一.橢圓的定義:
1.在平面內,到兩個定點f1、f2的距離的和等於常數(大於|f1f2|)的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做焦距。
2.橢圓的標準方程:
設m(x, y)是橢圓是上任意一點,橢圓的焦距為2c (c>0),則如圖建立直角座標系,又f1、f2的座標分別是f1(-c, 0), f2(c, 0),若m點與f1、f2兩點的距離的和等於2a (a>c>0),則 |mf1|+|mf2|=2a,
圖9-1
整理化簡,並且設b2=a2-c2得橢圓的標準方程.
3.橢圓的第二定義:
設動點m(x, y)與定點f(c, 0)的距離和它到定直線: x=的距離的比是常數(a>c>0),則點m的軌跡是橢圓。點f是橢圓的乙個焦點,直線是橢圓中對應於焦點f的準線。
常數e=(04.橢圓的引數方程:
以原點為圓心,分別以a、b (a>b>0)為半徑作兩個圓,點a是大圓上的乙個點,點b是oa與小圓的交點,過點a作an⊥ox,垂足為n,過點b作bm⊥an,垂足為m,當點a在大圓上運動時,m點的軌跡是橢圓。
設點m的座標是(x, y),φ是以ox為始邊,oa為終邊的正角,取φ為引數,那麼
x=|on|=|oa|cosφ=acosφ,
y=|nm|=|ob|sinφ=bsinφ,
∴ 橢圓的引數方程是(φ是引數).
二.橢圓的畫法:
畫法1:
圖9-4
1.在x軸上取兩點f1、f2,使|of1|=|of2|,用它們作為兩個焦點;
2.在圖形外作一條線段cd,使|cd|=2a,(|cd|>|f1f2|);
3.以o為中心,在x軸上取兩點a1、a2,使|a1a2|=|cd|;
4.在cd上分別取c'、d',使|cc'|=|a1f1|=|dd'|;作線段c'd',並用「作圖」選單中的「物件上的點」功能在c'd'上作點m;
5.分別以f1、f2為圓心,用|cm|、|md|為半徑作圓,兩圓相交於p1、p2兩點;同樣方法分別以f1、f2為圓心,用|dm|、|cd|為半徑作圓,兩圓相交於p3、p4兩點;並將這四個點定義為「追蹤點」;
6.依次選中點m、點p1 (或點m、點p2),用「作圖」選單中的「軌跡」功能,作出橢圓。
理論根據:
點p1是兩圓的交點,∴ 點p1到f1與f2的距離的和等於兩圓的半徑和,
即 |pf1|+|pf2|=|cm|+|md|=|cd|=2a.
說明:m點不要直接在cd上取,那樣畫出來的橢圓將在x軸附近斷開一段,因為計算機畫的曲線實際上是由若干條小線段形成的,這些線段的端點是由符合條件的若干個點中隨機選取的,當我們使點m在cd上運動時,一般情況點c '、d'都取不到,於是畫出來的圖形就不好看了。
圖9-5
畫法2:
1.在x軸上取兩點f1、f2,使|of1|=|of2|,用它們作為兩個焦點;
2.在圖形外作一條線段,使它的長度為2a,(2a>|f1f2|);
3.以f1為圓心,2a為半徑作圓,在圓上任取一點p;
4.連線pf1、pf2,作pf2的中垂線與pf1交於點m,連線mf2;
5.將點m定義為「追蹤點」,分別選中點m、點p,用「作圖」選單中的「軌跡」功能畫出橢圓。
理論根據:
點m在pf2的中垂線上,∴ |mp|=|mf2|, ∴ |mf1|+|mf2|=|mf1|+|mp|=|f1p|=2a. 即點m到兩個定點f1和f2的距離的和等於定長。點m的軌跡是乙個橢圓。
畫法3:
圖9-6
1.在平面中作兩條直線,使直線為準線,另一條直線ab與直線垂直;兩條直線的交點為c;
2.在圖形外取兩條線段a和c,使a>c;
3.計算,在直線ab上取一點f,使|cf|=,點f作為橢圓的焦點;
4.**段fc上,取點a,使|af|=a-c, 在cf的延長線上,取點b,使|fb|=a+c,作線段ab,用「作圖」選單中的「物件上的點」功能,取動點p;
5.計算e=,度量|cp|的長,計算|cp|×;
6.以點f為圓心,|cp|×為半徑作圓,此圓與過點p且垂直於ab的直線相交於m1,m2兩點;
7.分別選中點m1和點p(或點m2和點),用「作圖」選單中的「軌跡」功能,畫出橢圓。
理論根據:
點m1到點f的距離是|cp|×,點m1到準線的距離|m1d|=|cp|,
∴==e. ∴ 點m1在橢圓上。
畫法4:
1.以座標原點o為圓心,分別以a、b(a>b>0)為半徑畫兩個圓;
2.在大圓上取一點a,連線oa與小圓交於點b;
3.過點a作an垂直於ox軸,垂足為n;作bm垂直於an,垂足為m;
4.分別選中點m和點a,用「作圖」選單中的「軌跡」功能,畫出橢圓。
理論根據:
|on|=acosφ, |nm|=bsinφ, 根據橢圓的引數方程知,點m的軌跡是乙個橢圓。
畫法5:
1.以座標原點o為圓心,分別以a、b(a>b>0)為半徑畫兩個圓;
2.在大圓上取一點p,過點p作pn⊥ox軸,垂足為n;
3.計算兩圓半徑的比k=,定義為「標記比」,選中點n,定義為「縮放中心」;
4.選中點p,用「變換」選單圖9-8
中的「縮放」功能,將點p用標記比縮放得到點m;
5.分別選中點m和點p,用「作圖」選單中的「軌跡」功能,畫出橢圓。
理論根據:
設點m的座標是(x, y),則點p的橫座標為x,縱座標y0=,
∵ 點p在圓x2+y2=a2上,∴=a2, 整理得.
結論:只要動點p在乙個圓上運動,那麼在乙個方向上按一定比例壓縮或延長pd,所得到的點m的軌跡都是橢圓。
三.橢圓中動弦的畫法
(一).橢圓焦點弦的畫法:
圖9-9
1.用引數方程的畫法畫出乙個橢圓,計算它的a, b, c的值,在長軸上畫出兩個焦點f1、f2(使|of1|=c);
2.在大圓上任取一點p,相應作出它在橢圓上的對應點m;
3.連線pf1延長與大圓交於點q;
4.作出點q在橢圓上的對應點n;
5.連線mn,則線段mn一定過焦點f1,且點m、n都在橢圓上;
6.保留座標系、橢圓、焦點和焦點弦mn,隱藏其它的內容,這時選中點m,在橢圓上拖動它,則點n相應在橢圓上移動,且mn始終經過點f1.
理論根據:
橢圓上的點m、n是由大圓上的點p、q得到的,線段pq在大圓上經過定點f1,則相應的線段mn在橢圓上也經過定點f1.
(二) 橢圓中過定點m的弦的畫法:
1.用引數方程的畫法畫出乙個橢圓,標出定點m;計算兩圓半徑的比k=,定義為「標記比」;
2.作md⊥ox軸,垂足是d,以d為縮放中心,把點m用標記比縮放,得到點m';
3.在大圓上取一點p',作出它在橢圓上的相應點p;
4.連線p'm',延長與大圓交於q',作出點q'在橢圓上的對應點q圖9-10
5.連線pq,則pq始終經過點m,且p、q都在橢圓上;
6.保留座標系、橢圓、定點m和過定點m的弦pq,隱藏其它的內容,這時選中點p,在橢圓上拖動它,則點q相應在橢圓上移動,且pq始終經過點m.
理論根據:
橢圓上的點p、q是由大圓上的點p'、q'得到的,線段p'q'在大圓上經過定點m',則相應的線段pq在橢圓上也經過定點m.。問題的關鍵是怎樣由點m得到點m',我們看到,只要在縱座標是以定比縮放點m,就得到了對應點m'.
(三) 橢圓中平行弦的畫法的畫法:
圖9-11
1.用引數方程的畫法畫出乙個橢圓,計算兩圓半徑的比k=,定義為「標記比」;
2.在圖形外畫一條線段ac,過點a作水平線ad,過c作cd⊥ad;
3.選中點d作為「縮放中心」,再選中點c,用「標記比」縮放,得到點b,連線ab;
4.在大圓上任取一點p',過p'作ab的平行線角大圓於q';
5.用引數方程的作法,分別作出p'、q'在橢圓上的對應點p、q;
6.連線pq,則pq就是與ac平行的橢圓中的弦;
7.保留座標系、橢圓、ac和pq,隱藏其它的內容;選中點p在橢圓上拖動點p,則弦pq始終與ac平行,且點p、q在橢圓上;
8.作pq的中點,標記為「追蹤點」,則點p運動時,可以看到中點的軌跡是一條線段。
理論根據:
在大圓上,p'q'//ab,這個關係保持不變,相應的點p、q是點p'、q'在橢圓上的對應點,∴ 線段pq的斜率保持不變。那麼我們只要找到線段ac與ab的關係就可以了。在這個作法中,改變已知條件ac的傾斜角,那麼相應的pq的斜率也發生同樣的變化。
四.橢圓切線的畫法
(一) 過橢圓上乙個定點m的切線:
1.在直角座標系中畫乙個橢圓,同時標出它的兩個焦點f1、f2;
2.在橢圓上標出定點m;
3.以f1為圓心,橢圓的長軸2a為半徑作圓;
4.連線f1m延長交大圓於點n;
5.連線f2n,作f2n的中垂線,這條中垂線過點m,並且是橢圓的切線。
理論根據:
∵ 點m在橢圓上,
∴ |mf1|+|mf2|=2a,
又|f1n|=2a,∴ |mf2|=|mn
點m在f2n的中垂線上,直線md經過點m且與橢圓有且僅有乙個交點,所以直線md是橢圓過點m的切線。
(二) 過橢圓外一點作橢圓的切線:
圖9-13
1.在直角座標系中畫乙個橢圓,同時標出它的兩個焦點f1、f2;
2.在橢圓外標出定點t;
3.以點f1為圓心,橢圓的長軸2a為半徑作圓;
4.以點t為圓心,|tf2|為半徑作圓,交圓f1於點p、q;
5.連線pf2,作pf2的中垂線mt,同樣連線qf2,作qf2的中垂線nt;
6.直線mt、nt都是過點t的橢圓的切線。
理論根據:
點p、q在以點t為圓心,|tf2|為半徑作圓上,∴ |tf2|=|tp|=|tq|,pf2的中垂線一定經過定點t,且中垂線上一定有一點m,滿足|mf1|+|mf2|=|mf1|+|mp|=2a, 點m在橢圓上,∴ mt是橢圓的切線且mt經過點t;同理nt也是橢圓的切線且nt經過點t。
橢圓的畫法
一 橢圓的定義 1 在平面內,到兩個定點f1 f2的距離的和等於常數 大於 f1f2 的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做焦距。2 橢圓的標準方程 設m x,y 是橢圓是上任意一點,橢圓的焦距為2c c 0 則如圖建立直角座標系,又f1 f2的座標分別是f1 c,0 f2...
橢圓的性質
一 選擇題 1 若點o和點f分別為橢圓的中心和左焦點,點p為橢圓上的任意一點,則的最大值為 a 2 b 3 c 6d 8 2 已知橢圓的離心率為,過右焦點且斜率為的直線與相交於兩點 若,則 a 1 b c d 2 3 離心率為,長軸長為6的橢圓的標準方程是 ab 或 cd 或 4 橢圓的兩個焦點和短...
2 2 1橢圓的性質
2.2.1橢圓的幾何性質 學習目標 1.使學生了解並掌握橢圓的範圍.2使學生掌握橢圓的對稱性,明確標準方程所表示的橢圓的對稱軸 對稱中心.3.使學生掌握橢圓的頂點座標 長軸長 短軸長以及a b c的幾何意義,明確標準方程所表示的橢圓的截距.4.使學生掌握離心率的定義及其幾何意義.學習重點 橢圓的簡單...