課題：3.1.1方程的根與函式的零點
教材： 普通高中課程標準實驗教科書數學必修1
（人民教育出版社a版）第三章函式的應用
一、教學目標
二、教學重點與難點
三、教學的方法與手段
四、教學過程
【環節一：揭示意義，明確目標】揭示本章意義，指明課節目標
教師活動：用螢幕顯示第三章函式的應用
3.1.1方程的根與函式的零點
教師活動：這節課我們來學習第三章函式的應用。通過第二章的學習，我們已經認識了指數函式、對數函式、冪函式、分段函式等函式的圖象和性質，而這一章我們就要運用函式思想，建立函式模型，去解決現實生活中的一些簡單問題。
為此，我們還要做一些基本的知識儲備。方程的根，我們在初中已經學習過了，而我們在初中研究的「方程的根」只是側重「數」的一面來研究，那麼，我們這節課就主要從「形」的角度去研究「方程的根與函式零點的關係」。
教師活動：板書標題（方程的根與函式的零點）。
【環節二：巧設疑雲，輕鬆滲透】設定問題情境，滲透數學思想
教師活動：請同學們思考這個問題。用螢幕顯示判斷下列方程是否有實根，有幾個實根？
（1）；（2）.
學生活動：回答，思考解法。
教師活動：第二個方程我們不會解怎麼辦？你是如何思考的？
有什麼想法？我們可以考慮將複雜問題簡單化，將未知問題已知化，通過對第乙個問題的研究，進而來解決第二個問題。對於第乙個問題大家都習慣性地用代數的方法去解決，我們應該打破思維定勢，走出自己給自己畫定的牢籠！
這樣我們先把所依賴的拐杖丟掉，假如第乙個方程你不會解，也不會應用判別式，你要怎樣判斷其實根個數呢？
學生活動：思考作答。
教師活動：用螢幕顯示函式的圖象。
學生活動：觀察影象，思考作答。
教師活動：我們來認真地對比一下。用螢幕顯示**，讓學生填寫的實數根和函式圖象與x軸的交點。
學生活動：得到方程的實數根應該是函式圖象與x軸交點的橫座標的結論。
教師活動：我們就把使方程成立的實數x稱做函式的零點．
【環節三：形成概念，昇華認知】引入零點定義，確認等價關係
教師活動：這是我們本節課的第乙個知識點。板書（一、函式零點的定義：對於函式y=f(x),使方程f(x)=0的實數x叫做函式y=f(x)的零點）。
教師活動：我可不可以這樣認為，零點就是使函式值為0的點？
學生活動：對比定義，思考作答。
教師活動：結合函式零點的定義和我們剛才的**過程，你認為方程的根與函式的零點究竟是什麼關係？
學生活動：思考作答。
教師活動：這是我們本節課的第二個知識點。板書（方程的根與函式零點的等價關係）。
教師活動：檢驗一下看大家是否真正理解了這種關係。如果已知函式y=f(x)有零點，你怎樣理解它？
學生活動：思考作答。
教師活動：對於函式y=f(x)有零點，從「數」的角度理解，就是方程f(x)=0有實根，從「形」的角度理解，就是圖象與x軸有交點。從我們剛才的**過程中，我們知道，方程f(x)=0有實根和圖象與x軸有交點也是等價的關係。
所以函式零點實際上是方程f(x)=0有實根和圖象與x軸有交點的乙個統一體。
在螢幕上顯示：函式y=f(x)有零點
方程f(x)=0有實數根函式y=f(x)的圖象與x軸有交點
教師活動：下面就檢驗一下大家的實際應用能力。
【環節四：應用思想，小試牛刀】數學思想應用，基礎知識強化
教師活動：用螢幕顯示求下列函式的零點.
學生活動：由四位同學分別回答他們確定零點的方法。畫圖象時要求用語言描述4個圖象的畫法；
教師活動：根據學生的描述，在黑板上作出圖象（在接下來**零點存在性定理時，圖象會成為同學們思考問題的很好的參考）。
教師活動：我們已經學習了函式零點的定義，還學習了方程的根與函式零點的等價關係，在這些知識的**發現中，我們也有了一些收穫，那我們回過頭來看看能不能解決的根的存在性問題？
學生活動：可受到化歸思想的啟發應用數形結合進行求解。
教師活動：用螢幕顯示學生所論述的解題過程。這種解法充分運用了我們前面的解題思想，將未知問題轉化成已知問題，將乙個圖象不會畫的函式轉化成了兩個圖象都會畫的函式，利用兩個函式圖象的交點解決實根存在性問題。
看來我們的**過程是非常有價值的。
教師活動：如果不轉化，這個問題就真的解決不了麼？現在最棘手的問題是y=的圖象不會畫，那我們能不能不畫圖象就判斷出零點的存在呢？
【環節五：**新知，思形想數】**圖象本質，數形轉化解疑
教師活動：我們看到，當函式圖象穿過x軸時，圖象就與x軸產生了交點，圖象穿過x軸這是一種幾何現象，那麼如何用代數形式來描述呢？用螢幕顯示的函式圖象，多次**拋物線穿過x軸的畫面。
學生活動：通過觀察圖象，得出函式零點的左右兩側函式值異號的結論.
教師活動：好！我們明確一下這個結論，函式y=f(x)具備什麼條件時，能在區間（a,b）上存在零點？
學生活動：得出f(a)·f(b)<0的結論。
教師活動：若f(a)·f(b)<0,函式y＝f(x)在區間(a,b)上就存在零點嗎？
學生活動：可從黑板上的圖象中受到啟發，得出只有在[a,b]上連續不斷的函式，在滿足f(a)·f(b)<0的條件時，才會存在零點的結論。
【環節六：歸納定理，深刻理解】初識定理表象，深入理解實質
教師活動：其實同學們無形之中已經說出了我們數學中的乙個重要定理，那就是零點存在性定理。這是我們本節課的第三個知識點。板書（三、零點存在性定理）。
教師活動：用螢幕顯示函式零點存在性定理：
如果函式y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，並且有f(a) ·f(b)<0，那麼，函式y=f(x)在區間(a,b) 內有零點．
即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根．
教師活動：這個定理比較長，找個同學給大家讀一下，讓大家更好地體會定理的內容。
學生活動：讀出定理。
教師活動：大家注意到了麼，定理中，開始時是在閉區間[a,b]上連續，結果推出時卻是在開區間（a,b）上存在零點。你怎樣理解這種差異？
學生活動：思考作答。
教師活動：雖然我們已經得到了零點存在性定理，但同學們真的那麼坦然麼？結合黑板上的圖象，再結合定理的敘述形式，你對定理的內容可有疑問？
學生活動：通過觀察黑板上的板書圖象，大致說出以下問題：
1.若函式y=f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在區間(a,b)內會是只有乙個零點麼?
2.若函式y=f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)·f(b)>0，則f(x)在區間(a,b)內就一定沒有零點麼？
3.在什麼條件下，函式y＝f(x)在區間(a,b)上可存在唯一零點？
教師活動：那我們就來解決一下這些問題。
學生活動：通過黑板上的圖象舉出反例，得出結論。
1.若函式y=f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)·f(b)<0，則只能確定f(x)在區間(a,b)內有零點，有幾個不一定。
2.若函式y=f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)·f(b)>0，則f(x)在區間(a,b)內也可能有零點。
3.在零點存在性定理的條件下，如果函式再具有單調性,函式y＝f(x)在區間(a,b)上可存在唯一零點。
【環節七：應用所學，答疑解惑】把握理論實質，解決初始問題
教師活動：現在我們不用畫出圖象也能判斷函式零點是否存在，存在幾個了。那解決的根的存在性問題應該是游刃有餘了。
用螢幕顯示判斷下列方程是否有實根，有幾個實根？（2）
學生活動：通過對零點存在性的**和理解，表述該問題的解法。
【環節八：歸納總結，梳理提公升】總結基礎知識，提公升解題意識
教師活動：本節課的知識點已經在黑板上呈現出來了，但最重要的，也是貫穿本節課始終，起到靈魂作用的卻是三大數學思想，即化歸與轉化的數學思想,數形結合的數學思想,函式與方程的數學思想.數學思想才是數學的靈魂所在，也是數學的魅力所在，對我們解決問題起著絕對的指導作用。
願我們每個同學在今後的學習中體味、感悟、應用、昇華！
【環節九：理論內化，鞏固昇華】整理思想方法，靈活應用解題
1.函式f(x)=x(x2-16)的零點為( )
ａ. (0,0),(4,00,44,0),(0,0),(4,0) ｄ.–4,0,4
2.已知函式f(x)是定義域為ｒ的奇函式，且f(x)在上有乙個零點，則f(x)的零點個數為( )
不確定3.已知函式f(x)的圖象是連續不斷的，有如下對應值表：
那麼函式在區間[1，6]上的零點至少有（ ）個
a.5個 b.4個 c.3個 d.2個
4.函式f(x)= – x3 – 3x + 5的零點所在的大致區間為（ ）
a.( – 2 ，0) b. (1，2) c. (0，1) d. (0，0.5)
【環節十：布置作業，舉一反三】延伸課堂思維，增強應用意識
①有2個零點;②3個零點;③4個零點.
五、板書設計
方程的根與函式零點
方程的根與函式零點習題 含答案 一 單選題 1 已知函式與，則函式在區間上所有零點的和為 a b c d 2 已知函式，若函式恰好有兩個零點，則實數等於 為自然對數的底數 a b c d 3 已知定義在上的函式，若有兩個零點，則實數的取值範圍是 a b c d 4 已知點是曲線上任意一點，記直線 為...
方程的根與函式的零點
方程的根與函式的零點 導學案 班級小組姓名評價 學習目標 1 知識與技能 通過二次函式的影象與x軸的交點的個數判斷一元二次方程的根的個數，了解函式零點的概念，領會方程的根與函式零點之間的關係，掌握函式零點存在性判定定理，能結合影象求解零點問題 2 過程與方法 運用 由特殊到一般 的認識規律 3 情感...
方程的根與函式的零點
課題 方程的根與函式的零點 課型 新授課 複習引入，創設情境 我們學習了一元二次方程和二次函式，那麼方程的根與其對應的函式的圖象它們又有怎樣的關係呢？新知 1 函式零點的 1 請同學完成下面的 讓學生檢查是否畫正確了，並觀察可得出以下兩點 方程根 不相等 的個數就是函式圖象與軸交點的個數 方程的實數...