3．3.3《簡單的線性規劃問題》教學案
●三維目標
1.知識與技能
(1)從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，並能加以解決；
(2)了解線性規劃的意義以及線性約束條件、線性目標函式、可行解、可行域、最優解等概念，會根據條件建立線性目標函式；
(3)了解線性規劃的**法，並會用**法求線性目標函式的最大(小)值；
(4)培養學生觀察、聯想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數形結合、等價轉化的數學思想．
2.過程與方法
(1)本節課是以二元一次不等式(組)表示的平面區域的知識為基礎，將實際生活問題通過數學中的線性規劃問題來解決；
(2)考慮到學生的知識水平和消化能力，教師可通過激勵學生**入手，講練結合，真正體現數學的工具性，同時，借助計算機的直觀演示可使教學更富趣味性和生動性．
3．情感、態度與價值觀
(1)結合教學內容，培養學生學習數學的興趣和「用數學」的意識，激勵學生創新；
(2)滲透集合、數形結合、化歸的數學思想，培養學生「數形結合」的應用數學的意識，激發學生的學習興趣.
●重點、難點
重點：線性規劃問題的**法，尋求線性規劃問題的最優解．
難點：利用**法求最優解．
為突出重點，本節教學應指導學生緊緊抓住化歸、數形結合的數學思想方法，將實際問題數學化，代數問題幾何化．解決難點的方法是精確作圖，利用數形結合的思想將代數問題幾何化．
●教學建議
從內容上看，簡單的線性規劃問題是在學習了不等式、直線方程的基礎上展開的，它是對二元一次不等式的深化和再認識、再理解．它是用數學知識解決實際問題，屬於數學建模，是初等數學中較抽象的，對學生要求較高，又是必須予以掌握的內容．考慮到學生的認知水平和理解能力，建議教師可以通過激勵學生**入手，講練結合，培養學生對本節內容的學習興趣，培養學生數形結合的意識，讓學生體味數學的工具性作用．另外，教師還可借助計算機直觀演示利用**法求最優解的過程，增強教學的趣味性和生動性．
●教學流程
約束條件所表示的平面區域，稱為可行域.
例1 設z＝3x＋5y，式中變數x、y滿足條件求z的最小值．
【思路**】
【自主解答】 畫出約束條件表示的點(x，y)的可行域，
如圖所示的陰影部分(包括邊界直線)．
把z＝3x＋5y變形為y＝－x＋，得到斜率為－，在y軸上的截距為，隨z變化的一族平行直線．
作直線l：3x＋5y＝0，把直線向右上方平行移至l1的位置時，直線經過可行域上的點m，
此時l1：3x＋5y－z＝0的縱截距最小，同時z＝3x＋5y取最小值．
解方程組得m(1，1)．
故當x＝1，y＝1時，zmin＝8.
規律方法
1．由本例可以看出，解線性規劃問題時，一定要注意最優解的對應點是最大值點，還是最小值點．對於目標函式z＝ax＋by，當b>0時，直線截距最大時，z有最大值，截距最小時，z有最小值；當b<0時，則相反．
2．**法是解決線性規劃問題的有效方法，其關鍵是利用z的幾何意義求解．平移直線ax＋by＝0時，看它經過哪個點(哪些點)時最先接觸可行域和最後離開可行域，則這樣的點即為最優解，最優解一般是在可行域的邊界取得．
變式訓練
設變數x，y滿足約束條件則目標函式z＝3x－4y的最大值和最小值分別為多少．
【解】 作可行域如圖所示，解得
∴a(3，5)．
解得∴b (5，3)．
平移直線3x－4y＝z可知，直線過a點時，z取最小值，過b點時，z取最大值．
∴zmin＝3×3－4×5＝－11，
zmax＝3×5－4×3＝3.
例2 已知x，y滿足設z＝ax＋y(a＞0)，若當z取最大值時，對應的點有無數多個，求a的值．
【思路**】
【自主解答】 作出可行域如圖所示．
由得∴點a的座標為(5，2)．
由得∴點c的座標為c(1，4.4)．
當直線z＝ax＋y(a＞0)平行於直線ac，且直線經過線段ac上任意一點時，z均取得最大值，此時有無數多點使z取得最大值，而kac＝－，
∴－a＝－，即a＝.
規律方法
1．本題中，z取最值時對應的點有無數多個，故這無數多個對應點構成平面區域的一段邊界．
2．解線性規劃問題時一般要結合圖形(平面區域)及目標函式的幾何意**題．
變式訓練
若x，y滿足約束條件目標函式z＝ax＋2y僅在點(1，0)處取得最小值，則a的取值範圍是________．
【解析】 作出可行域，讓目標函式所表示的直線過定點，觀察斜率的範圍，構建不等式求引數範圍．如圖所示，約束條件所表示的平面區域為三角形，目標函式z＝ax＋2y，即y＝－x＋僅在點(1，0)處取得最小值，故其斜率應滿足－1＜－＜2，即－4＜a＜2.故填(－4，2)．
【答案】 (－4，2)
例3 已知x，y滿足條件
(1)求u＝x2＋y2的最大值和最小值；
(2)求z＝的最大值和最小值．
【思路**】
【自主解答】 畫出不等式組所表示的平面區域，如圖所示．
(1)∵u＝x2＋y2，∴為點(x，y)到原點(0，0)的距離，結合不等式組所表示的平面區域可知，點b到原點的距離最大，而當(x，y)在原點時，距離為0.
由得點b的座標為(－1，－6)，
∴(x2＋y2)max＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x2＋y2)min＝0.
(2)z＝＝，所以求z的最大值和最小值，即是求可行域內的點(x，y)與點(－5，0)連線斜率的最大值和最小值．設點m的座標為(－5，0)，
由得點c的座標為(－3，2)，由(1)知點b的座標為(－1，－6)，
∴kmax＝kmc＝＝1，
kmin＝kmb＝＝－，
∴的最大值是1，最小值是－.
規律方法
1．本題中，(1)x2＋y2是平面區域內的點(x，y)到原點的距離的平方；(2)＝可看成平面區域內的點(x，y)與點(－5，0)連線的斜率．
2．解決此類問題，應先準確作出線性約束條件表示的平面區域，然後弄清非線性目標函式的幾何意義．
變式訓練
已知x，y滿足
(1)求z＝x2＋y2＋2x－2y＋2的最小值；
(2)求z＝|x＋2y－4|的最大值．
【解】 (1)作出可行域，如圖所示，
∵z＝()2，
∴z可看作是可行域內任意一點(x，y)到點m(－1，1)的距離的平方．
由圖可知zmin等於原點到直線x＋y－4＝0的距離的平方，
∴zmin＝()2＝8.
(2)∵z＝|x＋2y－4|＝·，
∴z可看作是可行域內任意一點(x，y)到直線x＋2y－4＝0的距離的倍．
由圖可知點c到直線x＋2y－4＝0的距離最大．
由得點c(7，9)，
∴zmax＝×＝21.
直線的傾斜程度判斷不准致誤
典例已知求z＝x＋y的最大值．
【錯解】 作出可行域，如圖所示．作出直線l0：x＋y＝0，將它移至點b，則點b的座標是可行域中的最優解，它使z達到最大值．
解方程組得點b的座標為(，)．
所以zmax＝＋＝.
【錯因分析】 將直線l0向上移動時，最後離開可行域的點不是點b而是點a，這是由於直線傾斜程度不準確引起的，由於三條邊界直線的斜率依次是－，－，－，而目標函式z＝x＋y的斜率為－1，它夾在－與－之間，故經過點b時，直線x＋y＝z必在點a的下方，即點b不是向上平移直線時最後離開可行域的點，而是點a.
【防範措施】 解決線性規劃問題時，可行域一定要準確，關鍵點的位置不能畫錯，若資料比較大，不易畫圖，也可用斜率分析法確定關鍵點或取得最值點．
【正解】 作出二元一次不等式組所表示的平面區域如上圖．作出直線l′0：x＋y＝0，將它向上平移，當它經過點a時，z取得最大值．
解方程組得
故zmax＝＋＝
1．基礎知識：
(1)可行域；
(2)線性規劃．
2．基本技能：
(1)解線性規劃問題；
(2)利用線性規劃求字母引數的值(或範圍)；
(3)求非線性目標函式的最值．
3．思想方法：
(1)數形結合思想；
(2)函式思想；
(3)轉化思想．
當堂雙基達標
1．已知實數x，y滿足則目標函式z＝x＋2y的最小值為________．
【解析】 畫出不等式組表示的平面區域，由圖可知目標函式在點(3，－3)處取得最小值－3.
【答案】 －3
圖3－3－7
2．給出平面區域(包含邊界)如圖3－3－7所示，若使目標函式z＝ax＋y(a＞0)取得最大值的最優解有無數多個，則a的值為________．
【解析】 由題意知－a＝kac＝－，∴a＝.
【答案】
3．已知變數x，y滿足約束條件則的取值範圍是________．
【解析】 目標函式是可行域上的動點(x，y)與原點連線的斜率，最小值是koc＝，最大值是kao＝6，又可行域邊界取不到，∴＜＜6.
【答案】 (，6)
4．已知x、y滿足條件求z＝4x－3y的最值．
【解】 原不等式組表示的平面區域如圖所示：
其中a(4，1)、b(－1，－6)、c(－3，2)．
作與4x－3y＝0平行的直線l：4x－3y＝t，
即y＝x－，
則當l過c點時，t最小；
當l過b點時，t最大．
一、填空題
1．(2013·微山高二檢測)設x，y滿足約束條件則z＝3x＋y的最大值為________．
【解析】 不等式組表示的平面區域如圖所示：
把z＝3x＋y變形為y＝－3x＋z得到斜率為－3，在y軸截距為z的一族平行直線，由圖當直線l：y＝－3x＋z過可行域內一點m時，在y軸截距最大，z也最大．
由∴即m(3，－2)．
∴當x＝3，y＝－2時，zmax＝3×3＋(－2)＝7.
【答案】 7
2．(2013·蘇州高二檢測)變數x，y滿足則使得z＝3x＋2y的值最小的(x，y)是________．
《3 3 3簡單的線性規劃問題》教學案
3.3.3 簡單的線性規劃問題 1 教學案 教學目標 1 讓學生了解線性規劃的意義，以及線性約束條件 線性目標函式 可行解 可行域 最優解等概念 2 讓學生掌握線性規劃的 法，並會用 法求線性目標函式的最大值與最小值 教學重點 用 法求線性規劃問題的最優解 教學難點 對用 法求解簡單線性規劃問題的最...
學案32簡單的線性規劃問題
3 利用線性規劃求最值，一般用 法求解，其步驟是 1 在平面直角座標系內作出可行域 2 作出目標函式的等值線 3 確定最優解 在可行域內平行移動目標函式等值線，從而確定 自我檢測 1 2013年高考天津卷 文 設變數x,y滿足約束條件則目標函式的最小值為 a 7 b 4 c 1 d 2 2 不等式 ...
學案35簡單的線性規劃問題
導學目標 1.從實際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組.3.從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，並能加以解決 自主梳理 1 二元一次不等式 組 表示的平面區域 1 判斷不等式ax by c 0所表示的平面區域，可在直線ax by...