知識要點
一概念：
1 隨機事件：用等表示
互不相容：
互逆： 且，此時，
互逆互不相容 ，反之不行
相互獨立：或
2 隨機事件的運算律：
(1) 交換律 ：
(2) 結合律 ：
(3) 分配律 ：
(4 ) de morgen 律（對偶律）
推廣：3 隨機事件的概率：
有界性若則條件概率
4 隨機變數： 用大寫表示 .
若與相互獨立的充分必要條件是
若與是連續隨機變數且相互獨立的充分必要條件是
若與是離散隨機變數且相互獨立的充分必要條件是
若與不相關，則或
獨立不相關反之不成立
當與服從正態分佈時 ，則相互獨立不相關
二兩種概率模型
古典概型 ： 所包含的基本事件的個數 ；總的基本事件的個數
伯努利概型 ：次獨立試驗序列中事件恰好發生次的概率
次獨立試驗序列中事件發生的次數為到之間的概率
次獨立試驗序列中事件至少發生次的概率
特別的 ，至少發生一次的概率
三概率的計算公式：
加法公式：
若互不相容 ,則
推廣：若，互不相容，則
乘法公式：或
若相互獨立 ，
推廣：若它們相互獨立，則
全概率公式：若為隨機事件，互不相容的完備事件組，且
則注： 常用作為互不相容的完備事件組
有諸多原因可以引發某種結果 ，而該結果有不能簡單地看成這諸多事件的和 ，這樣的概率問題屬於全概問題.
用全概率公式解題的程式：
（1） 判斷所求解的問題是否為全概率問題
（2） 若是全概率型別，正確的設事件及，要求是互斥的完備事件組
（3） 計算出
（4） 代入公式計算結果
四一維隨機變數：
1 分布函式：
性質：（1）
（2） 若，則
（3） 右連續
（4） 即
即（ 此性質常用來確定分布函式中的常數）
利用分布函式計算概率：
一維離散隨機變數：
概率函式： （分布律）
性質：（此性質常用來確定概率函式中的常數）
已知概率函式求分布函式
一維連續隨機變數：
概率密度
性質：（1） 非負性
（2）歸一性：（常用此性質來確定概率密度中的常數）
分布函式和概率密度的關係：
（注意：當被導函式或被積函式是分段函式時，要分區間討論，其結果也是分段函式）
利用概率密度求概率
五一維隨機變數函式的分布：
離散情形 ： 列表 、整理、合併
連續情形： 分布函式法. 先求的分布函式 ，再求導
六隨機變數的數字特徵：
若為離散隨機變數：
若為連續隨機變數：
隨機變數的函式的數學期望：
若為離散隨機變數：
若為連續隨機變數
方差：定義
方差的計算公式：
注意這個公式的轉化：
關於期望的定理關於方差的定理
（11）
（22）
（3相互獨立：
注意：反之不成立）
相互獨立
（注意：反之不成立）
七要熟記的常用分布及其數字特徵：
分布二項分布
泊松分布
均勻分布：
指數分布：
正態分佈：
特別地 （）
九正態隨機變數線性函式的分布
十統計部分：
統計量無偏性有效性
矩估計最大似然估計區間估計假設檢驗
例： 甲袋中有5只紅球10隻白球，乙袋中有8只紅球6隻白球，現先從甲袋中任取一球放入乙袋，然後又從乙袋中任取一球放入甲袋. 求這乙個來回後甲袋中紅球數不變的概率 .
解： 設：從甲袋中取出放入乙袋的是紅球，：從乙袋中返還甲袋的是紅球,: 這乙個來回後甲袋中紅球數不變，則
從而例高射炮向敵機發射三發炮彈（每彈擊中與否相互獨立），設每發炮彈擊中敵機的概率均為，又若敵機中一彈，其墜落的概率為，若敵機中兩彈，其墜落的概率為，若敵機中三彈，則必然墜落。求敵機被擊落的概率。
解： 設事件表示敵機被擊落，事件表示敵機中彈。
則所以，例：設的分布函式求
解： 當時，
當時，在處導數不存在，但規定為零
例：設連續隨機變數的概率密度
求： 解： （1）(對稱性質)
由得：（2）當時，
當時 ，
當時 ，
（3）或
例： ，求的密度函式
解 ：當時 ，
當時 ，
例：設隨機變數的概率密度為
求：(1) , (2)
解：（1）
(2)設隨機變數的概率密度為
求常數的值； ；（3）．
解：（1
由知，解得.
( 2 )
(3),例： 總體的概率密度為 ，是未知引數 ，求的矩估計量.
解：令由此解得的矩估計量為，
例設總體的概率密度為， 其中為未知引數 ，如果從該總體中取得簡單隨機樣本觀測值，求引數的最大似然估計值。
解似然函式為
取對數得
對求導得
令即從而得到的最大似然估計值為
例： 設總體，為未知引數．
（1）已知從該總體中隨機抽取個觀測值的平均值為，求的置信水平為的置信區間（結果保留四位小數）．
（2）要使的置信水平為的置信區間長度不超過，問樣本容量最少應為多少？
解：（1） 已知，則的置信水平為的置信區間為
，，，，，，於是
，又，於是置信區間為=即
（2）要使置信區間長度
，，樣本容量最少為.
例：從一批火箭推力裝置中抽取個進行試驗，測試其燃燒時間（s），經計算得樣本均值（s），樣本標準差（s），設燃燒時間服從正態分佈，求燃燒時間均值的置信水平為的置信區間。
解未知，則的置信水平為的置信區間為
因為置信水平，所以自由度， 查表
從而置信區間為
例： 設總體服從正態分佈，現從中抽採樣本容量為的樣本。測得樣本均值，樣本標準差。問在顯著性水平下，可否認為總體均值為？
解根據題意待檢驗的假設為
已知，則應該選擇統計量
計算統計量的觀測值為
查表因為，所以在顯著性水平下，接受原假設。
即即認為總體均值
例： 已知全國高校男生百公尺跑平均成績為（秒）．為了比較某高校與全國高校的男子百公尺跑水平，現從該校隨機抽測男生人的百公尺跑成績均值為（秒），標準差為（秒）．試問：在顯著性水平下，可否認為該校男生的百公尺跑平均成績與全國高校男生百公尺跑平均成績有顯著差異？
解：待檢驗的假設為：
顯著水平，標準差為，，
未知，故選擇統計量
計算統計量的觀測值為：，
當時，，拒絕域為：
即 , 在拒絕域內，拒絕原假設，即認為該校男生的百公尺跑均值與全國高校有顯著差異。
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