7.4 簡單的線性規劃
鞏固·夯實基礎
一、自主梳理
1.二元一次不等式表示平面區域；(直線定邊界、選點定區域)
一般地，若ax+by+c>0,則當b>0時表示直線ax+by+c=0的上方；當b<0時，表示直線ax+by+c=0的下方.若ax+by+c<0，與上述情況相反.
2.線性規劃
(1)約束條件、線性約束條件：變數x、y滿足的一組條件叫做對變數x、y的約束條件，如果約束條件都是關於x、y的一次不等式，則約束條件又稱為線性約束條件；
(2)目標函式、線性目標函式：欲達到最大值或最小值所涉及的變數x、y的解析式，叫做目標函式.如果這個解析式是x、y的一次解析式，則目標函式又稱為線性目標函式；
(3)線性規劃：求線性目標函式**性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題；
(4)可行域：滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域；
(5)最優解：分別使目標函式取得最大值和最小值的解，叫做這個問題的最優解.
3.求解線性規劃問題的基本程式是作可行域，畫平行線，解方程組,求最值.
二、點選雙基
1.下列命題中正確的是（ ）
a.點(0,0)在區域x+y≥0內b.點(0,0)在區域x+y+1<0內
c.點(1,0)在區域y>2x內d.點(0,1)在區域x-y+1>0內
解析：將(0,0)代入x+y≥0,成立.
答案：a
2.在直角座標系中，滿足不等式x2-y2≥0的點(x,y)的集合所對應的陰影部分是( )
解析：x2-y2≥0 (x+y)(x-y)≥0或
答案：b
3.已知點p(3，-1)和q(-1,2)在直線ax+2y-1=0兩側，則實數a的取值範圍是( )
a.1<>3
解析：由［3a+2×(-1)-1］［-a+2×2-1］<0，得a<1或a>3.
答案：b
4.點（-2，t）在直線2x-3y+6=0的上方，則t的取值範圍是
解析：（-2，t）在2x-3y+6=0的上方，則2×(-2)-3t+6＜0,解得t＞.
答案：t＞
5.不等式組表示的平面區域內的整點（橫座標和縱座標都是整數的點）共有
個.解析：(1,1),(1,2),(2,1),共3個.
答案：3
誘思·例項點撥
【例1】 求三邊長均為整數，且最大邊長為11的三角形的個數.
剖析：根據題意，可建立線性規劃模型，把問題轉化為求可行域內整點的個數.
解：設三角形另兩邊長為x、y，則有(x、y為整數)作出可行域，如下圖所示，因為1+2+3+…+11=66，所以可行域內的整點個數是66- (66-6)=36(個)，即滿足條件的三角形有36個.
【例2】 求由不等式｜x-1｜+｜y-1｜≤2表示的平面區域的面積.
剖析：依據條件畫出所表達的區域,再根據區域的特點求其面積.
解：｜x-1｜+｜y-1｜≤2可化為
或或或其平面區域如圖.
∴面積s=×4×4=8.
鏈結·拓展
若再求:①;②的值域，你會做嗎？
答案1，5］.
【例3】 甲、乙兩公司生產同一種新產品，經測算，對於函式f(x)、g(x)及任意的x≥0,當甲公司投入x萬元作宣傳時，若乙公司投入的宣傳費小於f(x)萬元，則乙公司有失敗的風險，否則無失敗的風險；當乙公司投入x萬元作宣傳時，若甲公司投入的宣傳費小於g(x)萬元，則甲公司有失敗的風險，否則無失敗的風險.
(1)請解釋f(0)、g(0)的實際意義；
(2)當f(x)=x+4,g(x)= x+8時，甲、乙兩公司為了避免惡性競爭，經過協商，同意在雙方均無失敗風險的情況下盡可能地少投入宣傳費用，問此時甲、乙兩公司應各投入多少宣傳費用？
解：(1)f(0)表示當甲公司不投入宣傳費時，乙公司要迴避失敗的風險，至少投入f(0)萬元的宣傳費；g(0)表示當乙公司不投入宣傳費時，甲公司要迴避失敗的風險，至少要投入g(0)萬元的宣傳費.
(2)將甲公司投入的宣傳費用用x來表示，乙公司投入的宣傳費用用y來表示，依題意，當y≥f(x)=x+4時，乙公司無失敗的風險.
當x≥g(y)= y+8時，甲公司無失敗的風險,即
如圖所示，陰影部分區域表示甲、乙兩公司均無失敗的風險.
由解得x=20,y=24.
故在雙方均無失敗風險的情況下，甲公司至少投入20萬元，乙公司至少投入24萬元.
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