一．橢圓的定義：
1．在平面內，到兩個定點f1、f2的距離的和等於常數(大於|f1f2|)的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距。
2．橢圓的標準方程：
設m(x, y)是橢圓是上任意一點，橢圓的焦距為2c (c>0)，則如圖建立直角座標系，又f1、f2的座標分別是f1(－c, 0), f2(c, 0)，若m點與f1、f2兩點的距離的和等於2a (a>c>0)，則 |mf1|＋|mf2|＝2a,
圖9－1
整理化簡，並且設b2＝a2－c2得橢圓的標準方程.
3．橢圓的第二定義：
設動點m(x, y)與定點f(c, 0)的距離和它到定直線: x＝的距離的比是常數(a>c>0)，則點m的軌跡是橢圓。點f是橢圓的乙個焦點，直線是橢圓中對應於焦點f的準線。
常數e＝(04．橢圓的引數方程：
以原點為圓心，分別以a、b (a>b>0)為半徑作兩個圓，點a是大圓上的乙個點，點b是oa與小圓的交點，過點a作an⊥ox，垂足為n，過點b作bm⊥an，垂足為m，當點a在大圓上運動時，m點的軌跡是橢圓。
設點m的座標是(x, y)，φ是以ox為始邊，oa為終邊的正角，取φ為引數，那麼
x＝|on|＝|oa|cosφ＝acosφ,
y＝|nm|＝|ob|sinφ＝bsinφ,
∴ 橢圓的引數方程是(φ是引數).
二．橢圓的畫法：
畫法1：
圖9－4
1．在x軸上取兩點f1、f2，使|of1|＝|of2|，用它們作為兩個焦點；
2．在圖形外作一條線段cd，使|cd|＝2a，(|cd|>|f1f2|)；
3．以o為中心，在x軸上取兩點a1、a2，使|a1a2|＝|cd|；
4．在cd上分別取c'、d'，使|cc'|＝|a1f1|＝|dd'|；作線段c'd'，並用「作圖」選單中的「物件上的點」功能在c'd'上作點m；
5．分別以f1、f2為圓心，用|cm|、|md|為半徑作圓，兩圓相交於p1、p2兩點；同樣方法分別以f1、f2為圓心，用|dm|、|cd|為半徑作圓，兩圓相交於p3、p4兩點；並將這四個點定義為「追蹤點」；
6．依次選中點m、點p1 (或點m、點p2)，用「作圖」選單中的「軌跡」功能，作出橢圓。
理論根據：
點p1是兩圓的交點，∴ 點p1到f1與f2的距離的和等於兩圓的半徑和,
即 |pf1|＋|pf2|＝|cm|＋|md|＝|cd|＝2a.
說明：m點不要直接在cd上取，那樣畫出來的橢圓將在x軸附近斷開一段，因為計算機畫的曲線實際上是由若干條小線段形成的，這些線段的端點是由符合條件的若干個點中隨機選取的，當我們使點m在cd上運動時，一般情況點c '、d'都取不到，於是畫出來的圖形就不好看了。
圖9－5
畫法2：
1．在x軸上取兩點f1、f2，使|of1|＝|of2|，用它們作為兩個焦點；
2．在圖形外作一條線段，使它的長度為2a，(2a>|f1f2|)；
3．以f1為圓心，2a為半徑作圓，在圓上任取一點p；
4．連線pf1、pf2，作pf2的中垂線與pf1交於點m，連線mf2；
5．將點m定義為「追蹤點」，分別選中點m、點p，用「作圖」選單中的「軌跡」功能畫出橢圓。
理論根據：
點m在pf2的中垂線上，∴ |mp|＝|mf2|, ∴ |mf1|＋|mf2|＝|mf1|＋|mp|＝|f1p|＝2a. 即點m到兩個定點f1和f2的距離的和等於定長。點m的軌跡是乙個橢圓。
畫法3：
圖9－6
1．在平面中作兩條直線，使直線為準線，另一條直線ab與直線垂直；兩條直線的交點為c；
2．在圖形外取兩條線段a和c，使a>c；
3．計算，在直線ab上取一點f，使|cf|＝,點f作為橢圓的焦點；
4．**段fc上，取點a，使|af|＝a－c, 在cf的延長線上，取點b，使|fb|＝a＋c，作線段ab，用「作圖」選單中的「物件上的點」功能，取動點p；
5．計算e＝，度量|cp|的長，計算|cp|×；
6．以點f為圓心，|cp|×為半徑作圓，此圓與過點p且垂直於ab的直線相交於m1，m2兩點；
7．分別選中點m1和點p(或點m2和點)，用「作圖」選單中的「軌跡」功能，畫出橢圓。
理論根據：
點m1到點f的距離是|cp|×，點m1到準線的距離|m1d|＝|cp|,
∴＝＝e. ∴ 點m1在橢圓上。
畫法4：
1．以座標原點o為圓心，分別以a、b(a>b>0)為半徑畫兩個圓;
2．在大圓上取一點a，連線oa與小圓交於點b；
3．過點a作an垂直於ox軸，垂足為n；作bm垂直於an，垂足為m；
4．分別選中點m和點a，用「作圖」選單中的「軌跡」功能，畫出橢圓。
理論根據：
|on|＝acosφ, |nm|＝bsinφ, 根據橢圓的引數方程知，點m的軌跡是乙個橢圓。
畫法5：
1．以座標原點o為圓心，分別以a、b(a>b>0)為半徑畫兩個圓;
2．在大圓上取一點p，過點p作pn⊥ox軸，垂足為n；
3．計算兩圓半徑的比k＝，定義為「標記比」，選中點n，定義為「縮放中心」；
4．選中點p，用「變換」選單圖9－8
中的「縮放」功能，將點p用標記比縮放得到點m；
5．分別選中點m和點p，用「作圖」選單中的「軌跡」功能，畫出橢圓。
理論根據：
設點m的座標是(x, y)，則點p的橫座標為x，縱座標y0＝,
∵ 點p在圓x2＋y2＝a2上，∴＝a2, 整理得.
結論：只要動點p在乙個圓上運動，那麼在乙個方向上按一定比例壓縮或延長pd，所得到的點m的軌跡都是橢圓。
三．橢圓中動弦的畫法
(一)．橢圓焦點弦的畫法：
圖9－9
1．用引數方程的畫法畫出乙個橢圓，計算它的a, b, c的值，在長軸上畫出兩個焦點f1、f2(使|of1|＝c)；
2．在大圓上任取一點p，相應作出它在橢圓上的對應點m；
3．連線pf1延長與大圓交於點q；
4．作出點q在橢圓上的對應點n；
5．連線mn，則線段mn一定過焦點f1，且點m、n都在橢圓上；
6．保留座標系、橢圓、焦點和焦點弦mn，隱藏其它的內容，這時選中點m，在橢圓上拖動它，則點n相應在橢圓上移動，且mn始終經過點f1.
理論根據：
橢圓上的點m、n是由大圓上的點p、q得到的，線段pq在大圓上經過定點f1，則相應的線段mn在橢圓上也經過定點f1.
(二) 橢圓中過定點m的弦的畫法：
1．用引數方程的畫法畫出乙個橢圓，標出定點m；計算兩圓半徑的比k＝，定義為「標記比」；
2．作md⊥ox軸，垂足是d，以d為縮放中心，把點m用標記比縮放，得到點m'；
3．在大圓上取一點p'，作出它在橢圓上的相應點p；
4．連線p'm'，延長與大圓交於q'，作出點q'在橢圓上的對應點q圖9－10
5．連線pq，則pq始終經過點m，且p、q都在橢圓上；
6．保留座標系、橢圓、定點m和過定點m的弦pq，隱藏其它的內容，這時選中點p，在橢圓上拖動它，則點q相應在橢圓上移動，且pq始終經過點m.
理論根據：
橢圓上的點p、q是由大圓上的點p'、q'得到的，線段p'q'在大圓上經過定點m'，則相應的線段pq在橢圓上也經過定點m.。問題的關鍵是怎樣由點m得到點m'，我們看到，只要在縱座標是以定比縮放點m，就得到了對應點m'.
(三) 橢圓中平行弦的畫法的畫法：
圖9－11
1．用引數方程的畫法畫出乙個橢圓，計算兩圓半徑的比k＝，定義為「標記比」；
2．在圖形外畫一條線段ac，過點a作水平線ad，過c作cd⊥ad；
3．選中點d作為「縮放中心」，再選中點c，用「標記比」縮放，得到點b，連線ab；
4．在大圓上任取一點p'，過p'作ab的平行線角大圓於q'；
5．用引數方程的作法，分別作出p'、q'在橢圓上的對應點p、q；
6．連線pq，則pq就是與ac平行的橢圓中的弦；
7．保留座標系、橢圓、ac和pq，隱藏其它的內容；選中點p在橢圓上拖動點p，則弦pq始終與ac平行，且點p、q在橢圓上；
8．作pq的中點，標記為「追蹤點」，則點p運動時，可以看到中點的軌跡是一條線段。
理論根據：
在大圓上，p'q'//ab，這個關係保持不變，相應的點p、q是點p'、q'在橢圓上的對應點，∴ 線段pq的斜率保持不變。那麼我們只要找到線段ac與ab的關係就可以了。在這個作法中，改變已知條件ac的傾斜角，那麼相應的pq的斜率也發生同樣的變化。
四．橢圓切線的畫法
(一) 過橢圓上乙個定點m的切線：
1．在直角座標系中畫乙個橢圓，同時標出它的兩個焦點f1、f2；
2．在橢圓上標出定點m；
3．以f1為圓心，橢圓的長軸2a為半徑作圓；
4．連線f1m延長交大圓於點n；
5．連線f2n，作f2n的中垂線，這條中垂線過點m，並且是橢圓的切線。
理論根據：
∵ 點m在橢圓上，
∴ |mf1|＋|mf2|＝2a,
又|f1n|＝2a，∴ |mf2|＝|mn
點m在f2n的中垂線上，直線md經過點m且與橢圓有且僅有乙個交點，所以直線md是橢圓過點m的切線。
(二) 過橢圓外一點作橢圓的切線：
圖9－13
1．在直角座標系中畫乙個橢圓，同時標出它的兩個焦點f1、f2；
2．在橢圓外標出定點t；
3．以點f1為圓心，橢圓的長軸2a為半徑作圓；
4．以點t為圓心，|tf2|為半徑作圓，交圓f1於點p、q；
5．連線pf2，作pf2的中垂線mt，同樣連線qf2，作qf2的中垂線nt；
6．直線mt、nt都是過點t的橢圓的切線。
理論根據：
點p、q在以點t為圓心，|tf2|為半徑作圓上，∴ |tf2|＝|tp|＝|tq|，pf2的中垂線一定經過定點t，且中垂線上一定有一點m，滿足|mf1|＋|mf2|＝|mf1|＋|mp|＝2a, 點m在橢圓上，∴ mt是橢圓的切線且mt經過點t；同理nt也是橢圓的切線且nt經過點t。
橢圓的性質和畫法
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足球的畫法
第一步 基礎三維草圖，先做六邊形，再做直線。注意設定三維草圖的角度很重要，長度與六邊形相同。然後用三點法生成五邊形的基準面，畫五邊形 108度，因為正五邊形內角為108度 180 360 5 而六邊形外角為60度。這條3d線太重要了，我覺得需要重點描述。有了它，就可以構架出全部的線框。第二步 多邊形...