8年級三角形綜合題歸類
一、 雙等邊三角形模型
1. （1）如圖7，點o是線段ad的中點，分別以ao和do為邊**段ad的同側作等邊三角形oab和等邊三角形ocd，鏈結ac和bd，相交於點e，鏈結bc．求∠aeb的大小；
（2）如圖8，δoab固定不動，保持δocd的形狀和大小不變，將δocd繞著點o旋轉（δoab和δocd不能重疊），求∠aeb的大小.
2. 已知:點c為線段ab上一點，△acm,△cbn都是等邊三角形，且an、bm相交於o.
① 求證：an=bm
② 求 ∠aob的度數。
③ 若an、mc相交於點p，bm、nc交於點q，求證：pq∥ab。
（湘潭·中考題）
同類變式： 如圖a，△abc和△cef是兩個大小不等的等邊三角形，且有乙個公共頂點c，連線af和be.
(1)線段af和be有怎樣的大小關係?請證明你的結論；
(2)將圖a中的△cef繞點c旋轉一定的角度，得到圖b，(1)中的結論還成立嗎?作出判斷並說明理由；
(3)若將圖a中的△abc繞點c旋轉一定的角度，請你畫出乙個變換後的圖形c(草圖即可)，(1)中的結論還成立嗎?作出判斷不必說明理由.
圖c3. 如圖9，若△和△為等邊三角形，分別為的中點，易證：
，△是等邊三角形．
（1）當把△繞點旋轉到圖10的位置時，是否仍然成立？若成立,請證明；若不成立，請說明理由；
（2）當△繞點旋轉到圖11的位置時，△是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，若不是，請說明理由．
同類變式：已知，如圖①所示，在和中，，，，且點在一條直線上，連線分別為的中點．
（1）求證：①；②；
（2）在圖①的基礎上，將繞點按順時針方向旋轉，其他條件不變，得到圖②所示的圖形．請直接寫出（1）中的兩個結論是否仍然成立.
4. 如圖，四邊形abcd和四邊形aefg均為正方形，連線bg與de相交於點h．
（1）證明：△abg△ade ；
（2）試猜想bhd的度數，並說明理由；
（3）將圖中正方形abcd繞點a逆時針旋轉（0°＜bae ＜180°），設△abe的面積
為，△adg的面積為，判斷與的大小關係，並給予證明．
5.已知：如圖，是等邊三角形，過邊上的點作，交於點，在的延長線上取點，使，連線．
（1）求證：；
（2）過點作，交於點，請你連線，並判斷是怎樣的三角形，試證明你的結論．
二、 垂直模型（該模型在基礎題和綜合題中均為重點考察內容）
考點1：利用垂直證明角相等
1. 如圖，△abc中，∠acb＝90°，ac＝bc，ae是bc邊上的中線，過c作cf⊥ae，垂足為f，過b作bd⊥bc交cf的延長線於d．
求證：（1）ae＝cd； （2）若ac＝12 cm，求bd的長．
2. （西安中考）如圖(1), 已知△abc中, ∠bac=900, ab=ac, ae是過a的一條直線, 且b、c在a、e的異側, bd⊥ae於d, ce⊥ae於e 。
圖(1圖(2圖(3)
(1)試說明: bd=de+ce.
(2) 若直線ae繞a點旋轉到圖(2)位置時(bd(3) 若直線ae繞a點旋轉到圖(3)位置時(bd>ce), 其餘條件不變, 問bd與de、ce的關係如何? 寫出結論,可不說明理由。
3. 直線cd經過的頂點c，ca=cb．e、f分別是直線cd上兩點，且．
（1）若直線cd經過的內部，且e、f在射線cd上，請解決下面兩個問題：
①如圖1，若，則填「」，「」或「」號）；
②如圖2，若，若使①中的結論仍然成立，則與應滿足的關係是
（2）如圖3，若直線cd經過的外部，，請**ef、與be、af三條線段的數量關係，並給予證明．
考點2：利用角相等證明垂直
1. 已知be，cf是△abc的高，且bp=ac，cq=ab，試確定ap與aq的數量關係和位置關係
2. 如圖，在等腰rt△abc中，∠acb=90°，d為bc的中點，de⊥ab，垂足為e，過點b作bf∥ac交de的延長線於點f，連線cf．
(1)求證：cd=bf；
(2)求證：ad⊥cf；
(3)連線af，試判斷△acf的形狀.
拓展鞏固：如圖9所示，△abc是等腰直角三角形，∠acb＝90°，ad是bc邊上的中線，過c作ad的垂線，交ab於點e，交ad於點f，求證：∠adc＝∠bde．
（提示：對比此題的條件和上面那題的條件，對比此題的圖形和上題的影象，有什麼區別和聯絡？）
3. 如圖1，已知正方形的邊在正方形的邊上，連線，.
（1）試猜想與有怎樣的位置關係，並證明你的結論；
（2）將正方形繞點按順時針方向旋轉，使點落在邊上，如圖2，連線和.你認為（1）中的結論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.
4.如圖1，的邊bc在直線上，且的邊也
在直線上，邊與邊重合，且
（1） 在圖1中，請你通過觀察、測量，猜想並寫出與所滿足的
數量關係和位置關係；
（2） 將沿直線向左平移到圖2的位置時，交於點,連線
.猜想並寫出與所滿足的數量關係和位置關係，請證明你的猜想；
（3）將沿直線向左平移到圖3的位置時，的延長線交的延長
線於點q,鏈結,你認為（2）中所猜想的與的數量關係和位置關係和位置關係還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.
三、 等腰三角形（中考重難點之一）
考點1：等腰三角形性質的應用
1. 如圖，中，，，是中點，，與交於，與交於．求證：，．
2. 兩個全等的含，角的三角板和三角板，如圖所示放置，三點在一條直線上，鏈結，取的中點，鏈結．試判斷的形狀，並說明理由．
壓軸題拓展：（三線合一性質的應用）已知中，，，為邊的中點，，繞點旋轉，它的兩邊分別交、（或它們的延長線）於、．
當繞點旋轉到於時（如圖1），易證．當繞點旋轉到和不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立? 若成立，請給予證明；若不成立，，，又有怎樣的數量關係？請寫出你的猜想，不需證明．
提示：此題為上面題目的綜合應用，思路與第一題相似。
3. 已知：如圖，△abc中，∠abc=45°，cd⊥ab於d，be平分∠abc，且be⊥ac於e，與cd相交於點f，h是bc邊的中點，鏈結dh與be相交於點g。
(1) bf=ac (2) ce=bf (3)ce與bc的大小關係如何。
考點2：等腰直角三角形（45度的聯想）
1. 如圖1，四邊形abcd是正方形，m是ab延長線上一點。直角三角尺的一條直角邊
經過點d，且直角頂點e在ab邊上滑動（點e不與點a，b重合），另一條直角邊與∠cbm
的平分線bf相交於點f.
⑴ 如圖14―1，當點e在ab邊的中點位置時：
① 通過測量de，ef的長度，猜想de與ef滿足的數量關係是
② 連線點e與ad邊的中點n，猜想ne與bf滿足的數量關係是
③ 請證明你的上述兩猜想.
⑵ 如圖14―2，當點e在ab邊上的任意位置時，請你在ad邊上找到一點n,
使得ne=bf，進而猜想此時de與ef有怎樣的數量關係並證明
2. 在rt△abc中，ac＝bc，∠acb＝90°，d是ac的中點，dg⊥ac交ab於點g.
（1）如圖1，e為線段dc上任意一點，點f**段dg上，且de=df，鏈結ef與 cf，過點f作fh⊥fc，交直線ab於點h．
①求證：dg=dc
②判斷fh與fc的數量關係並加以證明．
（2）若e為線段dc的延長線上任意一點，點f在射線dg上，(1)中的其他條件不變，借助圖2畫出圖形。在你所畫圖形中找出一對全等三角形，並判斷你在(1)中得出的結論是否發生改變．（本小題直接寫出結論，不必證明）
同類變式：（期末考試原題哦） 已知：△abc為等邊三角形，m是bc延長線上一點，直角三角尺的一條直角邊經過點a，且60角的頂點e在bc上滑動，（點e不與點b、c重合），斜邊與∠acm的平分線cf交於點f
（1）如圖（1）當點e在bc邊得中點位置時
猜想ae與ef滿足的數量關係是
鏈結點e與ａｂ邊得中點ｎ，猜想ｂｅ和ｃｆ滿足的數量關係是 .
請證明你的上述猜想；
（２）如圖（２）當點ｅ在ｂｃ邊得任意位置時，ａｅ和ef有怎樣的數量關係，並說明你的理由？
四、 角平分線問題
1. 如圖：e**段cd上，ea、eb分別平分∠dab和∠cba, ∠aeb=90°,設ad＝,
bc＝，且滿足
（1）求ad和bc的長；（2）你認為ad和bc還有什麼關係？並驗證你的結論；
（3）你能求出ab的長度嗎？若能，請寫出推理過程；若不能，請說明理由.
2. 如圖①，op是∠mon的平分線，請你利用該圖形畫一對以op所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：
（1）如圖②，在△abc中，∠acb是直角，∠b=60°，ad、ce分別是∠bac、∠bca的平分線，ad、ce相交於點f。請你判斷並寫出fe與fd之間的數量關係；
（2）如圖③，在△abc中，如果∠acb不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。
3.(北京市中考模擬題)如圖，在四邊形中，平分，過作，並且，則等於多少？
4. 如圖，△abc中，ad平分∠bac，dg⊥bc且平分bc，de⊥ab於e，df⊥ac於f.
（1）說明be=cf的理由；（2）如果ab=，ac=，求ae、be的長.
五、中點問題
1. 在△abc中,為的中點， 過點的直線交於, 交的平行線
於點。, 並交於點. 鏈結.
（1）求證:；
（2）請猜想與的大小關係, 並加以證明
2. 如右下圖，在中，若，，為邊的中點．求證：．
3. 已知中，，為的延長線，且，為的邊上的中線．求證（提示：倍長中線試試）
附加思考題：（此題有很好地思維訓練價值，值得深入思考**） 以的兩邊、為腰分別向外作等腰和等腰，.連線，、分別是、的中點．**：與的位置關係及數量關係．
全等三角形壓軸題
一 選擇題 共9小題 1 2015荊門 如圖，點a，b，c在一條直線上，abd，bce均為等邊三角形，連線ae和cd，ae分別交cd，bd於點m，p，cd交be於點q，連線pq，bm，下面結論 abe dbc dma 60 bpq為等邊三角形 mb平分 amc，其中結論正確的有 2 2014山西 如...
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陳紅良 1.如圖,點b,e,c,f在同一直線上,ab de,且ab de,be cf.求證 ac df 2.如圖,已知 ad是bc上的中線 且df de 求證 be cf 3 如圖,已知 ab bc於b ef ac於g df bc於d bc df 求證 ac ef 4.如圖，abc的兩條高ad be...
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時間 90分鐘，滿分 100分 一 選擇題 每小題3分，共30分 1.在 中，若與 全等的乙個三角形中有乙個角為95 那麼95 的角在 中的對應角是 abc.dd.2.下列說法正確的是 a.形狀相同的兩個三角形全等b.面積相等的兩個三角形全等 c.完全重合的兩個三角形全等d.所有的等邊三角形全等 3...