無錫市洛社高階中學翟榮俊
教材：蘇教版《數學》選修系列2－1
一、教學背景分析
（一）教材的地位與作用
《橢圓的標準方程》是繼學習必修2圓以後又一二次曲線的例項。從知識上說，它是對前面所學的運用座標法研究曲線的又一次實際演練，同時它也是進一步研究橢圓幾何性質和雙曲線、拋物線的基礎；從方法上說，它為我們後面研究雙曲線、拋物線這兩種圓錐曲線提供了基本模式和理論基礎。橢圓的標準方程是圓錐曲線方程研究的基礎，它的學習方法對整個這一章具有導向和引領作用。
（二）對教學目標的闡述
根據課程標準的要求，本節教材特點及學生的認知情況，把教學目標擬定如下：
1．知識與技能目標：進一步理解橢圓的定義；掌握橢圓的標準方程，理解橢圓標準方程的推導；會根據條件寫出橢圓的標準方程；能用標準方程判定是否是橢圓；
2．過程與方法目標：通過尋求橢圓的標準方程的推導，幫助學生領會觀察、分析、歸納、數形結合等思想方法的運用；在相互交流、合作**的學習過程中，使學生養成合理表述、科學抽象、規範總結的思維習慣，逐步培養學生在探索新知過程中進行推理的能力和數學知識的運用能力；
3．情感態度與價值觀目標：通過主動**、合作學習、相互交流，進一步認識數學的理性與嚴謹，感受探索的樂趣與成功的喜悅，增加學生的求知慾和自信心；培養他們不怕困難、勇於探索的優良作風，增強學生審美體驗，提高學生的數學思維的情趣，給學生以成功的體驗，逐步認識到數學的科學價值、應用價值和文化價值，從而形成學習數學知識的積極態度。
本教案的設計著眼點是讓學生集體參與、主動參與，讓學生動手、動腦，通過觀察、猜想、歸納等合情推理，鼓勵學生多向思維、積極活動、勇於探索。所以，在平等的教學氛圍中，讓學生體驗數學學習的成功與快樂，增加學生的求知慾和自信心；培養學生不怕困難、勇於探索的優良作風，增強學生審美體驗，提高學生的數學思維的情趣，給學生以成功的體驗，形成學習數學知識的積極態度是本節課要達成的情感目標。
（三）重、難點的分析與突破
據以上教材、教學目標的分析，確定橢圓的標準方程為本課的教學重點；橢圓標準方程的推導為本課的難點。
學習的過程是乙個不斷將外界的新資訊不斷搭建在已有知識上的過程，是認知結構發生重組和改造的過程。本課在設計中充分考慮到了學生的這一實際情況及學生的認知規律。為了突破重點，在教學設計中採用了循序漸進、逐層推進的方法，抓住學生的最近發展區，先用彗星光臨地球這一例說明軌道方程有很大的實際作用，從而引出課題；再讓學生回憶上節課講的橢圓的定義和畫法，動手操作「定性」地畫出橢圓；最後通過座標法「定量」地描述橢圓，從而使推出方程的過程符合學生的認知規律。
學生對含有兩個根式之和（差）等式化簡的運算生疏，去根式的策略選擇不當是導致「標準方程的推導」成為教學難點的直接原因。為突破難點，在設計中通過課堂精心設問，逐步引導，這樣，橢圓方程的化簡這一難點也就迎刃而解了。
二、教法分析和學法指導
學習是一種有意義的活動、是一種合作活動同時也是一種體驗。因此，教師教學方法選擇如何？是否有利於創設一種有趣、生動、活潑的課堂教學氣氛，會直接關係到學生接受知識的過程是主動還是被動。
在本課的教學設計中，主要採用**式教學方法，即「問題誘導－啟發討論－探索結果」以及「直觀觀察－歸納抽象－總結規律」的一種**式教學方法，注重「引、思、探、練」的結合。引導學生學習方式發生轉變，採用激發興趣、主動參與、積極體驗、自主**的學習，形成師生互動的教學氛圍。在學習方法上，指導學生：
通過利用圓的標準方程的推導過程，從而啟發橢圓的標準方程的推導，讓學生體會到模擬思想的應用；通過利用橢圓定義探索橢圓方程的過程，指導學生進一步理解數形結合思想，產生主動運用的意識；通過揭示由於橢圓位置的不確定所引起的分類討論，進行分類討論思想運用的指導；通過解題思路的脈絡分析，對學生進行解題思路的指導；通過對學生發言的點評，規範語言表達，指導學生進行交流和討論。
三、教學過程與設計
本課的教學環節主要分以下幾個部分
（一）創設情境，引入課題
**課件：哈雷慧星2023年2月9日是上世紀第二次也是最後一次回歸地球，天文學家推算出哈雷慧星每隔76年到達離地球最近點一次。
問題討論：天文學家推算出76年以後它還將光臨地球上空的依據是什麼？
原來，哈雷彗星執行的軌道是乙個橢圓，通過觀察它執行中的一些有關資料，可以推算出它的執行軌道的方程，從而算出它執行的週期及軌道的週期，**它接近地球的時間。
由此可說明軌跡方程有很大作用，怎樣才能算出彗星執行軌道的方程呢？
引出課題——橢圓的標準方程．
目的：利用課件生動形象的演示提高學生學習興趣、啟用學生思維，使學生的注意、記憶、思維凝聚在一起，加強學生對橢圓形象的認識，提高參與程度，讓學生認識到學習橢圓的必要性，引出課題。
（二）新課講授
1．複習回顧
複習橢圓的定義，並讓學生動手畫橢圓。
設計目的：複習舊知識，為後面分析橢圓的標準方程做下鋪墊；以舊知識來調動學生的學習積極性，激發他們的學習興趣；給學生提供乙個動手操作，合作學習的機會；通過實驗讓學生去**「滿足什麼樣的條件下的點的集合為橢圓」有深刻地理解；培養學生的自信心、成就感．
2．標準方程的推導
讓學生回憶求圓的標準方程的步驟：建系——設點——列式——化簡。
（1）建系：讓學生根據所畫的橢圓，選取適當的座標系．（若學生選取的座標系都一樣教師多畫幾個座標系，讓學生選，其中有中心在原點焦點在y軸的座標系；並提問：為什麼選取這樣的座標系，依據是什麼）
目的：教學生學會建立適當的座標系，構造數與形的橋梁，學會用解析的方法來解決問題，滲透數形結合的數學思想。
（2）設點：設橢圓上任意一點。（強調任意性）
（3）列式：根據橢圓定義知，座標化得
（4）化簡：雖然化簡此式學生會感到有困難，但我先讓學生嘗試，適當的提示學生：化簡的關鍵在於將根式去掉，而去根式則要兩邊平方，那怎樣平方去根式會較簡單呢？
請學生分析後嘗試求解焦點在x軸上的橢圓的標準方程。
為使方程簡單、對稱、和諧，引入字母b，令，可得橢圓的標準方程為
請學生歸納焦點在y軸上橢圓的標準方程為：
請同學們觀察歸納兩個方程的特徵，從而區別焦點在不同座標軸上的橢圓標準方程，完成下表
強調：①是；
②是（要區別與習慣思維下的勾股定理）；
③注意方程「型」與曲線「形」的對應。
目的：通過對比總結，強化不同型別的方程的異同，從而深化學生對橢圓標準方程的理解；通過討論，學生自主學習，構建新的知識體系，不但能學習到真正屬於自己的、可靈活運用的知識，而且在此過程中掌握求知的方法；通過討論，利用模擬的方法來深化學生對橢圓標準方程的理解。
3．例題講解
㈠口答練習：
⑴橢圓，則
⑵橢圓，則
⑶橢圓，則
再設問：以上的橢圓對應的焦距是多少？（利用研究2c）
目的：使學生迅速進入到緊張的練習氛圍中去，能及時對學習的知識加深印象。
㈡課堂**題:
下列方程是否表示橢圓,為什麼?
(1);(2);(3);(4).
課後思考題：方程ax2+by2=c中，a、b、c滿足什麼條件，方程可以表示橢圓？
目的：使學生進一步熟悉橢圓的標準方程，在辨別中加深印象，加強對知識的理解。
㈢典型例題研究：
例1：已知,，求焦點分別在x、y軸上的橢圓的標準方程。
（焦點在x軸：橢圓方程；焦點在焦點在y軸：橢圓方程）
口答：根據已知條件，求焦點分別在x、y軸上的橢圓的標準方程．
目的：檢測學生的掌握情況，及時反饋，強化知識點的學習，為下節課內容的學習打好基礎；加深對所學知識的理解和運用，使學生掌握基礎知識，利於學生思維能力的培養。
例2：已知橢圓的焦點座標是，，橢圓上的任意一點到、的距離之和是10，求橢圓的標準方程。
由學生討論分析，解決本題，得出橢圓方程。
練習：已知橢圓的焦點座標是，，橢圓上的任意一點到、的距離之和是8，求橢圓的標準方程。
由學生自主思考，獨立完成，得出橢圓方程。
目的：同步練習，檢測學生的掌握情況，及時反饋，強化知識點的學習，為下節課內容的學習打好基礎；加深對所學知識的理解和運用，使學生掌握基礎知識，有利於學生思維能力的培養。
例3：已知乙個運油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是乙個橢圓，它的焦距為2.4m，外輪廓線上的點到兩個焦點距離的和為3m，求這個橢圓的標準方程．
解：以兩焦點f1、f2所在直線為x軸，線段f1f2的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的直角座標系xoy，則這個橢圓的標準方程可設為
根據題意知，，即，，所以
因此，這個橢圓的標準方程為
目的：⑴進一步熟悉橢圓的焦點位置與標準方程之間的關係；
掌握運用待定係數法求橢圓的標準方程，解題時強調「二定」即定位定量；
培養學生運用知識解決問題的能力。
㈣課堂練習反饋：
⑴求下列橢圓的焦點座標：
求適合下列條件的橢圓的標準方程：
焦點在x軸上；
焦點在y軸上；
能力拓展題：求適合下列條件的橢圓標準方程：（定義和待定係數法的運用）
①兩個焦點分別是f1，f2，且過點p；
②經過點和．
目的：熟悉鞏固知識、運用知識。
《橢圓的標準方程》教學設計
翟榮俊教材 蘇教版 數學 選修系列2 1 一 教學背景分析 一 教材的地位與作用 橢圓的標準方程 是繼學習必修2圓以後又一二次曲線的例項。從知識上說，它是對前面所學的運用座標法研究曲線的又一次實際演練，同時它也是進一步研究橢圓幾何性質和雙曲線 拋物線的基礎 從方法上說，它為我們後面研究雙曲線 拋物線...
橢圓及橢圓的標準方程的教學設計
浙江省黃岩中學馮海容 學生現狀分析 本課的背景及地位 本課是學生學習了直線和圓的方程及其性質 曲線與方程的關係的基礎上，學生對解析幾何有一定的了解的基礎上，已具有一定的觀察 分析問題 解決問題的能力之後，開始學習圓錐曲線方程的第一課時 掌握橢圓的研究方法，既培養了學生的觀察 分析 發現 概括 探索等...
橢圓及其標準方程教學設計
青銅峽市高階中學 二 六年十月 課題橢圓及其標準方程 一學情分析 學生在必修 中學過圓錐曲線之一，圓。掌握了圓的定義及圓的標準方程的推導，學生可以用模擬的方法來研究中一種圓錐曲線橢圓。二 教學目標 知識技能 1 掌握隨圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程 2 能根據條件確定橢圓的標準方程...