例1 求函式在條件下的極值。
解令得1）
又2）3）
由（1）得 ，
當時得，故得，代入（2）（3）式得
解得穩定點，。
由對稱性得，也是穩定點。
下面用幾種不同的方法判別穩定點是否極值點。
1、通過判別最值來求極值
注意約束集為單位圓，是有界閉集，故在其上必有最大（小）值，且最值必在穩定點達到。比較穩定點的函式值：
，最大者為極大值，最小者為極小值。
2、用無條件極值的充分性判別
令，則 ，故在點的某鄰域，方程組可唯一地確定可微函式組。
方程組兩邊對求導，得
再求導，得
將點代入，解得 ， ，又
故是極小值點，是極大值點。由的對稱性知，是極小值點，是極大值點。
極小值，
極大值。
3、用拉格朗日函式的二階微分判別極值。求微分時，所有變數是獨立的，但應滿足約束條件的微分在的關係式：
因為在點即又滿足穩定點方程得
故所以是極小值點。由的對稱性知，也是極小值點。同理可證，是極大值點。
極小值，
極大值。
例2 將長度為的鐵絲分成三段，用此三段分別作成圓、正方形和等邊三角形。問如何分法，才能使這三個圖形的面積之和最小。
解設分別為圓之半徑、正方形邊長、等邊三角形邊長。於是總面積
滿足約束 ，
令解得約束集為有界閉集，故在其上必有最小值。在邊界上，即解下列三個條件極值問題：
穩定點分別是
函式值分別是
, ,
又 比較上述7個函式值得，最小值為
。下面再用無條件極值的充分性判別。
約束條件可確定。方程兩邊分別對求導，得
，，故穩定點是極小值點。從而是最小值點。
從幾何上看，當是一常數時，是一橢球面，而約束條件給出乙個平面在第一掛限的部分，如圖示。當逐漸增大，首次與平面接觸一點時，達到最小值。當繼續增大時，的最大值必在平面與座標軸的交點上達到。
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