3.3.3《簡單的線性規劃問題(1)》教學案
教學目標：
1．讓學生了解線性規劃的意義，以及線性約束條件、線性目標函式、可行解、可行域、最優解等概念．
2．讓學生掌握線性規劃的**法，並會用**法求線性目標函式的最大值與最小值．
教學重點：
用**法求線性規劃問題的最優解．
教學難點：
對用**法求解簡單線性規劃問題的最優解這一方法的理解和掌握．
教學方法：
1．在學生的獨立**和師生的雙邊活動中完成簡單的線性規劃的數學理論的構建，在實踐中掌握求解簡單的線性規劃問題的方法——**法．
2．滲透數形結合的思想，培養分析問題、解決問題的能力．
教學過程：
一、問題情境
1．情境：我們先考察生產中遇到的乙個問題：(投影)
某工廠生產甲、乙兩種產品，生產1t甲種產品需要a種原料4t、b種原料12t，產生的利潤為2萬元；生產1t乙種產品需要a種原料1t、b種原料9t，產生的利潤為1萬元．現有庫存a種原料10t，b種原料60t，問如何安排才能使利潤最大？
為理解題意，可以將已知資料整理成下表：(投影)
設計畫生產甲、乙兩種產品的噸數分別為x、y，根據題意，a、b兩種原料分別不得超過10t和60t，即，即．
這是乙個二元一次不等式組，此外，產量不可能是負數，所以 ③
於是上述問題轉化為如下的乙個數學問題：在約束條件④下，求出x，y，使利潤(萬元)達到最大．
2．問題：上述問題如何解決？
二、學生活動
①讓學生**解決這個問題分幾個步驟；
②讓學生分組討論：如何在不等式組確定的區域中找到取得最大值的數對(x，y)；
③由學生整理解決這個問題的思路．
(投影)首先，作出約束條件所表示的區域．其次，考慮的幾何意義，將變形為，它表示斜率為－2，在y軸上截距為p的一條直線．平移直線，當它經過兩直線與的交點a(1.25，5)時，直線在y軸上的截距p最大．
因此，當時，取得最大值，即甲、乙兩種產品分別生產1.25t和5t時，可獲得最大利潤7.5萬元．
三、數學建構(投影)
1．目標函式，線性目標函式線性規劃問題，可行解，可行域，最優解．
諸如上述問題中，不等式組是一組對變數x，y的約束條件，由於這組約束條件都是關於x，y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件．是欲達到最大值或最小值所涉及的變數x，y的解析式，我們把它稱為目標函式．由於又是關於x，y的一次解析式，所以又可叫做線性目標函式．
另外注意：線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．
一般地，求線性目標函式**性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題．例如：我們剛才研究的就是求線性目標函式**性約束條件下的最大值和最小值的問題，即為線性規劃問題．
那麼，滿足線性約束條件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域．在問題中，可行域就是陰影部分表示的區域．其中可行解(一般是區域的頂點)分別使目標函式取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優解．
2．用**法解決簡單的線性規劃問題的基本步驟：
(1)列出線性約束條件及寫出目標函式；
(2)畫出線性約束條件所表示的平面區域；
(3)通過平面區域求出滿足線性條件下的可行解；
(4)用圖形的直觀性求最值；
(5)檢驗由(4)求出的解是否為最優解或符合問題的實際意義．
3．應用線性規劃的**方法，一般必須具備下列條件：
(1)能夠將目標函式表示為最大化或最小化的要求；
(2)要有不同選擇的可能性存在，即所有可行解不止乙個；
(3)所求的目標函式是受條件約束的；
(4)約束條件應明確地表示為線性不等式或等式；
(5)約束條件中所涉及的變數不超過3個．
四、數**用
例1 若已知滿足求的最大值和最小值．
解約束條件，是關於的乙個二元一次不等式組；
目標函式：是關於的乙個二元一次函式；
可行域：是指由直線和所圍成的乙個三角形區域(包括邊界) (如圖)；
可行解所有滿足［即三角形區域內(包括邊界)的點的座標的實數都是可行解；
最優解 ，即可行域內一點，使得一組平行線為引數)中的z取得最大值和最小值時，所對應的點的座標就是線性規劃的最優解．當直線，即過三角形區域，且縱截距取最值時，z有最值，即目標函式z有最值．由圖知，當l過b(1，1)點和a(5，2)時，z有最小值和最大值．，．
例2 已知滿足不等式組求使取最大值的整數的值．
解不等式組的解集為三直線：
所圍成的三角形內部(不含邊界)，設與，與，與交點分別為a，b，c，則a，b，c座標分別為．
作一組平行線平行於，
當l往l0右上方移動時，t隨之增大，
∴當l過c點時最大為，但不是整數解．
又由知x可取1，2，3，
當x＝1時，代入原不等式組得y＝－2，∴ x＋y＝－1；
當x＝2時，得y＝0或－1， x＋y＝2或1；
當x＝3時，y＝－1， x＋y＝2．
故x＋y的最大整數解為或．
練習：設，式中x，y滿足條件求z的最大值或最小值．
五、回顧反思
本節課的主要內容為：
1．目標函式，線性目標函式線性規劃問題、可行解、可行域、最優解；
2．用**法解決簡單的線性規劃問題的基本步驟；
3．應用線性規劃的**方法，必須具備的條件．
《3 3 3簡單的線性規劃問題》教學案
3 3.3 簡單的線性規劃問題 教學案 三維目標 1.知識與技能 1 從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，並能加以解決 2 了解線性規劃的意義以及線性約束條件 線性目標函式 可行解 可行域 最優解等概念，會根據條件建立線性目標函式 3 了解線性規劃的 法，並會用 法求線性目標函式的最大 小...
學案32簡單的線性規劃問題
3 利用線性規劃求最值，一般用 法求解，其步驟是 1 在平面直角座標系內作出可行域 2 作出目標函式的等值線 3 確定最優解 在可行域內平行移動目標函式等值線，從而確定 自我檢測 1 2013年高考天津卷 文 設變數x,y滿足約束條件則目標函式的最小值為 a 7 b 4 c 1 d 2 2 不等式 ...
學案35簡單的線性規劃問題
導學目標 1.從實際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組.3.從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，並能加以解決 自主梳理 1 二元一次不等式 組 表示的平面區域 1 判斷不等式ax by c 0所表示的平面區域，可在直線ax by...