2012版高三數學一輪精品複習學案：函式、導數及其應用
2.7導數
【高考目標定位】
一、變化率與導數、導數的計算
1、考綱點選
（1）了解導數概念的實際背景
（2）理解導數的幾何意義；
（3）能根據導數定義求函式y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,的導數;
（4）能利用給出的基本初等函式的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函式的導數。能求簡單的復合函式（僅限於形如f(ax+b)的復合函式）的導數。
2、熱點提示
（1）導數的幾何意義是高考考查的重點內容，常以選擇題、填空題的形式出現，有時也出現在解答題中；
（2）導數的運算每年必考，一般不單獨考查，在考查導數應用研究的同時考查導數的運算。
二、導數在研究函式中的應用與生活中的優化問題
1、考綱點選
（1）了解函式單調性和導數的關係，能利用導數研究函式的單調性，會求函式的單調區間（其中多項式函式一般不超過三次）；
（2）了解函式在某點取得極值域的必要條件和充分條件；會用導數求函式的極大值、極小值（其中多項式函式一般不超過三次）；會求閉區間上函式的最大值、最小值（其中多項式函式一般不超過三次）。
（3）會利用導數解決某些實際問題。
2、熱點提示
（1）在高考中，重點考查利用導數研究函式的單調性，求單調區間、極值、最值，以及利用導數解決生活中的優化問題。有時在導數與解析幾何、不等式、平面向量等知識交匯點處命題。
（2）多以解答題的形式出現，屬中、高檔題目。
【考綱知識梳理】
一、變化率與導數、導數的計算
1、函式y=f(x)從x1到x2的平均變化率
函式y=f(x)從x1到x2的平均變化率為，若，則平均變化率可表示為。
2、函式y=f(x)在x=x0處導數
（1）定義
稱函式y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率
為y=f(x)在x=x0處導數，記作
（2）幾何意義
函式f(x)在點x處的導數的幾何意義是在曲線y=f(x)上點（，）處的切線的斜率。相應地，切線方程為y-y0= (x=x0).
3、函式f(x)的導數
稱函式為函式f(x)的導函式，導函式有時也記作
注：求函式f(x)在x=x0處的導數的方法：
方法一：直接使用定義；;
方法二：先求導函式，再令x=x0求
4、基本初等函式的導數公式
5、導數運演算法
6、復合函式的導數
復合函式的導數和函式，的導數間的關係為，即對的導數等於對的導數與對的導數的乘積。
二、導數在研究函式中的應用與生活中的優化問題
1、函式的單調性與導數
在某個區間（a,b）內，如果，那麼函式在這個區間內單調遞增；如果，那麼函式在這個區間內單調遞減。如果，那麼函式在這個區間上是常數函式。
注：函式在（a,b）內單調遞增，則，是在（a,b）內單調遞增的充分不必要條件。
2、函式的極值與導數
（1）曲線在極值點處切線的斜率為0，並且，曲線在極大值點左側切線的斜率為正，右側為負；曲線在極小值點左側切線的斜率為負，右側為正．
一般地，當函式 f(x) 在點 x0 處連續時，判斷 f(x0) 是極大（小）值的方法是：
（1）如果在 x0附近的左側 f』(x)>0 ，右側f』(x) <0 ，那麼 f(x0) 是極大值．
（1）如果在x0附近的左側 f』(x) <0 ，右側f』(x) >0 ，那麼 f(x0) 是極小值．
注：導數為0的點不一定是極值點
3、函式的最值與導數
函式f(x)在[a,b]上有最值的條件
如果在區間[a,b]上函式的圖象是一條連續不斷的曲線，那麼它必有最大值和最小值。
4、生活中的優化問題
解決優化問題的基本思路是
優化問題用函式表示的數學問題用導數解決函式問題優化問題答案
【熱點、難點精析】
一、變化率與導數、導數的運算
（一）利用導數的定義求函式的導數
1、相關鏈結
（1）根據導數的定義求函式在點處導數的方法：
①求函式的增量；
②求平均變化率；
③得導數，簡記作：一差、二比、三極限。
（2）函式的導數與導數值的區間與聯絡：導數是原來函式的導函式，而導數值是導函式在某一點的函式值，導數值是常數。
2、例題解析
〖例1〗求函式y=的導數。
解析：，
=-。〖例2〗一質點運動的方程為。
（1） 求質點在[1，1+δt]這段時間內的平均速度；
（2） 求質點在t=1時的瞬時速度（用定義及求求導兩種方法）
分析（1）平均速度為；
（2）t=1時的瞬時速度即在t=1處的導數值。
解答：（1）∵
∴δs=8-3(1+δt)2-(8-3×12)=-6δt-3(δt)2,
.（2）定義法：質點在t=1時的瞬時速度
求導法：質點在t時刻的瞬時速度
，當t=1時，v=-6×1=-6.
注：導數的物理意義建立了導數與物體運動的瞬時速度之間的關係。對位移s與時間t的關係式求導可得瞬時速度與時間t的關係。
根據導數的定義求導數是求導數的基本方法，誚按照「一差、二比、三極限」的求導步驟來求。
（二）導數的運算
1、相關鏈結
（1）運用可導函式求導法則和導數公式，求函式在開區間（a,b）內的導數的基本步驟：
①分析函式的結構和特徵；
②選擇恰當的求導法則和導數公式求導；
③整理得結果。
（2）對較複雜的函式求導數時，誚先化簡再求導，特別是對數函式真數是根式或分式時，可用對數的性質轉化真數為有理式或整式求解更為方便。
（3）復合函式的求導方法
求復合函式的導數，一般是運用復合函式的求導法則，將問題轉化為求基本函式的導數解決。
①分析清楚復合函式的復合關係是由哪些基本函式復合而成的，適當選定中間變數；
②分步計算中的每一步都要明確是對哪個變數求導，而其中特別要注意的是中間變數；
③根據基本函式的導數公式及導數的運算法則，求出各函式的導數，並把中間變數轉換成自變數的函式；
④復合函式的求導熟練以後，中間步驟可以省略，不必再寫出函式的復合過程。
2、例題解析
〖例〗（1）求的導數；
（2）求的導數；
（3）求的導數；
（4）求y=的導數；
（5）求y＝的導數
分析：先正確地分析函式是由哪些基本函式經過怎樣的順序復合而成；求導時，可設出中間變數，注意要逐層求導不能遺漏，每一步對誰求導，不能混淆。
解：（1）,
（2）先化簡,
（3）先使用三角公式進行化簡.
（4）y』==；
（5）y＝－x＋５－
y』＝３*（x）＇－x
（三）導數的幾何意義
【例】已知曲線，
（1） 求曲線在點p(2,4)處的切線方程；
（2） 求曲線過點p(2,4)的切線方程；
（3） 求斜率為4的曲線的切線方程。
分析：切點座標切線斜率點斜式求切線方程
解答：（1）上，且
∴在點p(2,4)處的切線的斜率k==4;
∴曲線在點p(2,4)處的切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
（2）設曲線與過點p(2,4)的切線相切於點a（x0，），則切線的斜率，∴切線方程為（）=（-），即
∵點p(2,4)在切線上，∴4=2，即，∴，
∴（x0+1）(x0-2)2=0
解得x0=-1或x0=2
故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0.
（3）設切點為（x0,y0）
則切線的斜率為k=x02=4, x0=±2.切點為（2，4），（-2，-4/3）
∴切線方程為y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2)
即4x-y-4=0和12x-3y+20=0
注：（1）解決此類問題一定要分清「在某點處的切線」，還是「過某點的切線」；（2）解決「過某點的切線」問題，一般是設出切點座標解決。
二、導數在函式中的應用與生活中的優化問題舉例
（一）函式的單調性與導數
1、相關鏈結
（1）求可導函式單調區間的一般步驟和方法
①確定函式f(x)的定義域;
②求f』(x) ，令f』(x)=0，求出它們在定義域內的一切實根；
③把函式f(x)的間斷點（即f(x)無定義點）的橫座標和上面的各實數根按由小到大的順序排列起來，然後用這些點把函式f(x)的定義區間分成若干個小區間。
④確定f』(x)在各個開區間內的符號，根據f』(x)的符號判定函式f(x)在每個相應小開區間內的增減性。
注：當f(x)不含引數時，也可通過解不等式f』(x)>0（或f』(x)<0）直接得到單調遞增（或遞減）區間。
（2）證明可導函式f(x)在（a,b）內的單調性的步驟
①求f』(x);
②確認f』(x)在（a,b）內的符號；
③作出結論：f』(x)>0時為增函式；f』(x)<0時為減函式。
（3）已知函式的單調性，求引數的取值範圍，應注意函式f(x)在（a,b）上遞增（或遞減）的充要條件應是f』(x)≥0（或f』(x)≤0），x∈（a,b）恆成立，且f』(x) 在（a,b）的任意子區間內都不恆等於0，這就是說，函式f(x)在區間上的增減性並不排斥在區間內個別點處有f』(x) =0，甚至可以在無窮多個點處f』(x0) =0，只要這樣的點不能充滿所給區間的任何乙個子區間。
2、例題解析
〖例〗（安徽·合肥168中高三段考（理））( 本小題滿分13分)已知函式，
（ⅰ）求的單調區間和值域；
（ⅱ）設，函式，若對於任意，總存在，使得成立，求的取值範圍
解：對函式求導，得
令解得或
當變化時，、的變化情況如下表：
]所以，當時，是減函式；當時，是增函式；
當時，的值域為
（ⅱ）對函式求導，得
因此，當時，
因此當時，為減函式，從而當時有
又，，即當時有
任給，，存在使得，則
即解式得或
解式得又，故：的取值範圍為
（二）函式的極值與導數
1、相關鏈結
（1）求函式f(x)極值的步驟
①確定函式f(x)的定義域；
②求導數f』(x);
③求方程f』(x)=0的根。
④檢查在方程的根的左右兩側的符號，確定極值點（最好通過列表法）。如果左正右負，那麼f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那麼f(x)在這個根處取得極小值；如果f』(x)在點x0的左右兩側符號不變，則f(x0)不是函式極值。
（2）可導函式極值存在的條件
①可導函式的極值點x0一定滿足f』(x0)=0,但當f』(x0)=0時，x0不一定是極值點。如f(x)=x3,f』(0)=0,但x=0不是極值點。
高三數學一輪複習
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