橢圓的定義與橢圓的標準方程教案

[教學目標]

通過教學使學生理解並初步掌握橢圓的（第一）定義，會推導橢圓的標準方程，掌握橢圓的幾個關鍵數量之間的關係。

[教學設計]

1．引言

對圓錐曲線的研究可能起因於古希臘著名的三大幾何作圖難題（化圓為方、立方倍積、三等分任意角），plato學派的menaechmus最早發現了圓錐曲線。euclid的學生apollonius（約262~在其名著《圓錐曲線》中，完成了關於圓錐曲線的研究。

2．橢圓的（第一）定義

在同一平面內，到兩個定點f1、f2的距離之和等於定值2a（2a > | f1f2|）的點的軌跡稱為橢圓。f1、f2均成為橢圓的焦點。

可以通過實驗直觀地看到，橢圓是乙個平面封閉圖形，於是，乙個橢圓就將平面分成了橢圓外、橢圓上和橢圓內三個部分，橢圓外的任意一點到f1、f2的距離之和大於2a，橢圓上的任意一點到f1、f2的距離之和等於2a，橢圓內的任意一點到f1、f2的距離之和小於2a（為什麼？請學生給出證明）。

3．橢圓的標準方程

·回顧求軌跡方程的一般步驟：建立座標系，設點，建立關係式（方程），化簡，證明。

·橢圓標準方程的推導（略，注意化簡的方法。）。

分析兩類標準方程與其圖象的關係。

例1 平面內兩定點的距離為8，試建立適當的座標系，寫出到這兩個定點的距離之和為10的點的軌跡的方程。（或）

例2 求與橢圓共焦點，並且過點（3，-2）的橢圓的方程。（）

例3 橢圓的焦點為f1和f2，點p在橢圓上，如果線段pf1的中點在y軸上，那麼|pf1|是|pf2|的（）

a． 7倍 b．5倍 c．4倍 d．3倍

作業：課本p134 1、2。

思考：1．橢圓的焦點為f1、f2，點p為其上的動點.當為鈍角時，點p橫座標的取值範圍是

2．在同一平面內，到兩個定點f1、f2的距離之和等於定值2a（2a = | f1f2|）的點的軌跡是什麼？如果2a < | f1f2|呢？

註記：內容沒有完成，例題都沒有出現。原因是增加了有關橢圓切線的乙個內容，似乎沖淡了本節課的主題，難度也較高，不很恰當。

作業點評：

1．在已經推導出了橢圓的標準方程的情況之下，不會設定方程，待定係數，仍然按照定義進行「重複」推導。

2．第2題是求軌跡的一般問題，但不少學生沒有建立座標系，而直接根據條件計算a、b。

3．對方程當中變數的取值範圍有所忽略，比如，第2題，如果設定焦點在x軸上，則y≠0。