2.3.1拋物線及其標準方程
一、選擇題
1．在直角座標平面內，到點(1,1)和直線x＋2y＝3距離相等的點的軌跡是( )
a．直線b．拋物線
c．圓d．雙曲線
[答案] a
[解析] ∵定點(1,1)在直線x＋2y＝3上，∴軌跡為直線．
2．拋物線y2＝x上一點p到焦點的距離是2，則p點座標為( )
ab.cd.
[答案] b
[解析] 設p(x0，y0)，則|pf|＝x0＋＝x0＋＝2，
∴x0＝，∴y0＝±.
3．拋物線y＝ax2的準線方程是y＝2，則a的值為( )
ab．－
c．8d．－8
[答案] b
[解析] ∵y＝ax2，∴x2＝y，其準線為y＝2，
∴a<0,2＝，∴a＝－.
4．(2010·湖南文，5)設拋物線y2＝8x上一點p到y軸的距離是4，則點p到該拋物線焦點的距離是( )
a．4b．6
c．8d．12
[答案] b
[解析] 本題考查拋物線的定義．
由拋物線的定義可知，點p到拋物線焦點的距離是4＋2＝6.
5．設過拋物線的焦點f的弦為ab，則以ab為直徑的圓與拋物線的準線的位置關係是
( )
a．相交b．相切
c．相離d．以上答案都有可能
[答案] b
[解析] 特值法：取ab垂直於拋物線對稱軸這一情況研究．
6．過點f(0,3)且和直線y＋3＝0相切的動圓圓心的軌跡方程為( )
a．y2＝12xb．y2＝－12x
c．x2＝12yd．x2＝－12y
[答案] c
[解析] 由題意，知動圓圓心到點f(0,3)的距離等於到定直線y＝－3的距離，故動圓圓心的軌跡是以f為焦點，直線y＝－3為準線的拋物線．
7．過拋物線y2＝4x的焦點作一條直線與拋物線相交於a、b兩點，它們的橫座標之和等於5，則這樣的直線( )
a．有且僅有一條b．有且僅有兩條
c．有無窮多條d．不存在
[答案] b
[解析] 當斜率不存在時，x1＋x2＝2不符合題意．
因為焦點座標為(1,0)，
設直線方程為y＝k(x－1)，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∴x1＋x2＝＝5，
∴k2＝，即k＝±.
因而這樣的直線有且僅有兩條．
8．拋物線y2＝8x上一點p到x軸距離為12，則點p到拋物線焦點f的距離為( )
a．20b．8
c．22d．24
[答案] a
[解析] 設p(x0,12)，則x0＝18，
∴|pf|＝x0＋＝20.
9．拋物線的頂點在座標原點，焦點是橢圓4x2＋y2＝1的乙個焦點，則此拋物線的焦點到準線的距離為( )
a．2b.
cd.[答案] b
[解析] ＝c＝，∴p＝.
10．在同一座標系中，方程a2x2＋b2y2＝1與ax＋by2＝0(a>b>0)的曲線大致是( )
[答案] d
[解析] 解法一：將方程a2x2＋b2y2＝1與ax＋by2＝0轉化為標準方程＋＝1，y2＝－x.因為a>b>0，因此》0.
所以有橢圓的焦點在y軸，拋物線的開口向左．
解法二：將方程ax＋by2＝0中的y換成－y，其結果不變，
即說明ax＋by2＝0的圖象關於x軸對稱，排除b、c，又橢圓的焦點在y軸，排除a.
二、填空題
11．已知圓x2＋y2＋6x＋8＝0與拋物線y2＝2px(p>0)的準線相切，則p
[答案] 4或8
[解析] 拋物線的準線方程為：x＝－，圓心座標為(－3,0)，半徑為1，
由題意知3－＝1或－3＝1，∴p＝4或p＝8.
12．到點a(－1,0)和直線x＝3距離相等的點的軌跡方程是________．
[答案] y2＝8－8x
[解析] 設動點座標為(x，y)，
由題意得＝|x－3|，
化簡得y2＝8－8x.
13．以雙曲線－＝1的中心為頂點，左焦點為焦點的拋物線方程是
[答案] y2＝－20x
[解析] ∵雙曲線的左焦點為(－5,0)，故設拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，
又p＝10，∴y2＝－20x.
14．圓心在第一象限，且半徑為1的圓與拋物線y2＝2x的準線和雙曲線－＝1的漸近線都相切，則圓心的座標是________．
[解析] 設圓心座標為(a，b)，則a>0，b>0.
∵y2＝2x的準線為x＝－，
－＝1的漸近線方程為3x±4y＝0.
由題意a＋＝1，則a＝.
|3a±4b|＝5，解得b＝或b＝，
∴圓心座標為、.
三、解答題
15．若拋物線y2＝2px(p>0)上一點m到準線及對稱軸的距離分別為10和6，求m點的橫座標及拋物線方程．
[解析] ∵點m到對稱軸的距離為6，
∴設點m的座標為(x,6)．
∵點m到準線的距離為10，
∴，解得，或，
故當點m的橫座標為9時，拋物線方程為y2＝4x.
當點m的橫座標為1時，拋物線方程為y2＝36x.
16．已知點a(0，－2)，b(0,4)，動點p(x，y)滿足·＝y2－8.
(1)求動點p的軌跡方程．
(2)設(1)中所求軌跡與直線y＝x＋2交於c、d兩點．
求證：oc⊥od(o為原點)
[解析] (1)由題意可得·＝(－x，－2－y)·(－x,4－y)＝y2－8
化簡得x2＝2y
(2)將y＝x＋2代入x2＝2y中，得x2＝2(x＋2)
整理得x2－2x－4＝0
可知δ＝20>0
設c(x1，y1)，d(x2，y2)
x1＋x2＝2，x1·x2＝－4
∵y1＝x1＋2，y2＝x2＋2
∴y1y2＝(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4
∵·＝x1x2＋y1y2＝0
∴oc⊥od
17．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點f的任意一條直線m，交拋物線於p1，p2兩點，求證：以p1p2為直徑的圓和該拋物線的準線相切．
[證明] 如下圖，設p1p2的中點為p0，過p1，p2，p0分別向準線l引垂線，垂足分別為q1，q2，q0，根據拋物線的定義，得|p1f|＝|p1q1|，|p2f|＝|p2q2|，所以|p1p2|＝|p1f|＋|p2f|＝|p1q1|＋|p2q2|.因為p1q1∥p0q0∥p2q2，|p1p0|＝|p0p2|，所以|p0q0|＝(|p1q1|＋|p2q2|)＝|p1p2|.由此可知，p0q0是以p1p2為直徑的圓p0的半徑，且p0q0⊥l，因此，圓p0與準線相切．
18．拋物線的焦點f是圓x2＋y2－4x＝0的圓心．
(1)求該拋物線的標準方程；
(2)直線l的斜率為2，且過拋物線的焦點，若l與拋物線、圓依次交於a，b，c，d，求|ab|＋|cd|.
[解析] (1)由圓的方程知圓心座標為(2,0)．因為所求的拋物線以(2,0)為焦點，所以拋物線的標準方程為y2＝8x.
(2)如右圖，|ab|＋|cd|＝|ad|－|bc|，又|bc|＝4，所以只需求出|ad|即可．
由題意，ad所在直線方程為y＝2(x－2)，與拋物線方程y2＝8x聯立得x2－6x＋4＝0，設a(x1，y1)，d(x2，y2)，所以x1＋x2＝6，x1x2＝4，|ad|＝|af|＋|df|＝(x1＋2)＋(x2＋2)＝x1＋x2＋4＝6＋4＝10，所以|ab|＋|cd|＝|ad|－|bc|＝6.
[點撥] 本題求出x1＋x2＝6，x1x2＝4後可以利用弦長公式來求，但直接利用拋物線定義得|ad|＝|af|＋|df|＝x1＋x2＋p，則簡單利落．
選修1 1教案2 3 1拋物線及其標準方程
相同點 1 拋物線都過原點 2 對稱軸為座標軸 3 準線都與對稱軸垂直，垂足與焦點在對稱軸上關於原點對稱 它們到原點的距離都等於一次項係數絕對值的，即 不同點 1 圖形關於軸對稱時，為一次項，為二次項，方程右端為 左端為 圖形關於軸對稱時，為二次項，為一次項，方程右端為，左端為 2 開口方向在軸 或...
高二數學拋物線及其標準方程教案
教學目標 一 教學知識點 1 掌握拋物線的定義。2 拋物線的四種標準方程形式及其對應的焦點和準線 3 能根據已知條件熟練地求出拋物線的標準方程。二 能力訓練 1 訓練學生化簡方程的運算能力 2 培養學生數形結合，分類討論的思想 三 德育滲透目標 1 根據圓錐曲線的統一定義，對學生進行運動 變化 對立...
2 3 1拋物線及其標準方程訓練題
1 選擇題 1.拋物線x2 8y的準線方程是 a x b y 2 c y d y 2 2.拋物線y 4x2上的一點m到焦點的距離為1，則點m的 縱座標是 a.b.c.d 0 3若拋物線y2 2px的焦點與橢圓 1的右焦點重合，則p的 值為 a 2 b 2 c 4 d 4 4.到定點 3,5 與定直線...