3.1.1 方程的根與函式的零點
作者：董雁飛，黑龍江大慶實驗中學教師．本教學設計獲第五屆全國高中青年數學教師優秀課觀摩與評比活動優秀課一等獎．
整體設計
教學目標
知識與技能
．結合方程根的幾何意義，理解函式零點的定義；
2．結合零點定義的**，掌握方程的實根與其相應函式零點之間的等價關係；
3．結合幾類基本初等函式的圖象特徵，掌握判斷函式的零點個數和所在區間的方法．
過程與方法
．通過化歸與轉化思想的引導，培養學生從已有認知結構出發，尋求解決棘手問題方法的習慣；
2．通過數形結合思想的滲透，培養學生主動應用數學思想的意識；
3．通過習題與**知識的相關性設定，引導學生深入**得出判斷函式的零點個數和所在區間的方法；
4．通過對函式與方程思想的不斷剖析，促進學生對知識靈活應用的能力．
情感、態度與價值觀
．讓學生體驗化歸與轉化、數形結合、函式與方程這三大數學思想在解決數學問題時的意義與價值；
2．培養學生鍥而不捨的探索精神和嚴密思考的良好學習習慣；
3．使學生感受學習、探索發現的樂趣與成功感．
教學重點與難點
教學重點：零點的概念及零點存在性的判定．
教學難點：**判斷函式的零點個數和所在區間的方法．
教學的方法與手段
授課型別
新授課教學方法
啟發式教學、**式學習
教學自製powerpoint
多**裝置
計算機教學過程
【環節一：揭示意義，明確目標】揭示本章意義，指明課節目標
教師活動：用螢幕顯示
第三章函式的應用
3.1.1 方程的根與函式的零點
教師活動：這節課我們來學習第三章函式的應用．通過第二章的學習，我們已經認識了指數函式、對數函式、冪函式、分段函式等函式的圖象和性質，而這一章我們就要運用函式思想，建立函式模型，去解決現實生活中的一些簡單問題．為此，我們還要做一些基本的知識儲備．方程的根，我們在初中已經學習過了，而我們在初中研究的「方程的根」只是側重「數」的一面來研究，那麼，我們這節課就主要從「形」的角度去研究「方程的根與函式零點的關係」．
教師活動：板書標題．
【環節二：巧設疑雲，輕鬆滲透】設定問題情境，滲透數學思想
教師活動：請同學們思考這個問題．用螢幕顯示判斷下列方程是否有實根，有幾個實根？
x2－2x－3＝0；lnx＋2x－6＝0.
學生活動：回答，思考解法．
教師活動：第二個方程我們不會解怎麼辦？你是如何思考的？
有什麼想法？我們可以考慮將複雜問題簡單化，將未知問題已知化，通過對第乙個問題的研究，進而來解決第二個問題．對於第乙個問題大家都習慣性地用代數的方法去解決，我們應該打破思維定勢，假如第乙個方程你不會解，也不會應用判別式，你要怎樣判斷其實根個數呢？
學生活動：思考作答．
教師活動：用螢幕顯示函式y＝x2－2x－3的圖象．
學生活動：觀察圖象，思考作答．
教師活動：我們來認真地對比一下．用螢幕顯示**，讓學生填寫x2－2x－3＝0的實數根和函式圖象與x軸的交點．
學生活動：得到方程的實數根應該是函式圖象與x軸交點的橫座標的結論．
教師活動：我們就把使方程成立的實數x稱為函式的零點．
【環節三：形成概念，昇華認知】引入零點定義，確認等價關係
教師活動：這是我們本節課的第乙個知識點．板書，使方程f＝0的實數x叫做函式y＝f的零點)．
教師活動：我們可不可以這樣認為，零點就是使函式值為0的點？
學生活動：對比定義，思考作答．
教師活動：結合函式零點的定義和我們剛才的**過程，你認為方程的根與函式的零點究竟是什麼關係？
學生活動：思考作答．
教師活動：這是我們本節課的第二個知識點．板書．
教師活動：檢驗一下看大家是否真正理解了這種關係．如果已知函式y＝f有零點，你怎樣理解它？
學生活動：思考作答．
教師活動：對於函式y＝f有零點，從「數」的角度理解，就是方程f＝0有實根，從「形」的角度理解，就是圖象與x軸有交點．從我們剛才的**過程中，我們知道，方程f＝0有實根和圖象與x軸有交點也是等價的關係．所以函式零點實際上是方程f＝0有實根和圖象與x軸有交點的乙個統一體．
在螢幕上顯示：
教師活動：下面就檢驗一下大家的實際應用能力．
【環節四：應用思想，小試牛刀】數學思想應用，基礎知識強化
教師活動：用螢幕顯示
求下列函式的零點．
y＝3x；y＝log2x；y＝1x；y＝
學生活動：由四位同學分別回答他們確定零點的方法．畫圖象時要求用語言描述4個圖象的畫法．
教師活動：根據學生的描述，在黑板上作出圖象．
教師活動：我們已經學習了函式零點的定義，還學習了方程的根與函式零點的等價關係，在這些知識的**發現中，我們也有了一些收穫，那我們回過頭來看看能不能解決lnx＋2x－6＝0的根的存在性問題？
學生活動：可受到化歸思想的啟發應用數形結合進行求解．
教師活動：用螢幕顯示學生所論述的解題過程．這種解法充分運用了我們前面的解題思想，將未知問題轉化成已知問題，將乙個圖象不會畫的函式轉化成了兩個圖象都會畫的函式，利用兩個函式圖象的交點解決實根存在性問題．看來我們的**過程是非常有價值的．
教師活動：如果不轉化，這個問題就真的解決不了嗎？現在最棘手的問題是y＝lnx＋2x－6的圖象不會畫，那我們能不能不畫圖象就判斷出零點的存在呢？
【環節五：**新知，思形想數】**圖象本質，數形轉化解疑
教師活動：我們看到，當函式圖象穿過x軸時，圖象就與x軸產生了交點，圖象穿過x軸這是一種幾何現象，那麼如何用代數形式來描述呢？用螢幕顯示y＝x2－2x－3的函式圖象，多次**拋物線穿過x軸的畫面．
學生活動：通過觀察圖象，得出函式零點的左右兩側函式值異號的結論．
教師活動：好！我們明確一下這個結論，函式y＝f具備什麼條件時，能在區間上存在零點？
學生活動：得出f•f＜0的結論．
教師活動：若f•f＜0，函式y＝f在區間上就存在零點嗎？
學生活動：可從黑板上的圖象中受到啟發，得出只有在[a，b]上連續不斷的函式，在滿足f•f＜0的條件時，才會存在零點的結論．
【環節六：歸納定理，深刻理解】初識定理表象，深入理解實質
教師活動：其實同學們無形之中已經說出了我們數學中的乙個重要定理，那就是零點存在性定理．這是我們本節課的第三個知識點．板書．
教師活動：用螢幕顯示
在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，並且有f•f＜0，那麼，函式y＝f在區間內有零點．
即存在c∈，使得f＝0，這個c也就是方程f＝0的根．)
教師活動：這個定理比較長，找個同學給大家讀一下，讓大家更好地體會定理的內容．
學生活動：讀出定理．
教師活動：大家注意到了嗎，定理中，開始時是在閉區間[a，b]上連續，結果推出時卻是在開區間上存在零點．你怎樣理解這種差異？
學生活動：思考作答．
教師活動：雖然我們已經得到了零點存在性定理，但同學們真的那麼坦然嗎？結合黑板上的圖象，再結合定理的敘述形式，你對定理的內容可有疑問？
學生活動：通過觀察黑板上的板書圖象，大致說出以下問題：
．若函式y＝f在區間[a，b]上連續，且f•f＜0，則f在區間內會是只有乙個零點嗎？
2．若函式y＝f在區間[a，b]上連續，且f•f＞0，則f在區間內就一定沒有零點嗎？
3．在什麼條件下，函式y＝f在區間上可存在唯一零點？
教師活動：那我們就來解決一下這些問題．
學生活動：通過黑板上的圖象舉出反例，得出結論．
．若函式y＝f在區間[a，b]上連續，且f•f＜0，則只能確定f在區間內有零點，有幾個不一定．
2．若函式y＝f在區間[a，b]上連續，且f•f＞0，則f在區間內也可能有零點．
3．在零點存在性定理的條件下，如果函式再具有單調性，函式y＝f在區間上可存在唯一零點．
【環節七：應用所學，答疑解惑】把握理論實質，解決初始問題
教師活動：現在我們不用畫出圖象也能判斷函式零點是否存在，存在幾個了．那解決lnx＋2x－6＝0的根的存在性問題應該是游刃有餘了．
用螢幕顯示
判斷下列方程是否有實根，有幾個實根？
lnx＋2x－6＝0
學生活動：通過對零點存在性的**和理解，表述該問題的解法.
【環節八：歸納總結，梳理提公升】總結基礎知識，提公升解題意識
教師活動：本節課的知識點已經在黑板上呈現出來了，但最重要的，也是貫穿本節課始終，起到靈魂作用的卻是三大數學思想，即化歸與轉化的數學思想，數形結合的數學思想，函式與方程的數學思想．數學思想才是數學的靈魂所在，也是數學的魅力所在，對我們解決問題起著絕對的指導作用．願我們每個同學在今後的學習中體味、感悟、應用、昇華！
【環節九：理論內化，鞏固昇華】整理思想方法，靈活應用解題
設定四個練習題，檢驗學生對本節課內容的掌握情況，增強學生對所學新知的應用意識．
．函式f＝x的零點為
a．，b．0,4
c．，，
d．－4,0,4
2．已知函式f是定義域為r的奇函式，且f在上有乙個零點，則f的零點個數為
a．3b．2c．1d．不確定
3．已知函式f的圖象是連續不斷的，有如下對應值表：
x 2
3 4
5 6
7 f
239 －7
1 －5
－12－26那麼函式在區間[1,6]上的零點至少有
a．5個
b．4個
c．3個
d．2個
4．函式f＝－x3－3x＋5的零點所在的大致區間為
a．b．c．d．【環節十：布置作業，舉一反三】延伸課堂思維，增強應用意識
已知f＝|x2－2x－3|－a，求a取何值時能分別滿足下列條件．
有2個零點；有3個零點；有4個零點．
板書設計
螢幕方程的根與函式的零點
一、函式零點的定義：對於函式y＝f，使方程f＝0的實數x叫做函式y＝f的零點．
二、方程的根與函式零點之間的等價關係
三、零點存在性定理
方程的根與函式零點
方程的根與函式零點習題 含答案 一 單選題 1 已知函式與，則函式在區間上所有零點的和為 a b c d 2 已知函式，若函式恰好有兩個零點，則實數等於 為自然對數的底數 a b c d 3 已知定義在上的函式，若有兩個零點，則實數的取值範圍是 a b c d 4 已知點是曲線上任意一點，記直線 為...
方程的根與函式的零點
方程的根與函式的零點 導學案 班級小組姓名評價 學習目標 1 知識與技能 通過二次函式的影象與x軸的交點的個數判斷一元二次方程的根的個數，了解函式零點的概念，領會方程的根與函式零點之間的關係，掌握函式零點存在性判定定理，能結合影象求解零點問題 2 過程與方法 運用 由特殊到一般 的認識規律 3 情感...
方程的根與函式的零點
課題 方程的根與函式的零點 課型 新授課 複習引入，創設情境 我們學習了一元二次方程和二次函式，那麼方程的根與其對應的函式的圖象它們又有怎樣的關係呢？新知 1 函式零點的 1 請同學完成下面的 讓學生檢查是否畫正確了，並觀察可得出以下兩點 方程根 不相等 的個數就是函式圖象與軸交點的個數 方程的實數...