第一章隨機事件及其概率
§1.1 隨機事件
一、隨機試驗和隨機事件
1．隨機試驗（記為e） 若試驗滿足條件：
(1) 可以在相同條件下重複進行；
(2) 所有可能結果事先已知；
(3) 作一次試驗究竟哪乙個結果出現，事先不能確定，則稱該試驗為隨機試驗．
2．基本事件隨機試驗的每乙個不可發分解的結果成為試驗的乙個基本事件（樣本點）用記號ω表示．
3．樣本空間所有基本事件（樣本點）的集合稱為樣本空間，用記號ω表示．
4．隨機事件樣本空間ω的乙個子集，用記號a,b,c等表示．
5．必然事件在一定的條件下，每次試驗中一定要發生的事件，用記號ω表示．
6．不可能事件在一定的條件下，每次試驗中一定不發生的事件，用記號φ表示．
二、事件的關係及其運算
1．事件的包含若事件a發生必然導致事件b發生，則稱事件b包含事件a ，記為或．
2．事件的相等若且，則稱事件與相等，記為．
3．事件的和（並） 事件a與事件b的和（並）是乙個事件c ，它表示事件a與事件b中至少有乙個發生，記為或．
個事件的和（並）是乙個事件，它表示個事件中至少有乙個事件發生，記為
==無窮多個事件的和（並）是乙個事件，它表示無窮個事件中至少有乙個事件發生，記為
．4．事件的積（交） 事件與事件的積（交）是乙個事件，它表示事件與事件同時發生，記為或．
個事件的積（交）是乙個事件，它表示n個事件同時發生，記為
c= aa…a==
無窮多個事件的積（交）是乙個事件c，它表示無窮個事件同時發生，記為
=．5．事件的差事件與事件的差是乙個事件，它表示事件發生而事件不發生，記為．
6．互斥事件（不相容事件） 若事件a與事件b不能同時發生，即，則稱事件a與事件b為互斥事件（不相容事件）．
若事件組中任意兩個都是互斥的，則稱該事件組是互斥事件組．
同一樣本空間中任意兩個基本事件都是互斥的．
7．對立事件（逆事件） 「事件a不發生」的事件稱為事件a的對立事件. 的對立事件記為．
關於對立事件，有性質
(1) =（必然事件）；
(2) =（不可能事件）；
(3) =．
兩個互為對立的事件，一定是互斥事件；反之，互斥事件不一定是對立事件．
§1.2 事件的概率
一、概率的統計定義
在某一不變的條件下，重複作次試驗，當試驗次數較大時，如果事件的頻率穩定在某一數值的附近，而且一般來說隨著試驗次數的增大，這種擺動的幅度越來越小，則稱為事件在已知條件下發生的概率，記為
．二、概率的古典定義
設隨機試驗的樣本空間，為有限正整數，且每個樣本點出現的可能性相等，則事件出現的概率為
．三、概率的公理化定義
設隨機試驗的樣本空間為對於的每個隨機事件，都有實數與其對應，如果它滿足三條公理：
1．（非負性） ．
2．（規範性） ．
3．（可列可加性） 如果在隨機事件中， 則有
則稱為事件的概率．
四、概率的性質（由公理化性質推導出）
性質1 （有限可加性）設個隨機事件兩兩互斥，則
性質2 對於任意隨機事件，有
性質3 設，則有
性質4 （加法公式）設為任意兩個隨機事件，則有
性質可推廣為：對於個隨機事件，有
§1.3 條件概率
一、條件概率
1．定義如果是兩個隨機事件，, 則稱在發生的前提下發生的概率為條件概率，記為．
2．計算公式設是兩個隨機事件且, 則
．二、乘法公式
1．乘法公式設為兩個隨機事件，則有
．2．乘法公式的推論對於任何正整數,當時，有
．三、全概率公式和貝葉斯公式
1．完備事件組設為一事件組，若
(1)；
(2)則稱事件組是樣本空間的乙個完備事件組（或的乙個劃分）．
2．全概率公式設是樣本空間的乙個完備事件組，並且,為任意乙個事件，則
此公式叫做全概率公式，簡稱為全概公式．
3．貝葉斯公式（逆概率公式） 設是樣本空間的乙個完備事件組，並且，對於任意乙個事件，則有
．§1.4 事件的獨立性
一、事件的獨立性
1．定義設為兩個隨機事件，如果它們滿足等式
則稱事件與是相互獨立的．
2. 當時，事件與相互獨立．
3．定理若四對事件; ,; ,; ,中有一對是相互獨立的，則另外三對也都是相互獨立的．
4．個事件的相互獨立對於任何正整數, 都有
成立，則稱個事件相互獨立，這裡， 是滿足不等式的任何個自然數．
二、獨立試驗序列概型
1．重貝努利試驗
(1) 貝努利試驗如果乙個隨機試驗只有兩種可能結果和，並且, , 則稱此試驗為貝努利試驗．
(2) 重貝努利試驗貝努力試驗獨立重複進行次，稱為重貝努利試驗．
2．重貝努利試驗概率計算公式
設=「重貝努利試驗**現次」，則
．第二章隨機變數與分布
§2.1 隨機變數及其分布
一、隨機變數
定義如果對於樣本空間中的每乙個樣本點，都惟一地對應著乙個實數,則稱實值變數為乙個隨機變數，簡記為．
一般用希臘字母等，或用大寫拉丁字母等表示隨機變數．
二、隨機變數的分類
一般分為離散型隨機變數及連續型隨機變數．
三、分布函式
1．概念設為隨機變數，稱函式
為隨機變數的分布函式（或累積概率函式）．
2．分布函式的性質
(1) 0≤≤1 ；
(2) 是x的不減函式；
(3) ；
(4) 是左連續的．
§2.2 離散型隨機變數及其分布
一、定義如果隨機變數只取有限個值或可列個值，則稱為離散型隨機變數．
二、概率分布設離散型隨機變數可能取得值是
x,x,…,x,…,
而p是取值得概率，則記
稱上式為離散型隨機變數的概率分布或分布律．
三、概率分布表（分布列） 設離散型隨機變數可能取得值是
x,x,…,x,…,
而取各個值相應的概率分別為
p,p,…,p,…,
將它們列成表
則稱此表為離散型隨機變數的概率分布表或分布列．
四、離散型隨機變數的概率分布的性質
1．．2．．
五、幾類常見的離散型概率分布
1．兩點分布（0-1分布） 如果隨機變數的分布是
則稱隨機變數服從（引數為的）兩點分布．
2．超幾何分布如果隨機變數的分布是
則稱隨機變數服從超幾何分布．
3．二項分布如果隨機變數的分布是
則稱隨機變數服從（引數為n,p的）二項分布,記為．
4．普阿松分布（poisson） 如果隨機變數的分布是
則稱隨機變數服從（引數為p的）普阿松分布,記為．
六、離散型隨機變數的分布函式
設的分布律為，則其分布函式為
§2.3 連續型隨機變數及其分布
一、定義
對於隨機變數，如果存在非負可積函式(-∞則稱為連續型隨機變數；稱為的概率密度函式（簡稱為概率密度或密度）．
對於連續型隨機變數，有
二、概率密度函式的性質
1．2．
三、幾類常見的連續型概率分布
1．均勻分布如果隨機變數的概率密度函式為
則稱隨機變數服從[a,b]區間上的均勻分布，記為．
2．指數分布如果隨機變數的概率密度函式為
則稱隨機變數服從引數為的指數分布，記為．
3．正態分佈如果隨機變數的概率密度函式為
則稱隨機變數服從引數為，的正態分佈，記為，這裡引數σ＞0，．
(1) 引數μ=0，=1的正態分佈稱為標準正態分佈，記為，標準正態分佈的概率密度函式是
；(2) 標準正態分佈的分布函式是
由對稱性可知
；(3) 設，則有
；(4) 設，則經「標準化」變換，的概率計算可化成標準正態變數的概率計算：，有
．§2.4 隨機向量及其分布
一、二維隨機向量及其概率分布
1．定義
設和是定義在樣本空間上的兩個隨機變數，由它們構成的乙個向量叫做二維隨機向量或二維隨機變數．
設是定義在樣本空間上的個隨機變數，由它們構成的乙個維隨機向量叫做維隨機向量或維隨機變數．
2．離散型二維隨機向量的概率分布
(1) 定義
如果二維隨機向量只取有限個（向量）值或可列個（向量）值，則稱為離散型二維隨機向量．
(2) 聯合分布
對於離散型二維隨機向量，稱
為它的聯合（概率）分布. 聯合分布也可用**形式給出：
(2) 聯合分布
對於離散型二維隨機向量，稱
為它的聯合（概率）分布. 聯合分布也可用**形式給出：
(3) pij的性質
①；②．
(4) 邊緣分布
對於離散型二維隨機向量，隨機變數的分布，稱為關於的邊緣分布，由聯合分布可算得邊緣分布
隨機變數的分布，稱為關於的邊緣分布，由聯合分布可算得邊緣分布
(5) 連續型二維隨機向量的概率分布
① 定義對於二維隨機向量，如果存在非負可積函式，使得對任乙個臨邊分別平行與座標軸的矩形區域
有則稱隨機向量是連續型隨機向量；稱是的（概率）分布密度（函式），也稱是的聯合概率密度（函式），簡稱為聯合密度．
② 定理設的聯合密度為，則在平面上區域內取值的概率為
1) f(x,y) 的性質
a．b．
2) 邊緣分布
a．隨機變數的概率密度稱為關於的邊緣概率密度，並且它可由聯合概率密度求出，
b．隨機變數的概率密度稱為關於的邊緣概率密度，並且它可由聯合概率密度求出，
3) 常見的兩個二為連續型分布
a．均勻分布設是平面上的有界區域，其面積為.若隨機向量的聯合概率密度為
則稱服從上的均勻分布．
b．正態分佈若二維隨機向量的概率密度為
則稱為服從引數為的二維正態分佈，記為）．
二、二維隨機向量的分布函式
1．分布函式
(1) 定義設是二維隨機向量，對於任意兩個實數令
則稱二元函式為二維隨機向量的聯合分布函式，簡稱為分布函式（也稱為累積分布函式）．
(2) 分布函式的性質
① ；② 對於每個變數都是不減的；
③ ，，，；
④ 關於每個變數左連續．
§2.5 隨機變數的獨立性與條件分布
一、隨機變數的獨立性
1．定義
設與是兩個隨機變數，若對於任意的實數，，都有
則稱隨機變數與相互獨立．
2．定理
(1) 設與是兩個離散型隨機變數，則與相互獨立的充要條件是：對於任意一組，都有
；(2) 設是連續型隨機向量，為其聯合概率密度函式，和分別為與的邊緣密度函式，則與相互獨立的充要條件是：對於任意的實數，有
；(3) 若)，則與相互獨立的充要條件是．
二、條件分布
1．離散型隨機變數的條件分布
設的聯合分布律為
則關於及的邊緣分布律為
(1)稱為在條件下，關於的條件分布律；
(2)稱為在條件下，關於的條件分布律．
2．連續型隨機變數的條件分布密度
設的聯合概率密度函式為，和分別為關於與的邊緣密度函式．
(1)稱為在條件下的條件密度函式；
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