自主學習01 教材內容
第八章自旋與角動量
知識框架重點難點第一節第二節第三節第四節
第五節第六節第七節第八節第九節第十節
本章習題本章自測
[本節要求]：通過本節的學習，學生能夠理多粒子體系的波函式
[重點難點]：掌握多粒子體系的薛丁格方程及其相應公式的推導
[本節內容]：
我們知道粒子在勢場v(r) 中的薛丁格方程擴充套件到一般的量子力學體系, 可表示為
(1)式中為體系的哈密頓算符, 它可以不顯含t, 也可以顯含t. 在不顯含t的情況下, 可以寫出不含時的薛丁格方程, 即能量本徵方程
(2)對於有經典對應的體系, 可以把經典哈密頓量量子化而得出. 在無經典對應的情況, 則只能根據實驗表現出來的特徵, 建立其哈密頓量算符, 而其正確性則只能靠實踐來檢驗.
對於n個多粒子組成的體系, 設粒子質量分別為,第i個粒子受到的外場作用能為,而各粒子之間的相互作用能為,則在座標表象中哈密頓算符為
(3)波函式依賴於全部粒子的3n個座標和時間t, 即
(4)在處理多體問題時, 在量子力學中也面臨與經典物理同樣的困難,即多粒子體系很難嚴格求解的，另外，多體問題比單粒子體系複雜得多.
定義在3n維空間中n個粒子體系的波動方程, 這個空間稱為體系的位形空間, 該空間中任意乙個點的座標是由體系全部粒子的三維座標決定的. 位形空間中任意乙個點的座標決定了三維空間中全部粒子作為整體的態. 因而, 在3n維座標位形空間中的乙個點也稱為體系的位形點.
位形空間中無窮小體積元定義為
(5)這樣, t時刻在位形空間中的小體積元內發現體系的機率為
(6)定義各粒子子空間體積元為
(7)對式(6) 作除粒子i外的其它所有粒子的座標積分, 即對積分, 就得到t時刻發現粒子i在至之間而不論其它粒子在何處的機率
(8)類似地(9)為t時刻粒子i處在至之間, 粒子j處在至之間, 而不論其它粒子在何處的機率等等.
現求位形空間中機率密度的連續性方程. 為此, 用左乘方程(1) 的兩邊, 再減去相應的復共軛方程, 並考慮到式(3), 得
(10) 令
(11)
則式(10) 可寫成
(12)
即位形機率密度的變化由機率流決定.是全部粒子的座標和時間的函式, 它表示只有i在運動而其餘(n-1)個粒子不動的狀態下的流密度.為求得其餘粒子在任何位置時粒子i的流密度, 必須對式(11) 中除i以外的其餘粒子的座標積分,即
(13)
可證明這個流密度也滿足連續性方程.為此式(12) 對積分,得
(14) 而
由式(7)可知,體元包含了除粒子i外的其餘全部粒子座標,上式第二項能轉化為超面積積分,並且如果在無窮遠處等於零. 而第一項是對不同變數的微分和積分.利用式(13),得
(15)
這樣, 就得到三維空間中的單粒子連續性方程
(16)
類似地,位形空間的連續性方程(12)對積分,可得兩粒子連續性方程等等.
[本節要求]
通過本節的學習，讓學生懂得多粒子體系的總動量及總角動量守恆條件
[重點難點]
重點掌握多粒子體系的總角動量守恆，理解多粒子體系的總動量守恆
[本節內容]
1. 多粒子體系的總動量守恆
在經典力學中, 多粒子體系在內力作用下只有總動量保持常數, 因而按牛頓定律, 質心以不變速度作直線運動. 但如果有外力作用, 則在單位時間內總動量的變化等於作用於體系中各粒子上的全部外力之和. 可以證明, 這條經典力學規律在量子領域中也保持其正確性.
為此, 設體系全部粒子的總動量算符為.顯然, 是全部單粒子動量之和
(1) 現考慮動量的時間微商算符. 按力學量隨時間演化公式及其時間微商算符的定義
(2) 式中
(3) 代入式(2), 得
(4) 由於僅依賴於粒子j的座標,所以
(5) 假定粒子間的力僅依賴於粒子間的距離, 則.於是, 中只有作用於上, 因而, 只須考察下式:
(6) 而
(7) 因而
(8) 作用力等於負的反作用力, 這正是牛頓第一定律. 把式(5) 和(8) 代入式(4), 即有
(9) 即總動量的時間微商算符等於作用於體系的外場的合力算符. 如果沒有外場, 則
(10)
即在無外力作用下, 粒子間有相互作用的體系的總動量守恆. 注意算符方程(10) 的物理意義在於: 總動量的平均值不隨時間變化, 而且發現某一定值的機率也不變.
2. 多粒子體系的總角動量守恆
考慮n個粒子體系的總軌道角動量. 體系的總軌道角動量算符當然是各粒子軌道角動量算符之和, 即
(11)
角動量分量的時間微商算符為
(12)
可以證明, 每個角動量分量算符與總角動量平方算符對易. 且不同粒子的角動量算符互相對易（因為在不同由座標空間之中） 即
(13)
還可證明
(14)
現將哈密頓算符(3) 的動能部分可分成兩部分:
(15)
由於粒子角動量的每個分量分別與和對易, 從上式可知
(16)
為計算式(12), 還需利用對易關係和,即有
(17)
類似地(18)
可用相對座標來表示上式中的微商
(19)
代入式(18), 得
(20)
利用式(13)—（20），可計算總角動量分量的時間微商（12），即有
(21)
上式第二項為零, 所以
(22)
即軌道角動量的時間微商算符等於作用於體系的力矩算符. 如果外力或外力矩為零, 則總角動量守恆.
(23)
這樣, 在外力矩為零的情況下, 總角動量算符的平均值為常數, 發現角動量分量為某定值的機率不變.當包含粒子的內稟自旋時, 總角動量算符為
(24)
如果沒有外電磁場, 即沒有作用於自旋上的力, 總角動量守恆定律仍然有效, 因為此時哈密頓算符與的每乙個分量對易.
[本節要求]
要求熟悉多粒子體系的質心運動
[知識要點]
掌握多粒子體系的質心運動和相對運動，認清兩者之間的關係
[本節內容]
在經典力學中, 多粒子體系的質心運動不依賴其組分間的相對運動. 下面要表明這一點在量子力學中仍然是正確的.
考慮質量分別為的n粒子體系,只計及兩體內力的哈密頓算符為
(1) 在適當的座標系下表示哈密頓算符, 可將其分為質心運動和相對運動哈密頓算符. 引入雅可比(jaccobi) 座標
(2) 這是兩體質心座標和相對座標的推廣. 它的構成原理是前k個粒子的質心指向第k+1個粒子的向量. 使用雅比座標,對動能算符化為
(3) 其中是系統的總質量,是折合質量
(4) 而和分別是質心座標和相對座標的拉普拉斯算符
(5) 利用式(2) 和(3),式(1) 的能量本徵方程為
(6) 注意式(6) 中相互作用勢不依賴質心座標.從上式可知,hamilton算符明顯地分成質心部分和相對部分
(7) 這樣, 體系的波函式可分離成質心部分和相對部分,即
(8) 代入式(6), 分離變數後, 得
(9)(10)
式(9) 描述質心的運動, 它是乙個自由粒子的能量本徵方程,ec 是質心運動能量, 與所研究的體系的內部結構無關, 不予考慮. 式(10) 描述兩個粒子的相對運動,e=et-ec 是相對運動能量.
把具有完全相同質量、電荷、自旋、磁矩 、壽命等固有性質的粒子稱為全同粒子. 人們正是根據粒子的內稟屬性把自然界中的粒子進行分類的, 並稱之為電子、質子、中子、光子等. 既然同一類的粒子具有完全相同的內稟的客觀屬性, 因而在相同物理條件下, 它們具有相同物理行為.
與經典力學不同, 全同粒子是不可區分的. 例如氦原子有兩個電子, 即使在某一時刻給這兩個電子編了號, 但其後在某處發現了乙個電子, 也無法判斷它倒底是哪乙個電子. 這種情況在經典力學中是不會發生的, 因為可從根據粒子的運動軌道來區分不同的粒子.
量子力學中, 粒子的狀態是用波函式來描述的, 如果描述兩個粒子的波沒有重疊, 自然可以區分倒底是哪個粒子, 但如果描述兩個粒子的波發生重疊, 這兩個全同粒子就無法區分. 全同粒子的不可區分性稱為全同性原理. 由此, 我們可以得到全同粒子的一些重要性質.
思考題1、 歸納全同粒子的基本特徵。
（全同粒子的最重要的特徵是：在同樣的物理條件下，它們的行為完全相同，因而用乙個全同粒子代替另乙個全同粒子，不會引起物理狀態的變化。）
[本節要求]：全同粒子體系的交換對稱性的要求及對稱性與自旋的關係，能夠準確區分出玻色子和費公尺子
[重點難點]：1、全同粒子體系的交換對稱性
2、交換對稱性與粒子的自旋
[本節內容]：
全同粒子體系的乙個基本特徵是哈密頓算符對於任何兩個粒子交換是不變的, 即交換對稱性. 例如, 氦原子中的兩個電子組成的體系, 其哈密頓算符為
(1)正如全同性原理指出的那樣, 本來給全同粒子編號是無意義的, 但為研究其交換對稱性, 只好先給全同粒子編號, 然後再考慮交換粒子會帶來什麼變化. 為此, 引入交換算符,它表示交換第1個粒子與第2個粒子的運算. 由此
(2)比較式(1) 和(2), 得
自主學習01教材內容第五章態和力學量表象
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