事件，用a,b,c的運算關係表示下列各事件
(1)a發生，b與c不發生2)a與b都發生，而c不發生 -
(3)a,b,c中至少有乙個發生 - (4)a,b,c都發生 -
(5)a,b,c都不發生 - (6)a,b,c中不多於乙個發生 -
(7)a,b,c中不多於兩個發生-
(8)a,b,c中至少有兩個發生-
4、盒內裝有10個球，分別編有1- 10的號碼，現從中任取一球，設事件a表示「取到的球的號碼為偶數」，事件b表示「取到的球的號碼為奇數」，事件c表示「取到的球的號碼小於5」，試說明下列運算分別表示什麼事件.
(1) 必然事件2) 不可能事件
(3) 取到的球的號碼不小於5 (4) 1或2或3或4或6或8或10
(5) 2或46) 5或7或9
(7) 6或8或108) 2或4或5或6或7或8或9或10
5、指出下列命題中哪些成立，哪些不成立.
(1) 成立2) 不成立
(3) 不成立 (4) 成立
(5)若，則成立 (6)若，且，則成立
(7)若，則成立 (8)若，則成立
7、設乙個工人生產了四個零件，表示事件「他生產的第i個零件是**」，用, , ,的運算關係表達下列事件.
(1)沒有乙個產品是次品； (1)
(2)至少有乙個產品是次品；(2)
(3)只有乙個產品是次品；(3)
(4)至少有三個產品不是次品
4) 8. 設 e、f、g是三個隨機事件，試利用事件的運算性質化簡下列各式 ：
(1) (2)（3）
解 :(1) 原式
(2) 原式
(3) 原式
9、設是兩事件且，問(1)在什麼條件下取到最大
值，最大值是多少？(2)在什麼條件下取到最小值，最小值是多少？
解: (12)
10. 設事件 a， b， c 分別表示開關 a， b， c 閉合 ， d 表示燈亮 ，
則可用事件a，b，c 表示：(1) d = ；(2) = 。
11、設a,b,c是三事件，且，
求a,b,c至少有乙個發生的概率.
解:12. (1)設事件a , b的概率分別為與，且 a 與 b 互斥，則 = .
(2).乙個盒中有8只紅球，3隻白球，9只藍球 ，如果隨機地無放回地摸3只球 ，則取到的3 只都是紅球的事件的概率等於 _______。
(3) 一袋中有4隻白球，2只黑球，另乙隻袋中有3隻白球和5只黑球，如果
從每只袋中各摸乙隻球 ，則摸到的乙隻是白球，乙隻是黑球的事件的概率
等於 ______。
(4) .設 a1 , a2 , a3 是隨機試驗e的三個相互獨立的事件，
已知p(a1) = , p(a2) = ，p(a3) = ，則a1 , a2 , a3 至少有乙個
發生的概率是 1 (1)(1 )(1) .
(5) ．乙個盒中有8只紅球，3隻白球，9只藍球，如果隨機地無放回地摸3只球，
則摸到的沒有乙隻是白球的事件的概率等於 ______。
13、在1500個產品中有400個次品，1100個**，任取200個，求
(1)恰有90個次品的概率2)至少有2個次品的概率.
解14、兩射手同時射擊同一目標，甲擊中的概率為0.9，乙擊中的概率為0.8，兩射手
同時擊中的概率為0.72，二人各擊中一槍，只要有一人擊中即認為「中」的，
求「中」的概率.
解: 「甲中乙中」
15、8封信隨機地投入8個信箱(有的信箱可能沒有信)，問每個信箱恰有一封信的概
率是多少？
解:16、房間裡有4個人，問至少有兩個人的生日在同乙個月的概率是多少？
解：設所求事件「至少有兩個人的生日在同乙個月的」
「任何兩個人的生日都不在同乙個月」
17、將3個球隨機地放入4個杯子中去，問杯子中球的最大個數分別為1,2,3的概
率各是多少？
解：3個球放入4個杯子中去共有種放法，設表示杯子中球的最大個數為n的事件,表示每只杯子最多只能放乙個球，共有種方法，故;表示有乙隻杯子中放2個球，先在3個球中任取2只放入4個杯子中的任意乙隻，共有種方法，剩下的乙個球可以放入剩下的3只杯子中的任乙隻，有3種放法，故包含的基本事件數為，於是;表示有乙隻杯子中放3個球，共有4種方法，故.
18. 設乙個質點等可能地落在 xoy 平面上的三角形域 d 內 ( 其中 d 是 x = 0 ，y = 0 ， x + y = 2所圍成的 ) ， 設事件 a 為： 質點落在直線 y = 1 的下側 ， 求 p(a) 。
19、(1)已知，求
(2)已知，求
解: (12)
20、一批產品共100個,其中有次品5個，每次從中任取乙個，取後不放回,
設( i =1，2，3，)表示第i次抽到的是次品，求：
， ，21、市場上**的燈泡中，甲廠產品佔70%，乙廠佔30%，甲廠產品的合格率為95%，
乙廠的合格率是80%。若用事件、分別表示甲、乙兩廠產品，b表示合格品。
試寫出有關事件的概率.
(1) 702) 30% (3) 95%
(4) 80% (5) 5% (6) 20%
22、袋中有10個球，9個是白球，1個是紅球，10個人依次從袋中各取一球，每人
取一球後，不再放回袋中，問第一人，第二人，……，最後一人取得紅球的概
率各是多少？
解: 解：設第i個人取得紅球的事件,
則為第i個人取得白球的事件，
顯然,同理23、某種動物由出生活到20年以上的概率為0.8，活25年以上的概率為0.4，問現
年20歲的這種動物活支25歲以上的概率是多少？
解：設為的事件，為的事件
則所求事件的概率為
24、十個考籤中四個難的，三人參加抽籤，(不放回)甲先、乙次、丙最後，記事件
a,b,c分別表示甲、乙、丙各抽到難簽，求.
解：25. 設 0< p(c) <1 ，試證 ：對於兩個互不相容的事件 a，b，恒有
p = p + p
證: 26、設事件a與b互斥，且，證明.
證明：由於，故
27、一批零件為100個，次品率為10%，每次從中任取乙個，不再放回，求第三次才
能取得**的概率是多少？
解：設為，由於次品率為10%，故100個零件約有90個**，次品10個，設為，即第一次第二次都取得次品，第三次才取得**，則由一般乘法公式得
28、設每100個男人中有5個色盲者，而每10000個女人中有25個色盲者，今在3000
個男人和 2000個女人中任意抽查一人， 求這個人是色盲者的概率。
解: a ：「 抽到的一人為男人」；b ： 「 抽到的一人為色盲者」
則29、設有甲、乙兩袋，甲袋裝有n隻白球，m只紅球；乙袋中裝有n隻白球，m只紅
球，今從甲袋中任取乙隻球放入乙袋中，再從乙袋中任意取乙隻球，問取到白
球的概率是多少？
解：設表示從甲袋中任取乙隻白球放入乙袋中的事件，
表示從甲袋中任取乙隻紅球放入乙袋中的事件，
表示從甲袋中任取乙隻球放入乙袋後再從乙袋中取乙隻白球的事件，
所求事件
由全概率公式：
易知：於是30、某工廠由甲、乙、丙三個車間生產同一種產品，它們的產品佔全廠產品的比例
分別為25%,35%,40%；並且它們的廢品率分別是5%,4%,2%
(1)今從該廠產品中任取一件問是廢品的概率是多少？
(2)如果已知取出的一件產品是廢品，問它最大可能是哪個車間生產的？
概率論與數理統計 考試內容 華南理工大學
概率統計考試範圍參考 第一章隨機事件與概率 概率的性質 古典概率與幾何概率 條件概率與乘法公式。全概率公式 bayes公式，獨立性，二項概率。第二章一維隨機變數及其分布 分布函式及性質。離散型隨機變數,分布列。常用的離散型分布及性質。連續型隨機變數，密度函式。常用的連續型分布及性質。隨機變數函式的分...
概率論與數理統計
2003 2004學年第一學期概率論與數理統計 b 期末考試試卷 一 本題滿分35分，共有5道小題，每題7分 1 擲2顆均勻的色子，令a b 1 求，2 判斷隨機事件是否相互獨立？2 設連續型隨機變數的密度函式為，求 1 常數 2 概率。3 設隨機變數與的數學期望分別是和2，方差分別是1和4，而相關...
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