浙江省黃岩中學馮海容
學生現狀分析、本課的背景及地位
本課是學生學習了直線和圓的方程及其性質、曲線與方程的關係的基礎上，學生對解析幾何有一定的了解的基礎上，已具有一定的觀察、分析問題、解決問題的能力之後，開始學習圓錐曲線方程的第一課時．掌握橢圓的研究方法，既培養了學生的觀察、分析、發現、概括、探索等能力，又為後續學習雙曲線、拋物線甚至整個解析幾何打下堅實的基礎．新高中數學教學大綱要求加強創新能力的培養，使學生在學科領域或在現實生活情境中，通過發現問題、調查研究、動手操作、表達與交流等**性活動，獲得知識、技能．故本課能夠通過有關設計使之成為一節研究性課，也有必要使它成為研究性課．
本課的教學目標
由本課的地位及學生現狀分析，確定本課的教學目標：在準確掌握橢圓的定義，熟練掌握標準方程及其推導的基礎上，注重數形結合和待定係數法等數學思想方法的滲透，注重掌握運用解析法研究幾何的一般方法，注重動手能力、探索能力的培養．
本課的教學方法
為了使學生更主動地參加到課堂教學中，培養他們的能力，發展他們的「最新發展區」，以及為了實現本課的教學目標本課採用探索研討法，即「
問題誘導——啟發討論——探索結果」及「直接觀察——歸納抽象——總結規律」的一種研究性教學方法．
本課的教學準備
教師製作課件（乙個powerpoint課件，乙個幾何畫板課件），準備25副畫橢圓工具（每副包括一塊木板、兩顆圖釘、一根細繩，一張白紙）．
本課的教學過程設計
一．橢圓定義的探索（通過觀察、實驗、探索、抽象、歸納得出定義）
1．**課件及觀察實物；學生觀察，形成橢圓的直觀形象，創設問題情境，引起學生興趣．**內容：天體執行圖（月亮繞地球，地球繞太陽旋轉）、立體幾何中圓的直觀圖．實物：圓柱形杯傾斜後杯中水的形狀．
這是實際生活中圖形，數學中我們也遇到這一類圖形：在教材p72（4）（歸結為到兩定點距離之和為定值的點的軌跡）問題：如何用現有的工具畫出圖形？
2．實驗：
教師與學生一起找出上述問題的解決方案，並一同畫出圖形，與上述圖形相似——橢圓，並問：
1）在生活中除上述外有沒有遇見過？（加深橢圓的印象，若學生回答雞蛋輪廓線，雞蛋的輪廓線兩頭有大小不是橢圓，有興趣的同學可查有關的資料）
2）這樣給橢圓下定義？
得出橢圓的直觀定義：平面內到兩定點f1、f2距離之和為定值2a的點m的軌跡．即點m滿足．
3．繼續探索：平面內到兩定點f1、f2距離之和為定值2a的點m的軌跡都是「橢圓」嗎？
改變2a的大小後，或改變f1、f2之間的距離（2c），教師與學生一起畫出圖形，並觀察圖形的變化規律，由畫圖不方便，改用幾何畫板課件（圖形能隨著2a、或2c的改變而改變），並引導學生發現問題：
1）當（即2a=2c）時,點m的軌跡是什麼？
師生共同用現有的工具畫出（是一段線段）．
2）當（即2a<2c）時,點m的軌跡是什麼？
師生共同分析：點m的軌跡不存在．
歸納得出橢圓的定義：（教材）
設計說明：這樣設計能從從學生的知識的「最近發展區」出發發展知識、能力，有利於構建，動手實驗不但能鞏固橢圓的定義，而且能培養動手操作能力、探索能力，特別是最後畫出是一段線段、及軌跡不存在的實驗更是如此．
二．橢圓的標準方程
1．**課件：本章引言，2023年初，中國科學院紫金山天文台發布了一條訊息，從2023年2月中旬起，海爾波普彗星將逐漸接近地球,4月以後，又將漸漸離去，並**2023年以後，它還將光臨地球上空．
問題討論：紫金山天文台**2023年以後它還將光臨地球上空依據什麼？
原來，海爾波普彗星執行的軌道是乙個橢圓，通過觀察它執行中的一些有關資料，可以推算出它的執行軌道的方程，從而算出它執行的週期．
說明軌跡方程有很大作用，即在解析幾何中有乙個一般方法：
軌跡（圖形）——求軌跡方程（數）——討論軌跡性質（圖形）
讓學生回憶求曲線方程的步驟．
2．推導橢圓的標準方程
1）讓學生根據所畫的橢圓，選取適當的座標系．（若學生選取適當的座標系都一樣，教師多畫幾個座標系，讓學生選，注意要有中心在原點焦點在y軸的座標系；並提問：為什麼選取這樣的座標系，依據是什麼）
2）師生共同推導橢圓的標準方程（中心在原點焦點在x軸）：
即∴ ∴
∵（a>c>0）令∴
3）師生一起討論：
①上述方程變形同解嗎？促使學生理解：曲線方程必須是「以方程解為座標的點在軌跡上」，但該證明略去．
②討論當中心在原點焦點在y軸的橢圓的方程？怎樣求？與中心在原點焦點在x軸橢圓的方程有什麼聯絡？
促使學生理解數學的對稱美（圖形對稱美、方程對稱美及對稱在此處的作用）．引出橢圓的標準方程（二種，中心一定在原點，焦點在座標軸的橢圓方程）．
③為了方程的簡單，引入b,b的大小能否在圖形上找出？a、c呢？a、b、c大小如何？a、b、c之間的關係？
④方程，a、b、c滿足什麼條件時，是橢圓的方程？a、b、c滿足什麼條件時，是焦點在x軸上的橢圓的方程？a、b、c滿足什麼條件時，是焦點在y軸上的橢圓的方程？（舉例項）
設計說明：這樣設計絲絲入扣，既鞏固橢圓標準方程，且引起學生的興趣，培養了學生的運算能力，美的欣賞能力（對稱美及其作用），提出問題的能力，反思的能力，促使學生體會如何用解析法探索曲線的性質；促使學生領悟如何學習、辯識新事物．
三．鞏固練習（學生練習、思考、討論、反饋、矯正）
1）（教材例1改）．求適合下列條件的橢圓的標準方程：
（1）兩個焦點的座標分別是(–4,0)、(4,0),橢圓上一點p到兩焦點距離的和等於10；
（2）兩個焦點的座標分別是(0, – 2)、(0 ，2)，並且橢圓經過點．
（（1）改）到兩定點的距離和等於８的點的軌跡方程.
讓學生總結：（教師及時矯正與補充）
①判斷所求方程是否是橢圓的標準方程，哪一種．
②用待定係數法等有關方法確定a、b（或利用a、b、c關係）．
2）(課本p96 3.)寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)a=4，b=1, 焦點在x軸上；
(2) a=4，，焦點在y軸上；
（3）3）(課本p96 2.)如果橢圓上一點p到焦點f1的距離等於6，則點p到另乙個焦點f2的距離是
設計說明：這樣設計有利於培養學生待定係數法、數形結合等的數學思想方法，鞏固橢圓的定義；也有利於教師與學生之間的交流．
四．繼續探索（為今後教學作準備、引起學生的探索慾望）
1．在探索橢圓定義時，發現橢圓有扁一些的、有圓一些的，用幾何畫板課件演示，注意a、b、c的變化，用什麼來表示橢圓的扁圓的程度．
2．在探索橢圓標準方程時，化簡過程中有：；它有什麼含義？
3．改為「到兩定點距離之差為定值的點的軌跡」，則其軌跡是什麼呢？你能否找到工具來驗證你的想法？你還有什麼類似的軌跡要研究、探索？
本教學設計是利用先進的教學理念，將傳統手段（讓學生畫橢圓等）與先進的計算機多**技術整合在一起，取長補短，展現知識的發生發展過程，讓學生始終處在問題探索研究狀態之中，讓學生在獲取知識的同時，培養了學生的學習數學的興趣；培養了待定係數、數形結合等數學思想方法，也培養了學生的動手能力、探索能力、美的欣賞能力，是研究性教學的一次有益的嘗試．
《橢圓的標準方程》教學設計
翟榮俊教材 蘇教版 數學 選修系列2 1 一 教學背景分析 一 教材的地位與作用 橢圓的標準方程 是繼學習必修2圓以後又一二次曲線的例項。從知識上說，它是對前面所學的運用座標法研究曲線的又一次實際演練，同時它也是進一步研究橢圓幾何性質和雙曲線 拋物線的基礎 從方法上說，它為我們後面研究雙曲線 拋物線...
《橢圓的標準方程》教學設計
無錫市洛社高階中學翟榮俊 教材 蘇教版 數學 選修系列2 1 一 教學背景分析 一 教材的地位與作用 橢圓的標準方程 是繼學習必修2圓以後又一二次曲線的例項。從知識上說，它是對前面所學的運用座標法研究曲線的又一次實際演練，同時它也是進一步研究橢圓幾何性質和雙曲線 拋物線的基礎 從方法上說，它為我們後...
橢圓的標準方程
學習目標 1.了解橢圓的實際背景，經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，橢圓標準方程的推導與化簡過程.2.掌握橢圓的定義 標準方程及幾何圖形 學習重難點 橢圓的標準方程及其求法 使用說明及學法指導 1.先精讀一遍教材選修2 1的p39 p42，用紅色筆進行勾畫 再針對預習自學二次閱讀並回答 2.若預習完...