第1課時兩角和與差的余弦
教學過程
一、 問題情境[1]
在實數運算中，有公式a(b+c)=ab+ac；在向量運算中，有公式a·(b+c)=a·b+a·c；在三角運算中，有公式cos(α-β)=cosα-cosβ嗎？如果沒有，式子一定不成立嗎？
二、 數學建構
問題1 在直角座標系xoy中，以ox為始邊分別作角α， β (0≤β≤α≤π)，其終邊分別與單位圓交於p1， p2，則向量， 的夾角是多少？·的值是多少？[2]
(圖1)
由圖1可得向量， 的夾角是α-β，=(cosα， sinα)， =(cosβ， sinβ).
一方面，由向量數量積的定義，有·=||·||cos(α-β)=cos(α-β).
另一方面，由向量數量積的座標表示，有·=cosαcosβ+sinαsinβ.
從而cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ， 0≤β≤α≤π.
問題2 如果α， β∈r，上述公式還成立嗎？[3]
當α-β∈[0， π]時， α-β就是， 的夾角，所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
對於任意的α， β，總可選適當的整數k，使α-β-2k記β1=β+2kπ，則β1與β的終邊相同，且α-β1∈[-π， π)，從而|α-β1|≤π， |α-β1|就是， 的夾角.因此cos(|α-β1|)=cos(α-β1)=cos(α-β-2kπ)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
綜上，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，這就是兩角差的余弦公式，記為c(α-β).
問題3 cos(β-α)的展開式是什麼？它與cos(α-β)展開式相等嗎？為什麼？
cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ，它們展開式相等.因為余弦函式是偶函式，所以cos(α-β)=cos(β-α).
問題4 能利用兩角差的余弦公式求cos(α+β)嗎？[4]
在兩角差的余弦公式中，用-β代替β，就可以得到cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，這就是兩角和的余弦公式，記為c(α+β).
思考 「用-β代替β」的換元方法體現在圖形上有什麼幾何意義？能直接利用向量的數量積推出兩角和的余弦公式嗎？
用「-β代替β」的幾何意義就是作出角β關於x軸的對稱圖形.
(一) 公式理解
1. 結構特徵:①左邊是兩角差的余弦，右邊是同名積的和；②左邊是兩角和的余弦，右邊是同名積的差.
2. 公式中的α， β可以是任意的角(或式子).
3. 當α， β中有乙個是90°的整數倍時，用誘導公式比較簡便.
(二) 鞏固概念
問題5請利用兩角和(差)的余弦公式證明cos=sinα.[5]
cos=coscosα+sinsinα=sinα.
三、 數**用
【例1】利用兩角和(差)的余弦公式，求cos75°， cos15°， sin15°， tan15°.[6]
[處理建議] 引導學生將75°， 15°轉化為兩個特殊角的和或差，正弦需轉化為余弦.
[規範板書] 解 (1) 方法1:cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=.
方法2:cos75°=cos(120°-45°)=cos120°cos45°+sin120°sin45°=.
(2) 方法1:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=.
方法2:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°=.
(3) sin15°=cos(90°-75°)=cos75°=.
(4) tan15°===2-.
[題後反思] (1)兩角差(和)的余弦公式也適用於形式上不是差(和)角，但可以拆分成兩角差(和)的情形；(2)角的拆分可能有多種形式，要根據題目選擇適當的拆分.
變式化簡cos+cos.
[規範板書] 解原式=coscosα-sinsinα+coscosα+sinsinα=cosα.
【例2】 不查表，求下列式子的值:
(1) cos120°cos15°-sin120°sin15°；
(2) cos58°sin77°+sin122°sin13°.
[處理建議] 本例是逆用兩角和(差)的余弦公式求值，要引導學生構造公式中的結構.
[規範板書] 解 (1)原式=cos(120°+15°)=cos135°=-.
(2) 原式=cos58°cos13°+sin58°sin13°=cos(58°-13°)=.
變式不查表，求cos215°-sin215°的值.
[規範板書] 解 cos215°-sin215°=cos(15°+15°)=.
[題後反思] 只有式子結構與公式結構完全相同時才能逆用公式，否則需對式子進行變形.
【例3】已知sinα=， α∈， cosβ=-，β∈，求cos(α+β)的值.
[處理建議] 由公式c(α+β)可知，欲求cos(α+β)，應先計算cosα，sinβ的值.cosα， sinβ是通過sin2x+cos2x=1(x為任意角)來求解的，要注意「±」的選取.
[規範板書] 解因為α∈， sinα=，所以cosα=-=-=-.
又因為cos所以sinβ=-=-=-，
所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsin
[題後反思] 思考:在例3中，你能求出sin(α+β)的值嗎？
*【例4】 若α， β為銳角，且滿足cosα=， cos(α+β)=，求cosβ的值.
[處理建議] 先由學生自己分析解題思路，可能是「展開cos(α+β)，與sin2β+cos2β=1聯立，解方程組」.再引導學生觀察發現α， α+β， β三個角之間的關係為用兩角差的余弦公式求解.最後由學生比較兩種方法的簡易度，讓學生體會拆角方法的簡捷和思路的合理性.
[規範板書] 解因為α， β為銳角，所以0<α<， 0<β<， 0<α+β<π.
因為cosα=， cos(α+β)=，所以sinα=， sin(α+β)=，
所以cosβ=coscos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×+×=.
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