自主學習01 教材內容
第五章態和力學量表象
知識框架重點難點第一節第二節第三節第四節
第五節第六節第七節本章習題本章自測
狄拉克符號；希爾伯特空間；態矢、力學量和量子力學公式的表象表示及表象間的變換。
[本節要求]：掌握用狄拉克符號來表示任一具體表象以及標積
[重點難點]：用狄拉克符號來表示任一具體表象
[本節內容]：
1.右矢（ket）與左矢（bra）
量子力學體系的任乙個態可用右矢表示.例如,表示波函式描述的狀態；表示x座標的本徵
值為x的本徵態；表示動量算符的本徵值為的本徵態；|或表示哈密頓算符的本徵值為en
的本徵態；表示（）的共同本徵態.
量子態的以上表示都只是乙個抽象的態,並未涉及到具體的表象.
左矢表示與右矢相應的共軛態,兩者性質不同,不能相加,它們在同一表象中的相應分量互為共軛複數.例如是的共軛態.
2. 標積
態與的標積用表示,且.若,則稱與正交.若
是歸一化態向量,則.
設力學量完全集的本徵態為,本徵值為fi,且是分立的,則的正交歸一條件為
(1)如果的本徵值組成連續譜,則正交化為δ函式
(2)例如和的共同本徵態,正交歸一條件為
(3)座標的本徵矢正交歸一化為
(4)動量的本徵矢正交歸一化為
(5)[本節要求]：掌握希爾伯特空間的性質和任一態矢在希爾伯特空間中定義的相應算符
[重點難點]：任一態矢在希爾伯特空間中定義的相應算符及伴算符
[本節內容]：
希爾伯特空間是定義在複數域上的完備的線性內積空間.量子力學完全集的共同本徵態就構成了一
個希爾伯特空間的基矢,它具有以下性質
1. 完備性
量子體系的任一態矢可按力學量完全集算符的共同本徵態展開
(1)其中：
(2)它表示在基矢上的投影,與乙個向量在座標系中乙個軸上的分量相似.
2. 封閉性
量子體系的任意兩個態和的線性和為,其中c1和c2是任意兩個複數.
按態疊加原理, 仍是體系的乙個可能狀態,仍屬於該空間.
若c是任意復常數,則對量子體系的任意態,按波函式統計解釋,與表示體系的同一狀態,即仍屬於該空間.
3. 內積
態矢與的內積定義為3)
態矢滿足希爾伯特空間的要求,而力學量完全集算符的共同本徵態所具有的正交歸一完全性正好使之構成該空間的基矢.
在希爾伯特空間線性算符的作用是把乙個態向量變成另乙個態向量,是該空間或其子空間的一種變換.對希爾伯特空間中的任一態矢,若存在一種變換,它作用於上使之變為另乙個態矢,且仍屬於這個空間,則
(4)稱為線性算符.這樣定義的線性算符滿足
(5對希爾伯特空間中任意態矢和,相應的算符的性質.
= 1 \* gb3 ①.單位算符：
= 2 \* gb3 ②.零算符：
= 3 \* gb3 ③.相等算符：
= 4 \* gb3 ④.和算符：
= 5 \* gb3 ⑤.積算符：
注意：一般情況下,,並通常定義與的對易子為
(6)= 6 \* gb3 ⑥.的伴算符：
乙個算符的伴算符具有下列性質：
(a)(b)(c)(d)= 7 \* gb3 ⑦.厄公尺（hermite）算符：
這種算符的平均值是實數
(7)[本節要求]：掌握態矢和力學量的分立譜和連續譜在具體表象中的表示
[重點難點]：態矢和力學量的分立譜和連續譜在具體表象中的表示
[本節內容]：
5.3.1 態矢在具體表象中的表示
分立譜:
設力學量算符的屬於本徵值fn的函式為,則任何一態矢都可用展開為
(1)其中：
(2)它表示在以的本徵態構成的希爾伯特空間中在基矢上的投影.當所有ak都給定,就給定了乙個態.這
組數就是態矢在f表象中的表示,並可將它寫成乙個列矩陣
(3)把式(2) 代入式(1),得
(4)在上式中,可以把看成是乙個投影算符
(5)它對任意態矢運算後,就把該態矢變成它在基矢方向上的分失量.例如
(6)它就是態矢在方向上的分量. 是任意態矢,因此
（單位算符） (7)
此式表示力學量完全集算符的本徵態是封閉的,並對任何一組完備的基矢都是成立的.此關係式對
表象變換極為方便.在f表象中, 和分別表示為
(8)兩態矢的標積為9)
連續譜:
的本徵譜是連續的,其本徵態正交化為δ函式
(10)
封閉性關係:
(11)
任一態矢展開為
(12)
展開係數
(13)
為態矢在f表象中的表示.
[例題分析] 以一維粒子為例,討論座標表象和動量表象.
解：由於座標x和動量算符的本徵值都是連續的,它們的本徵態通常正交化為δ函式.
(14)
其中和分別是座標和動量算符的本徵值為x和p的本徵態.
在討論一般態矢在座標和動量表象中的表示之前,我們先看動量本徵態在座標表象中的表示,這用波函式描寫
(15)
式中.同樣,座標本徵態在其自身表象中的表示為δ函式.
(16)
式中即為座標本徵態在自身表象中的表示.動量本徵態在其身表象中也為,這是因為
(17)
動量本徵態的正交化條件在座標表象中就更清楚
(18)
現在容易給出,任意一態矢在座標表象和動量表象中的形式. 在座標表象中, 按座標本徵態展開為
(19)
就是態矢在座標表象中的表示.在動量表象中, 用動量本徵態展開為
20)就是在動量表象中的表示,它與座標表象中的表示的關係為
(21)
這正好是量子態在座標表象中的波函式與它在動量表象中的波函式之間的傅利葉（fourier）變換關係.
5.3.2力學量在具體表象中的表示
設力學量算符作用於希爾伯特空間中任意量子態上變成為希爾伯特空間中的另一態矢,即
(1)分立譜:
在以為基底的f表象中,上式表示成
(2)兩邊左乘,得
(3)利用正交歸一性,,得
(4)其中.寫成矩陣形式為
(5)或簡記為
(5')
矩陣稱為算符在f表象中的表示.它的矩陣元刻畫f表象中的基矢在作用後在f表象中方向的分量,因此,一旦矩陣給定,任何乙個量子態在作用下的變化就完全確定了.在x表象中計算在f表象中的矩陣元
(6)式中是在x表象中的本徵態,是算符在x表象中的算符形式.
連續譜:
的屬於連續本徵值λ的本徵態記為,則算符對希爾伯特空間中任意一態矢的作用方程
(7)可表示為
(8)兩邊左乘,並利用,得
(9)或寫成 (9')
式中和分別為態矢和在表象中的態矢,
(10)
稱為在f表象中的矩陣元.通常使用算符更為方便,若能把化為的形式,即可求出f表象中的算符.在不引起混淆的情況下,通常略去下腳標.
[例題分析] 在一維情況下,求動量p表象中的座標算符和動量算符.
解：在p表象中,算符的矩陣元為,它與算符的關係為
(11)
先求p表象中的座標算符.
(12)
所以 (13)
再求p表象中的動量算符.
(14)所以
自主學習01教材內容第八章自旋與角動量
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目錄 第五章知識學習
第一節知識的感知 一 知識感知的概述 一 知識感知的含義 知識感知是是對知識表面特徵的認識，是個體運用感覺器官獲得豐富感性知識的過程 二 知識感知的過程 1.肖像表徵 2.字母辯認 三 知識感知的形式 1.口頭言語的感知 2.書面言語的感知 二 提高知識感知效果的策略 一 遵循知識感知的規律 1.強...