第3課時指數函式及其性質

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思路1.我們在學習指數函式的性質時,利用了指數函式的圖象的特點,並且是用模擬和歸納的方法得出,在上節課的**中我們知道,函式①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1的圖象之間的關係,由其中的乙個可得到另外兩個的圖象,那麼,對y=ax與y=ax+m(a>0,m∈r)有著怎樣的關係呢?在理論上,含有指數函式的復合函式是否具有奇偶性呢?

這是我們本堂課研究的內容.教師點出課題:指數函式及其性質（3）.

思路2.我們在第一章中,已學習了函式的性質,特別是單調性和奇偶性是某些函式的重要特點,我們剛剛學習的指數函式,嚴格地證明了指數函式的單調性,便於我們在解題時應用這些性質,在實際生活中,往往遇到的不單單是指數函式,還有其他形式的函式,有的是指數函式的復合函式,我們需要研究它的單調性和奇偶性,這是我們面臨的問題也是我們本堂課要解決的問題——指數函式及其性質（3）.

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新知**

提出問題

(1)指數函式有哪些性質?

(2)利用單調性的定義證明函式單調性的步驟有哪些?

(3)對復合函式,如何證明函式的單調性?

(4)如何判斷函式的奇偶性,有哪些方法?

活動：教師引導,學生回憶,教師提問,學生回答,積極交流,及**價學生,學生有困惑時加以解釋,可用多**顯示輔助內容.

討論結果：(1)指數函式的圖象和性質

一般地,指數函式y=ax在底數a＞1及0＜a＜1這兩種情況下的圖象和性質如下表所示：

(2)依據函式單調性的定義證明函式單調性的步驟是：

①取值.即設x1、x2是該區間內的任意兩個值且x1＜x2.

②作差變形.即求f（x2）－f（x1）,通過因式分解、配方、有理化等方法,向有利於判斷差的符號的方向變形.

③定號.根據給定的區間和x2－x1的符號確定f（x2）－f（x1）的符號,當符號不確定時,可以進行分類討論.

④判斷.根據單調性定義作出結論.

(3)對於復合函式y=f(g(x))可以總結為:

當函式f(x)和g(x)的單調性相同時,復合函式y=f(g(x))是增函式;

當函式f(x)和g(x)的單調性相異即不同時,復合函式y=f(g(x))是減函式;

又簡稱為口訣「同增異減」.

(4)判斷函式的奇偶性:

一是利用定義法,即首先是定義域關於原點對稱,再次是考察式子f(x)與f(-x)的關係,最後確定函式的奇偶性;

二是作出函式圖象或從已知圖象觀察,若圖象關於原點或y軸對稱,則函式具有奇偶性.

應用示例

思路1例1在同一座標系下作出下列函式的圖象,並指出它們與指數函式y=2x的圖象的關係.

(1)y=2x+1與y=2x+2;(2)y=2x-1與y=2x-2.

活動：教師適當時候點撥,學生回想作圖的方法和步驟,特別是指數函式圖象的作法,學生回答並到黑板上作圖,教師指點學生,列出對應值表,抓住關鍵點,特別是(0,1)點,或用計算機作圖.

解：(1)列出函式資料表作出圖象如圖2-1-2-12.

圖2-1-2-12

比較可知函式y=2x+1、y=2x+2與y=2x的圖象的關係為：將指數函式y=2x的圖象向左平行移動1個單位長度,就得到函式y=2x+1的圖象;將指數函式y=2x的圖象向左平行移動2個單位長度,就得到函式y=2x+2的圖象.

(2)列出函式資料表作出圖象如圖2-1-2-13

圖2-1-2-13

比較可知函式y=2x-1、y=2x-2與y=2x的圖象的關係為：將指數函式y=2x的圖象向右平行移動1個單位長度,就得到函式y=2x-1的圖象;將指數函式y=2x的圖象向右平行移動2個單位長度,就得到函式y=2x-2的圖象.

點評：類似地,我們得到y=ax與y=ax+m(a>0,a≠1,m∈r)之間的關係:

y=ax+m(a>0,m∈r)的圖象可以由y=ax的圖象變化而來.

當m>0時,y=ax的圖象向左移動m個單位得到y=ax+m的圖象;

當m<0時,y=ax的圖象向右移動|m|個單位得到y=ax+m的圖象.

上述規律也簡稱為「左加右減」.

變式訓練

為了得到函式y=2x-3-1的圖象,只需把函式y=2x的圖象( )

a.向右平移3個單位長度,再向下平移1個單位長度

b.向左平移3個單位長度,再向下平移1個單位長度

c.向右平移3個單位長度,再向上平移1個單位長度

d.向左平移3個單位長度,再向上平移1個單位長度

答案：b

點評：對於有些復合函式的圖象,常用變換方法作出.

例2已知定義域為r的函式f(x)=是奇函式.

（1）求a,b的值；

（2）若對任意的t∈r,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恆成立,求k的取值範圍.

活動：學生審題,考慮解題思路.求值一般是構建方程,求取值範圍一般要轉化為不等式,如果有困難,教師可以提示,（1）從條件出發,充分利用奇函式的性質,由於定義域為r,所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),（2）在（1）的基礎上求出f(x),轉化為關於k的不等式,利用恆成立問題再轉化.

（1）解：因為f(x)是奇函式,

所以f(0)=0,即=0b=1,

所以f(x)=;

又由f（1）=-f（-1）知=a=2.

（2）解法一：由（1）知f(x)= = +,易知f(x)在(-∞,+∞)上為減函式.

又因f(x)是奇函式,從而不等式：f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,

等價於f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),因f(x)為減函式,由上式推得：

t2-2t>k-2t2,即對一切t∈r有3t2-2t-k>0,

從而判別式δ=4+12k<0,

∴k<.

解法二：由（1）知f(x)=.

又由題設條件得<0,

即<0.

整理得》1,因底數2>1,故3t2-2t-k>0,

上式對一切t∈r均成立,從而判別式δ=4+12k<0,即k<-.

點評：記住下列函式的增減性,對解題是十分有用的,若f(x)為增(減)函式,則為減(增)函式.

思路2例1

設a>0,f(x)=在r上滿足f(-x)=f(x).

(1)求a的值;

(2)證明f(x)在(0,+∞)上是增函式.

活動：學生先思考或討論,如果有困難,教師提示,引導.

(1)求單獨乙個字母的值,一般是轉化為方程,利用f(-x)=f(x)可建立方程.

(2)證明增減性一般用定義法,回憶定義法證明增減性的步驟,規範書寫的格式.

(1)解：依題意,對一切x∈r有f(-x)=f(x)成立,即+aex=.

所以=0對一切x∈r成立.由此可得=0,即a2=1.

又因為a>0,所以a=1.

(2)證明:設0f(x1)-f(x2)= = =·.

由x1>0,x2>0,x2-x1>0,得x2+x1>0, >0,1<0,

所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在（0,+∞）上是增函式.

點評：在已知等式f(-x)=f(x)成立的條件下,對應係數相等,求出a,也可用特殊值求解.證明函式的單調性,嚴格按定義寫出步驟,判斷過程盡量明顯直觀.

例2已知函式f(x)=3x,且x=a+2時,f(x)=18,g(x)=3的定義域為［0,1］.

(1)求g(x)的解析式;

(2)求g(x)的單調區間,確定其增減性並試用定義證明;

(3)求g(x)的值域.

解：(1)因為f(x)=3x,且x=a+2時f(x)=18,

所以f(a+2)=3a+2=18.所以3a=2.

所以g(x)=3ax-4x=(3a)x-4x.

所以g(x)=2x-4x.

(2)因為函式g(x)的定義域為［0,1］,令t=2x,因為x∈［0,1］時,函式t=2x在區間［0,1］上單調遞增,

所以t∈［1,2］,則g(t)=t-t2=-(t2-t)=-(t-)2+,t∈［1,2］.

因為函式t=2x在區間［0,1］上單調遞增,函式g(t)=t-t2在t∈［1,2］上單調遞減,

所以函式g(x)在區間［0,1］上單調遞減.

證明:設x1和x2是區間［0,1］上任意兩個值,且x1g(x2)-g(x1)= = =,

因為0≤x1≤x2≤1,

所以,且1≤<2,1<≤2.

所以2<<4.

所以-3<1-<-1,可知<0.

所以g(x2)所以函式g(x)在區間［0,1］上單調遞減.

(3)因為函式g(x)在區間［0,1］上單調遞減,

所以x∈［0,1］時,有g(1)≤g(x)因為g(1)=21-41=-2,g(0)=20-40=0,

所以-2≤g(x)≤0.

故函式g(x)的值域為［-2,0］.

點評：此題是一道有關函式的概念、函式性質的應用、推理、證明綜合題,要通盤考慮.

知能訓練

求函式y=()|1+2x|+|x-2|的單調區間.

活動：教師提示,因為指數含有兩個絕對值,要去絕對值,要分段討論,同時注意底數的大小,分析出指數的單調區間,再確定函式的單調區間,利用復合函式的單調性學生思考討論,然後解答.

解：由題意可知2與是區間的分界點.

當x《時,因為y=()-1-2x-x+2=()1-3x=23x-1=8x,

所以此時函式為增函式.

當≤x<2時,因為y=()1+2x-x+2=()3+x=2-3-x= ()x,

所以此時函式為減函式.

當x≥2時,因為y=()1+2x+x-2=()3x-1=21-3x=2 ()x,

所以此時函式為減函式.

當x1∈［,2）,x2∈［2,+∞）時,因為2 ()x2- ()x1=

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指數函式及其性質說課稿

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第五課時指數函式 3

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