黃岩實驗中學解林紅
新課標在「基本理念」中指出：「有效的數學學習活動不能單純地地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。」如何提高初中總複習的效率，歷來是眾多數學教師探索研究的問題。
由於總複習時間緊，內容多，要求高，且沒有固定的教材，這使得在例題設計上反而有較大的選擇空間。如果我們在課堂上只重視習題的訓練，單純套用大量的現成模擬試卷，搞題海戰術，不但會大大增加學生負擔，而且不利於調動學生的學習積極性，更不能提高複習效果。因此，如何上好複習課，提高複習效率，是每位教師最為關心的問題。
上好複習課的關鍵在於教師的設計一定要有新意，能激發起學生對複習課的興趣，讓學生像學習新知識一樣充滿熱情地投入到複習中去。這就需要教師應具有創新的理念，能創造性地指導複習，展現生動活潑的設計藝術以吸引學生，使學生能抓住重點、要點，全面、系統地掌握所學知識。筆者結合多年的教學實踐，談談例題設計的幾種主要方式。
一、設計遞進式例題，滿足學生多樣化的學習需求
進入初三總複習階段，學生的學習水平和認知能力等方面的差異更加明顯。新課標要求我們「尊重學生的個體差異，滿足多樣化的學習需要。」因此，設計的例題一定要有層次性，即由易到難，循序漸進，一步步引導學生將問題深化，揭示出解題規律，發展思維能力，使不同的學生各得其所，避免「吃不了」和「吃不飽」的現象發生。
比如，為了鞏固學生對等腰三角形兩底角相等的性質的理解，我設計了以下問題：
例1 （1）若等腰三角形乙個底角為55°，則其頂角為多少度？
（2）若等腰三角形乙個底角為55°，則其餘的角為多少度？
（3）若等腰三角形乙個內角為100°，則其餘的角為多少度？
（4）若等腰三角形乙個內角為m°，則其餘的角為多少度？
通過步步深入的引導，不但滿足了各個層次學生的需要，加強了學生對性質的理解並能直接應用，還使學生在變化中找出解答這類題的規律和方法。
二、設計多解式例題，發散學生的多種思維
新課標強調：「教學中應當有意識、有計畫地設計教學活動，引導學生體會數學之間的聯絡，感受數學的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力。」一題多解能使知識不斷延伸，是深化認識水平、提高思維能力、開發智力的一種較好方式。
在精心設計例題時，應有意識地偏重於那些可用多種思路來完成的典型題，引導、鼓勵學生不拘泥常規方法，要尋求變異，勇於創新。
例2 已知：△tab內接於⊙o，c為ab延長線上一點，ct切⊙o於t
求證：bt2：at2＝bc：ac
該題有多種證法，可利用切割線等定理來證，也可利用相似三角形對應邊成比例、變換比例式來證……引導學生沿著不同的途徑去思考。通過比較，提煉出最佳方法是利用面積之比來證，從而達到優化解題思路的目的，避免因簡單重複帶來的枯燥感，同時能啟用思維，發散思維，調動學生的積極性，提高複習效率。
三、設計類化式例題，引導學生提煉數學思想方法
新課標重視數學思想方法教學，強調學習方法的指導，注重學會學習和發現、形成知識的過程。平時新課學習的內容比較分散，而總複習時間又較為緊張。為提高效率，可以通過題目的分類歸檔和有效組合，把初中所學的相關知識點集中體現在例題中，集中力量解決同類題中的本質問題，總結解這類題的方法和規律，達到觸類旁通的目的。
例3 解方程組
此題應用韋達定理轉化為一元二次方程來解。把握了這個特徵，再誘導學生進行思維正遷移，就可順利地解下列方程組。
（1） （2） （3）
（4）以上題組把初中所學的方程組都包含在其中，不但複習了這些方程組的解法，還通過知識的整理，提示和總結了蘊涵其中的化歸思想。因此，在例題設計時，要有整體意識，在知識的交匯點設計問題，在解決問題的過程中提煉數學思想方法。
四、設計引申式例題，鍛鍊學生解綜合題的能力
新課標要求我們「要善於激發學生的學習潛能，鼓勵學生大膽創新與實踐」 。因此，對乙個問題不能就題論題，而應進行適當引申和變化，逐步延續伸展，在培養學生思維變通性的同時，讓學生思維變得更為深刻流暢，提高其解綜合題的能力。
例4 已知：△tab內接於⊙o，c為ab延長線上一點，ct切⊙o於t，
（1）若∠abt＝60°，bt＝2，tc＝，求bc的長和⊙o的直徑；
（2）若∠bct＝30°，ct＝，bc＝2，求bt和ab的長及∠a的度數；
（3）作∠atb的平分線交ab於e，交⊙o於g。
求證：（1）； （2）eb·tc＝ae·bc； （3）ce2＝bc·ac
此題由例2出發，由淺入深，由此及彼，將圖形合理演化，形成題鏈，連成一串，涵蓋一片。這種方法能開闊視野，開發智力，促進思維正遷移，提高總複習效率。
五、設計開放性例題，誘發學生的創造性潛質
新課標指出，「要關注學生的個體差異，有效地實施有差異的教學，使每個學生都得到充分的發展。」因此在複習課中設計開放性例題，可以滿足不同學生的學習需求。
例5 已知△abc，將它分成面積相等的三個多邊形，你能給出幾種分法？
本題有難易不同的多種解法。對於基礎差的學生來說，要想出一兩種分法來也並不太難；而對於基礎好，喜歡思考的學生來說，盡可以充分利用自己所掌握的有關知識，在創造性的王國裡自由馳騁，給出許多有趣的分法。由於開放性問題的顯著特徵是答案呈多樣性和多層次性，解答時學生需要通過觀察、比較、分析、綜合，開展發散性思維，運用已學過的數學知識和方法，經過必要的推理得出正確的結論。
六、設計探索性例題，培養學生發現問題和分析問題的能力
根據新課標 「學生不僅能主動地獲取知識，而且能不斷豐富數學活動的經驗，學會探索，學會學習」的要求，我們在複習課中要給學生提供大量探索數學奧秘的教材，給學生提供充分從事數學活動和**數學問題的時間和空間，給學生「做數學」的機會，促進學生數學知識和方法的掌握、鞏固和提高。
例6 某學習小組在**「各內角都相等的圓內接多邊形是否為正多邊形」時，進行如下討論：
甲同學：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內接矩形。
乙同學：我發現邊數是6時，它也不一定是正多邊形。如圖1，△abc是正三角形，ad＝be＝cf，可以證明六邊形adbecf的各內角相等，但它未必是正六邊形。
丙同學：我能證明，邊數是5時，它是正多邊形，我想邊數是7時，它可能也是正多邊形。
（1）請你說明乙同學
構造的六邊形各內角相等
（2）請你證明，各
角都相等的圓內接七邊形
abcdefg（如圖2）是正
七邊形（不必寫已知求證）； （3）根據以上探索過程，提出你的猜想。
在複習課中引導學生學會研究問題，這對學生的思維將起到積極的作用。因此，在複習課中應努力揭示數學思維活動的過程，指導、調控學生的思維活動，使之能模擬數學家的思維方式，逐步形成「數學頭腦」。
七、設計應用性例題，提公升學生的數學應用水平
新課標認為，學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的。在複習課中設計一些源於生活、貼近生活，有很強的時代性如環境保護、國情國策、市場經營、社會熱點、新聞事件、現代時尚等的例題，既能鞏固學生已學的數學知識，又能培養學生的數學應用能力。
例7 為了保護環境，充分利用水資源，某市經過「調整水費聽證會」討論後決定：水費由過去每立方公尺0.8元調整為1.
1元，並提出「超額高費措施」，即：每戶每月定額用水不超過12立方公尺，超過12立方公尺的部分，另加收每立方公尺2元的高額排汙量。
（1）某戶居民響應節水號召，計畫月平均用水量比過去少3立方公尺，結果使得260立方公尺的水比過去多用了半年。問這戶居民計畫月平均用水量是多少立方公尺？
（2）如果該戶居民響應節水號召，在一年中實際有四個月的月平均用水量超過計畫月平均用水量的40%，其餘八個月按計畫用水。那麼按照新交費法，該戶居民一年需要交水費多少元？
通過這類源自生活的應用題的複習，既發揮了強烈的德育功能，引導學生關注社會熱點，了解時事政策和社會發展趨勢，又可以讓學生從數學的角度分析社會現象，體會數學在現實生活中的作用，提高應用數學知識解決實際問題的能力。
八、設計跨學科例題，強化學生的綜合運用知識意識
在新課程中，實踐與探索是乙個新的課題。這個課題不是增加新知識，而是強調數學知識的整體性、現實性和應用性，注重數學的現實背景以及與其它學科之間的聯絡。設計跨學科例題，不僅在近幾年中考中頻頻出現，而且還可為學生解題增添新的思路，培養學生綜合運用知識的能力。
例8 有一用特殊材料製成的質量為30克的泥塊，現把它切開為大小兩塊，將較大泥塊放在一架不等臂天平的左盤中，稱得質量為27克；又將較小泥塊放在該天平的右盤中，稱得質量為8克。若只考慮該天平的臂長不等，其它因素忽略不計，請你根據槓桿的平衡原理，求出較大泥塊和較小泥塊的質量。
這是乙個科學和數學的綜合題，學生若能從兩方面進行分析、綜合，不難解決。設計本例的意思是讓學生感受到各學科之間的相互聯絡，因為數學與自然科學以及天文地理、醫學、軍事乃至語文等的聯絡都比較密切，它是各學科不可缺少的工具。這就要求我們在總複習時，應重視對學生在相關學科中增強應用意識和應用能力的培養，充分發揮數學的工具作用。
注：本文發表於《中學數學雜誌》2023年第6期。
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