【課題】雙曲線及其標準方程(2)
【教學目標】
1、進一步掌握雙曲線的定義和標準方程的求法,特別要熟練掌握用定義法和待定係數法求雙曲線的標準方程.
2、學會用雙曲線的定義和標準方程的知識解決簡單的實際問題.
【教學重點】
【教學難點】
【教學過程】
一、 複習引入
二、 例題講解
【例1】 （課本106頁例3）一炮彈在某處**，在a處聽到**聲的時間比在b處晚2s．(1)**點應在什麼樣的曲線上？(2)已知a、b兩地相距800m，並且此時聲速為340 m／s，求曲線的方程．
解：(1)由聲速及a、b兩處聽到**聲的時間差，可知a、b兩處與**點的距離的差，因此**點應位於以a、b為焦點的雙曲線上
因為**點離a處比離b處更遠，所以**點應在靠近b處的一支上．
(2)如圖，建立直角座標系，使a、b兩點在軸上，並且點o與線段ab的中點重合。
設**點p的座標為，則
|pa|－|pb|=340×2=680，
即2＝680，＝340．
又|ab|=800， ∴2c=800，c=400，＝44400
∵ |pa|－|pb|＝680＞0，
∴＞0所求雙曲線的方程為（＞0）
說明，利用兩個不同的觀測點測得同一炮彈**聲的時間差，可以確定**點所在的雙曲線的方程，但不能確定**點的準確位置．如果再增設乙個觀測點c，利用b、c(或a、c)兩處測得的**聲的時間差，可以求出另乙個雙曲線的方程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定**點的準確位置．這是雙曲線的乙個重要應用
想一想，如果a、b兩處同時聽到**聲，那麼**點應在什麼樣的曲線上．（**點應**段ab的中垂線上）心
【例2】 求中心在原點，對稱軸為座標軸，且經過兩個點和的雙曲線的方程。
解：設雙曲線線方程為，因為點p，q在雙曲線上，所以
，所以所求的雙曲線方程為：
【注】要注意此種設雙曲方程的方法，這比分雙曲的焦點在x軸上和y軸上兩種情形要簡便得多。
【例3】 求與圓及都外切的動圓圓心m的軌跡方程.
解：設動圓的半徑為r，則由動圓與定圓都外切得
，又因為，
由雙曲線的定義可知，點m的軌跡是雙曲線的一支
所求動圓圓心的軌跡是雙曲線的一支，其方程為：
【例4】 討論有方程所表示的圓錐曲線,並證明方程有軌跡時,所以這些曲線具有共同的焦點.
分析:當時,曲線表示橢圓,焦點為(),橢圓系.
當時曲線表示雙曲線,焦點為(),雙曲線系.
當時,無解. 當時,軌跡不存在.
【備用例題】
【例5】 一動圓過定點,且與已知圓相切,求動圓圓心的軌跡方程.
解：設動圓圓心,定圓圓心為,若動圓過,且與定圓外切時,
有；若動圓過,且與定圓內切時,有,
故點滿足.又,
∴點的軌跡為以、為焦點的雙曲線, , ,
∴所求軌跡方程為
指出:若題中動圓與定圓外切,則動圓圓心的軌跡是雙曲線的左支；若動圓與定圓內切,則動圓圓心的軌跡是雙曲線的右支.
【例6】 已知圓與y軸的兩個交點a、b都在雙曲線上，且a、b兩點恰好將此雙曲線兩焦點間的線段三等分，求雙曲線的標準方程。
解：在中令得，所以；由
得，又，所以，雙曲線方程為
【例7】 點p是雙曲線-=1右分支上任意一點，f1，f2分別為左、右焦點，設∠pf1f2=α，∠pf2f1=β，求證：3tan=tan.
解：在△pf1f2中，利用正弦定理及分比定理得===，
∴=，即2sin=sin,展開並簡化，得3sincos=sincos，
三、 課堂練習
1、已知方程表示雙曲線，求m的取值範圍.
解：據題意，若方程表示焦點在x軸上的雙曲線，得解之：m＞－1.
若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，得解得m＜-2時，
因此m的取值範圍應是m＞-1或m＜-2.
2、證明橢圓與雙曲線x2-15y2=15的焦點相同.
證明：在橢圓中有
c2=a2-b2
∴c2=25-9=16
∴橢圓的焦點座標為f1（-4，0）、f2（4，0）
在雙曲線x2-15y2=15中有
c2=a2+b2
∴c2=15+1=16
∴雙曲線的焦點座標為f1（-4，0）、f2（4，0）
故得證.
3、方程表示雙曲線嗎？若是，其中心在**？焦點座標是什麼？若不是，說明理由.
解：方程表示雙曲線，這個方程可以看作是將雙曲線按向量(1,-2)平移得到的曲線的方程，而平移是不改變曲線的形狀和性質的，所以方程表示雙曲線，其中心在（1，-2），焦點座標是（-4，-2），（6，-2）.
4、已知點a(3，0)，圓c：(x+3)2+y2=16，動圓p與圓c相外切並過點a，求動圓圓心p的軌跡方程.
解：設p(x,y),依題意有｜pc｜=｜pa｜+4，
∴p點的軌跡是以c(－3，0)，a(3，0)為焦點，且實軸長為4的雙曲線的右支、其方程為-=1(x≥2)
四、 小結
五、 課後練習
1．判斷方程所表示的曲線。
解：①當時，即當時，是橢圓；
②當時，即當時，是雙曲線；
2．求焦點的座標是（-6，0）、（6，0），並且經過點a（-5，2）的雙曲線的標準方程。
答案：；
3．求經過點和，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程。
答案：4．橢圓和雙曲線有相同的焦點，則實數的值是 （ ）
abc 5d 9
答案：b
5．已知是雙曲線的焦點，pq是過焦點的弦，且pq的傾斜角為600，那麼的值為（答案： 4＝16）
6．設是雙曲線的焦點，點p在雙曲線上,且,則點p到軸的距離為( )
a 1 bc 2d
答案：b 的面積為，從而有
7．p為雙曲線上一點，若f是乙個焦點，以pf為直徑的圓與圓的位置關係是（）
a 內切 b 外切 c 外切或內切 d 無公共點或相交
答案：c
110103高二 選修1 雙曲線
110103 高二數學提高班培優講義 a 輔導 尤老師 138 一.重點知識提要 雙曲線的標準方程.雙曲線的簡單性質家長簽名 二.測試題分析及講解 46 同步練習 一 一 選擇題 1 已知點和，曲線上的動點p到 的距離之差為6，則曲線方程為 ab c 或 d 2 ab 0 是 方程表示雙曲線 的 a...
高中數學教案 雙曲線的定義及其標準方程
2011.11 1.教材分析 學生初步認識圓錐曲線是從橢圓開始的，雙曲線的學習是對其研究內容的進一步深化和提高。如果雙曲線研究的透徹 清楚，那麼拋物線的學習就會順理成章。所以說本節課的作用就是縱向承接橢圓定義和標準方程的研究，橫向為雙曲線的簡單性質的學習打下基礎。2 學情分析 學生在學習這節課之前，...
2 3 1《雙曲線及其標準方程》教案1章燕
教學目標 1.知識與技能 掌握雙曲線的定義及其標準方程,並會根據已知條件求雙曲線的標準方程.2.過程與方法 教材通過具體例項模擬橢圓的定義,引出雙曲線的定義,通過模擬推導出雙曲線的標準方程.3.情感 態度與價值觀 通過本節課的學習,可以培養我們模擬推理的能力,激發我們的學習興趣,培養學生思考問題 分...