白濤方程的根與函式的零點是高中課程標準新增的內容，表面上看，這一內容的教學並不困難，但要讓學生能夠真正理解，教學還需要妥善處理其中的一些問題。最近，在浙江紹興聽了這一內容的兩堂新授課，使用教材都是人民教育出版社《普通高中課程標準試驗教科書·數學1（必修）》，課後又與部分學生進行了交流。總的來說，教學效果都不甚理想，暴露出了一些共同的問題，看來具有一定的代表性。
下面就兩堂課共同存在的問題，談一點看法。
一、首先要讓學生認識到學習函式的零點的必要性
教材是利用一元二次方程的例子來引入函式的零點。這樣處理，主要是想讓學生在原有二次函式的認知基礎上，使其知識得到自然的發生發展。理解了像二次函式這樣簡單的函式的零點，再來理解其他複雜的函式的零點就會容易一些。
但在教學時，就不能照本宣科。
這兩堂課的教學都和教材一樣，也是利用乙個一元二次方程來引入，圍繞怎樣判斷所給方程是否有實根來提出問題。並且，兩位教師都利用了教材中的方程提出了下列問題：
方程x2－2x－3＝0是否有實根？你是怎樣判斷的？
結果，學生的反應都很平淡，大多數人對這個問題都不感興趣。課後學生認為，大家對如何解一元二次方程早就熟練了，老師沒必要再問那麼簡單的問題了。由此看來，這堂課一開始就應該讓學生認識到學習函式的零點的必要性。
教師所選擇的例子，最好是學生用已學方法不能求解的方程，這樣才能激發學生的學習積極性，並讓其認識到學習函式的零點的必要性。例如，可以把教材後面的例子先提出來，讓學生思考：
方程lnx＋2x－6＝0是否有實根？為什麼？
在學生對上述問題一籌莫展時，再回到一元二次方程上，引導學生利用函式的圖象和性質來研究方程的根。這堂課的頭開好了，整堂課就活了。
二、一元二次方程根的存在是否由其判別式決定
當教師問到一元二次方程x2－2x－3＝0是否有實根時，兩個班的學生很快就用根的判別式作出了判斷，沒有一位學生用方程相應的函式圖象進行分析。於是，教師又引導學生作出一元二次方程相應的函式的圖象，並建立方程的根與函式圖象和x軸交點的聯絡。值得注意的是，在上述活動中，學生認為，因為一元二次方程根的判別式的大小有三種情況，所以一元二次方程相應的函式圖象和x軸的交點就有三種情況。
教師不僅對此預設，還在研究了一元二次方程與其函式圖象的關係後總結到，雖然我們可以用判別式來判斷一元二次方程根的存在，但對於沒有判別式的其他方程就可以根據相應的函式圖象來判斷了。
看來，師生們對一元二次方程根存在的本質原因都不清楚，都誤以為是其判別式的大小。如果通過建立一元二次方程與其相應函式圖象的關係，沒有揭露出方程根存在的本質原因是相應函式的零點的存在，那麼就會導致學生對引入函式零點的必要性缺乏深刻的認識，以為結合函式圖象並利用f(a)?f(b)的值與0的關係判斷方程根的存在只是其中的一種方法或技巧，而認識不到其一般性和本質性。
所以，教學在研究一元二次方程與其相應函式圖象的關係時，關鍵要以函式圖象為紐帶，建立一元二次方程的根與相應函式零點之間的關係，讓學生理解方程根存在的本質以及判斷方程根存在的一般方法。這樣，才能將所得到的判斷方程根存在的方法推廣到一般情況，並使學生對方程根存在的認識不僅僅停留在判別式或函式圖象上。
三、根據圖象能否判斷函式是否有零點以及零點的個數
儘管兩堂課教師都談到，要判斷函式f(x)在（a，b）內是否有零點（教材對於函式f(x)在（a，b）內有零點，只研究函式f(x)的圖象穿過x軸的情況），應該先觀察函式f(x)的圖象在（a，b）內是否與x軸有交點，再證明是否有f(a)?f(b)<0。但是，教學卻沒有對證明的必要性展開討論。
結果，從課後了解到，學生都以為只要觀察到圖象與x軸是否有交點，就可以判斷函式f(x)在（a，b）內是否有零點，至於證明只是數學上的嚴格要求而已。同樣，兩堂課在研究函式f(x)在（a，b）內有幾個零點時，教師也是這樣告訴學生，應該先觀察函式f(x)的圖象在（a，b）內有幾個交點，再進行證明，依然沒有說明證明的必要性。所以，在課後向學生提出如何判斷函式f(x)在（a，b）內有幾個零點時，就有學生認為，只需看函式f(x)的圖象在（a，b）內有幾個交點即可。
看來，教師有必要引導學生認識證明的必要性。例如，我們可以作出一些特殊函式在不同區間範圍的圖象，讓學生通過觀察對比得到認識。
如圖1，是計算機所作的某個函式的圖象。可以讓學生根據圖象思考，該函式是否有零點？
在學生作出判斷後，再逐步將原點附近的圖象放大，得到該函式在其他較小區間範圍的多個圖象（圖2（1）、（2））。然後再問學生，該函式究竟有沒有零點？
如圖3，是計算機所作的又乙個函式的圖象。可以讓學生根據圖象思考，該函式有幾個零點？
在學生作出判斷後，再逐步將原點附近的圖象放大，得到該函式在其他較小區間範圍的多個圖象（圖4（1）、（2））。此時再問學生，該函式究竟有幾個零點？
結合上述例子，要讓學生知道，我們所作的函式圖象只能反映函式乙個區域性的情況，如果根據乙個圖象就作出判斷可能就會片面。這樣，學生自然就會認識到證明的必要性了。
四、教學要把握內容結構，突出思想方法
教師首先要通過把握教材內容結構來設計教學框架，然後根據教學框架來考慮需要突出的思想方法。本節課可以按照下列主線來展開教學：
兩位教師對教材內容結構的把握還不到位，課堂教學比較凌亂，對上述三塊內容所蘊含的思想方法也沒能抓住，主要表現在以下幾個方面。
（一）如何引導學生將複雜的問題簡單化，並學會從已有認知結構出發由特殊到一般地思考問題
教材設定函式的零點這一內容的目的，就是為了體現函式的應用，為用二分法求方程的近似解奠定基礎。所以，教學一開始就應該從學生用已學方法不能求解的方程出發展開討論，然後引導學生體會其中的思想方法。例如，可以像前面一樣先提出：
方程lnx＋2x－6＝0是否有實根？為什麼？當學生陷入困境時，教師再逐步提出下面的問題進行引導：
1．當遇到乙個複雜的問題，我們一般應該怎麼辦？
以此來引導學生將複雜的問題簡單化，尋找類似的簡單問題的解決方法。
2．以前我們如何判斷乙個方程是否有實根，這對研究這個方程是否有幫助？
以此來引導學生從已有認知結構出發，將解決簡單方程的方法遷移到不能求解的方程中去，學會從特殊到一般的思維方法。
3．除了用判別式可以判斷一元二次方程根的情況，還有其他的方法嗎？
以此來引導學生建立方程與函式的聯絡，滲透函式與方程的思想方法，並培養其從不同角度思考問題的習慣。
遺憾的是，兩位老師都是直接從一元二次方程出發展開討論，學生就錯過了上述這些思想方法的訓練。
（二）怎樣突出數形結合的思想方法
數形結合的思想方法幾乎貫穿於「基本初等函式i」一章的始終，學生通過前面的學習，已基本形成數形結合的思想方法，所以本節教學應該以培養學生主動運用數形結合的思想方法去分析問題為目的。但是，在兩堂課中，教師卻沒有留給學生主動運用數形結合思想方法的空間。
在建立方程的根與函式的零點的關係時，函式圖象起到了關鍵的橋梁作用，充分體現了它與方程的根以及函式零點之間的數形結合的關係。但是，兩位教師卻沒有留給學生足夠的時間去主動搭建函式圖象這一橋梁，而是由教師作出函式圖象，讓學生回答方程的根與函式圖象和x軸的交點有何關係，然後老師再給出方程的根、函式圖象和x軸的交點、函式的零點之間的關係。這樣的教學，雖然一定程度上也能體現數形結合的思想方法，但體現的思想層次卻很低。
在這種能夠體現思想方法的關鍵地方，教師要捨得花時間，要讓學生由方程自覺地聯想到相應的函式，主動地建立方程的根與函式圖象間的關係，提公升數形結合思想方法的層次，增強函式應用的意識。
（三）如何從直觀到抽象
教材是通過由直觀到抽象的過程，才得到判斷函式f(x)在（a，b）內有零點的一種條件。如何讓學生從直觀自然地到抽象，有下面幾個教學難點需要處理：
1．如何引導學生用f(a)?f(b)<0來說明函式f(x)在（a，b）內有零點
教材是先從函式圖象出發，讓學生通過觀察函式f(x)的圖象在（a，b）內是否與x軸有交點，來認識函式f(x)在（a，b）內是否有零點。這是乙個直觀認識的過程，對學生來說並不困難。然後再讓學生認識，f(a)?
f(b)<0則函式f(x)的圖象在（a，b）內與x軸有交點。不過，這卻是乙個由直觀到抽象的飛躍，對學生來說是有困難的。教學的關鍵在於，如何引導學生由函式f(x)的圖象穿過x軸在（a，b）的部分，聯想到f(a)?
f(b)<0。為此，我們不妨可以通過下列問題來啟發學生：
（1）我們看到，當函式f(x)的圖象穿過x軸時，函式f(x)的圖象就與x軸產生了交點。如果不作出函式f(x)的圖象，你又如何判斷函式f(x)的圖象與x軸有交點？
（2）函式f(x)的圖象穿過x軸這是幾何現象，那麼如何用代數形式來描述呢？
（3）函式f(x)的圖象穿過x軸其實就是穿過與x軸的交點周圍的部分，比如（a，b）。在區間（a，b）內，如何用代數形式來描述呢？
（4）如果函式f(x)的圖象與x軸的交點為（c，0），那麼函式f(x)分別在區間（a，c）和區間（c，b）上的值各有什麼特點？這對我們用代數形式進行描述有何幫助？
2．如何引導學生判斷函式f(x)在（a，b）內的零點個數
要判斷函式f(x)在（a，b）內的零點個數，可先觀察函式f(x)的圖象在（a，b）內與x軸有幾個交點，再進行證明。這同樣是乙個從直觀到抽象的過程，教學需要處理好下列兩個問題：
（1）如何引導學生說明函式在某個區間內只有乙個零點
當觀察到函式f(x)的圖象在（a，b）內與x軸的交點個數後，可以在（a，b）內分別選取每個交點周圍的乙個區間，然後說明函式分別在各個區間只有乙個零點。這樣，就將判斷函式f(x)在（a，b）內的零點個數轉化為判斷函式在各個區間內分別只有乙個零點。由於f(a)?
f(b)<0只能說明函式f(x)在（a，b）內有零點，而不能說明f(x)在（a，b）內有幾個零點，這就要求函式在每個交點周圍所選取的區間上的圖象在直觀上要單調，並且要證明函式f(x)在該區間上單調。但教學的難點正在於此，如何引導學生利用函式的單調性來說明函式在某個區間內只有乙個零點？我們可以設計下列教學環節來幫助學生認識：
① 可以先給出一些只有乙個零點的函式圖象（圖5）；
②讓學生通過觀察這些圖象，歸納出這些函式具有的共同性質；
③當學生發現這些函式分別在交點周圍的乙個區間上都單調後，再讓學生思考，為什麼函式在某個區間上單調則函式在該區間內就只有乙個零點？
方程的根與函式的零點教學反思
3.1.1 方程的根與函式的零點 教學反思 朱河中學李丹 方程的根與函式的零點 是高中課程標準新增的內容，教材用了三個版面 人民教育出版社 普通高中課程標準試驗教科書 數學1 必修 a版 p.86 87 介紹本課。從表面上看，這一內容的教學並不困難，但要讓學生真正理解，在教學設計和難點突破上需要下足...
方程的根與函式零點
方程的根與函式零點習題 含答案 一 單選題 1 已知函式與，則函式在區間上所有零點的和為 a b c d 2 已知函式，若函式恰好有兩個零點，則實數等於 為自然對數的底數 a b c d 3 已知定義在上的函式，若有兩個零點，則實數的取值範圍是 a b c d 4 已知點是曲線上任意一點，記直線 為...
方程的根與函式的零點
方程的根與函式的零點 導學案 班級小組姓名評價 學習目標 1 知識與技能 通過二次函式的影象與x軸的交點的個數判斷一元二次方程的根的個數，了解函式零點的概念，領會方程的根與函式零點之間的關係，掌握函式零點存在性判定定理，能結合影象求解零點問題 2 過程與方法 運用 由特殊到一般 的認識規律 3 情感...