方程的根與函式零點習題（含答案）
一、單選題
1．已知函式與，則函式在區間上所有零點的和為
a． b． c． d．
2．已知函式，若函式恰好有兩個零點，則實數等於（為自然對數的底數）（ ）
a． b． c． d．
3．已知定義在上的函式，若有兩個零點，則實數的取值範圍是（）
a． b． c． d．
4．已知點是曲線上任意一點，記直線（為座標系原點）的斜率為，則（ ）
a．至少存在兩個點使得 b．對於任意點都有
c．對於任意點都有 d．存在點使得
5．設函式若互不相等的實數滿足則的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
6．定義函式，若存在實數使得方程無實數根，則實數的取值範圍是（）
a． b． c． d．
7．已知偶函式滿足，且當時，，關於的不等式在區間上有且只有個整數解，則實數的取值範圍是（）
a． b． c． d．
8．已知函式函式，其中，若函式恰有4個零點，則的取值範圍是（）
a． b． c． d．
9．已知函式，，，且，若，則實數，，的大小關係是（）
a． b． c． d．
二、填空題
10．已知等邊的邊長為2，點**段上，若滿足的點恰有兩個，則實數的取值範圍是
11．若關於的方程有四個不同的實數解,則實數的取值範圍是
12．已知若有兩個零點，則實數的取值範圍是______.
13．已知，函式，．若關於的方程有個解，則的取值範圍為
14．已知函式,有三個不同的零點，則實數的取值範圍是_____．
15．已知函式，定義函式，若函式無零點，則實數k的取值範圍為______．
16．設函式，若方程恰好有個零點，則實數的取值範圍為
17．已知函式的圖象與軸恰有2個不同的交點，則實數的取值範圍是_______．
18．已知函式則函式的零點個數為______．
三、解答題
19．已知函式，當時，的最大值為，最小值為.
（1）若角的終邊經過點，求的值；
（2）設，在上有兩個不同的零點，求的取值範圍.
20．已知命題：在上有解，命題：函式的定義域為.
（1）若是真命題，求實數的取值範圍；
（2）若是假命題，求實數的取值範圍.
21．已知函式，都在處取得最小值.
（1）求的值；
（2）設函式，的極值點之和落在區間，，求的值.
22．已知函式，其中常數.
（1）若在上單調遞增，求的取值範圍；
（2）令，將函式的圖象向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到函式的圖象，區間（且），滿足：在上至少含有30個零點，在所有滿足上述條件的中，求的最小值.
23．已知函式
（1）當時，求函式的單調區間；
（2）若方程在區間(0,+)上有實數解，求實數a的取值範圍；
（3）若存在實數，且，使得，求證：．
24．若存在不為零的常數，使得函式對定義域內的任一均有，則稱函式為週期函式，其中常數就是函式的乙個週期.
（1）證明：若存在不為零的常數使得函式對定義域內的任一均有，則此函式是週期函式.
（2）若定義在上的奇函式滿足，試**此函式在區間
內零點的最少個數.
25．已知函式.
(1)若,且函式有零點,求實數的取值範圍；
(2)當時,解關於的不等式；
(3)若正數滿足,且對於任意的, 恆成立, 求實數的值.
26．已知函式．
（1）當時，求證：函式是偶函式；
（2）若對任意的，都有，求實數的取值範圍；
（3）若函式有且僅有個零點，求實數的取值範圍．
27．「活水圍網」養魚技術具有養殖密度高、經濟效益好的特點．研究表明：「活水圍網」養魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養殖密度x(單位：
尾/立方公尺)的函式．當x不超過4尾/立方公尺時，v的值為2千克/年；當4(1)當0(2)當養殖密度x為多大時，魚的年生長量(單位：千克/立方公尺)可以達到最大？並求出最大值．
參***
1．d【解析】
【分析】
在區間上所有零點的和，等價於函式的圖象交點橫座標的和，畫出函式的圖象，根據函式的圖象關於點對稱可得結果.
【詳解】
在區間上所有零點的和，
等價於函式的圖象交點橫座標的和，
畫出函式的圖象，
函式的圖象關於點對稱，則共有8個零點，
其和為16. 故選d.
【點睛】
函式的性質問題以及函式零點問題是高考的高頻考點，考生需要對初高中階段學習的十幾種初等函式的單調性、奇偶性、週期性以及對稱性非常熟悉；另外，函式零點的幾種等價形式：函式的零點函式在軸的交點方程的根函式與的交點.
2．c【解析】試題分析：根據分段函式的解析式畫出函式影象，得到函式的單調性，由影象知道函式和函式第一段相切即可，進而轉化為方程的解得問題, 根據導數的幾何意義得到,解出方程即可.
詳解：根據分段函式的表示式畫出函式影象得到函式是單調遞增的，由影象知道函式和函式第一段相切即可，設切點為（x,y）則根據導數的幾何意義得到解得，k=e.
故答案為：c.
點睛:這個題目考查了導數的幾何意義，本題中還涉及根據函式零點求引數取值，是高考經常涉及的重點問題，（1）利用零點存在的判定定理構建不等式求解；（2）分離引數後轉化為函式的值域（最值）問題求解，如果涉及由幾個零點時，還需考慮函式的圖象與引數的交點個數；（3）轉化為兩熟悉的函式圖象的上、下關係問題，從而構建不等式求解.
3．d【解析】分析：由有兩個零點，即方程在上有兩個不同的實數解，即函式和的圖象在上有兩個不同的交點，利用導數求得單調性與最值，即可求解實數的取值範圍．
詳解：由題意定義在上的函式，
又由有兩個零點，
即方程在上有兩個不同的實數解，
即函式和的圖象在上有兩個不同的交點，
又由，所以當時，，所以單調遞減，
當時，，所以單調遞增，
所以的最小值為，
又由，所以實數的取值範圍是，故選d．
點睛：利用導數研究函式的零點問題和方程的有解問題，通常轉化為圖象的交點，利用建構函式，利用導數研究函式的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出引數的取值範圍；也可分離變數，建構函式，直接把問題轉化為函式的最值問題．
4．c【解析】
【分析】
利用排除法，對給出的四個選項分別進行分析可得出正確的結論．
【詳解】
設點的座標為，則．
對於d，當時，一方面，另一方面容易證成立，
所以，因為與中兩個等號成立條件不一樣，所以恆成立，所以，因此d不成立．
對於b，當時，，所以，所以b不成立．
對於a，至少存在兩個點使得，也就是至少存在兩解，
即至少存在兩解，恆成立，
所以至多存在一解，所以a不成立．
綜合以上分析可得選項c正確．
故選c．
【點睛】
本題難度較大，考查內容較多，解題時要抓住的幾何特徵，通過對曲線上點的座標的分析，得到的大小關係，進而得到的取值範圍．同時在解題中還應注意不等式放縮、導數與單調性的運用，逐步達到解題的目的．
5．b【解析】
【分析】
設，畫出函式的影象，由影象可得且，故，所以.
【詳解】
不妨設，的影象如圖所示，
令，則，故或且，
所以（舎）或即且，
故，故選b.
【點睛】
本題考察方程的解（有三個不同的解）.這類問題可以根據函式的影象與動直線的關係得到不同交點的橫座標的關係式或範圍，進而簡化目標代數式並求其範圍.
6．c【解析】分析：存在實數使得方程無實數根，等價於值域不為，結合分段函式的解析式，利用排除法可得結果.
詳解：存在實數使得方程無實數根，等價於值域不為，
當時，時，，時，，值域為，不合題意，排除；
當時，時，，時，，值域為，不合題意，排除；
當時，時，，時，，值域不為，合題意，排除，故選c.
點睛：本題考查分段函式的解析式和性質，以及排除法的應用，屬於難題.用特例代替題設所給的一般性條件，得出特殊結論，然後對各個選項進行檢驗，從而做出正確的判斷，這種方法叫做特殊法.
若結果為定值，則可採用此法. 特殊法是「小題小做」的重要策略，排除法解答選擇題是高中數學一種常見的解題思路和方法，這種方法即可以提高做題速度和效率，又能提高準確性.
7．d【解析】分析：根據的週期和對稱性得出不等式在上有正整數解的個數為，利用導數研究函式的單調性，計算的值，結合函式圖象列不等式，即可得出的範圍.
詳解：偶函式滿足 ，
，的週期為，且的圖象關於直線對稱，
由於上含有個週期，
且在每個週期內都是對稱軸圖形，
關於的不等式在上有個正整數解，
當時，，
中上單調遞增，在上單調遞減，，
當時，，
當時，在上有個正整數，不符合題意，，由可得或，
顯然在上無正整數解，
故而在上有個正整數，分別為，，
，故選d.
點睛：轉化與劃歸思想解決高中數學問題的一種重要思想方法，是中學數學四種重要的數學思想之一，尤其在解決知識點較多以及知識跨度較大的問題發揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關鍵是將題設條件研究透，這樣才能快速找準突破點.
以便將問題轉化為我們所熟悉的知識領域，進而順利解答，希望同學們能夠熟練掌握並應用於解題當中，本題中，先將上有且只有個整數解，轉化為關於的不等式在上有個正整數解，再轉化為利用函式研究函式的單調性，從而得到結論.
8．d【解析】試題分析：函式恰有4個零點，即方程，即有4個不同的實數根，即直線與函式的影象有四個不同的交點．又做出該函式的影象如圖所示，由圖得，當時，直線與函式的影象有4個不同的交點，故函式恰有4個零點時，b的取值範圍是故選d．
考點：1、分段函式；2、函式的零點．
【方法點晴】本題主要考查的是分段函式和函式的零點，屬於難題．已知函式的零點個數，一般利用數形結合思想轉化為兩個函式的影象的交點個數問題，作圖時一定要保證圖形準確，否則很容易出現錯誤．
9．c【解析】
【分析】
是圖象交點橫座標；是圖象交點橫座標；是圖象交點橫座標，作出圖象，利用數形結合可得結果.
【詳解】
同一座標系內，分別作出函式
的圖象，
如圖，可得是圖象交點橫座標；
是圖象交點橫座標；
是圖象交點橫座標；
即分別是圖中點的橫座標，
由圖象可得，
，故選c.
【點睛】
函式的性質問題以及函式零點問題是高考的高頻考點，考生需要對初高中階段學習的十幾種初等函式的單調性、奇偶性、週期性以及對稱性非常熟悉；另外，函式零點的幾種等價形式：函式有零點函式在軸有交點方程有根函式與有交點.
方程的根與函式的零點
方程的根與函式的零點 導學案 班級小組姓名評價 學習目標 1 知識與技能 通過二次函式的影象與x軸的交點的個數判斷一元二次方程的根的個數，了解函式零點的概念，領會方程的根與函式零點之間的關係，掌握函式零點存在性判定定理，能結合影象求解零點問題 2 過程與方法 運用 由特殊到一般 的認識規律 3 情感...
方程的根與函式的零點
課題 方程的根與函式的零點 課型 新授課 複習引入，創設情境 我們學習了一元二次方程和二次函式，那麼方程的根與其對應的函式的圖象它們又有怎樣的關係呢？新知 1 函式零點的 1 請同學完成下面的 讓學生檢查是否畫正確了，並觀察可得出以下兩點 方程根 不相等 的個數就是函式圖象與軸交點的個數 方程的實數...
「方程的根與函式的零點」教學反思
白濤方程的根與函式的零點是高中課程標準新增的內容，表面上看，這一內容的教學並不困難，但要讓學生能夠真正理解，教學還需要妥善處理其中的一些問題。最近，在浙江紹興聽了這一內容的兩堂新授課，使用教材都是人民教育出版社 普通高中課程標準試驗教科書 數學1 必修 課後又與部分學生進行了交流。總的來說，教學效果...