導數的應用二------函式的極值與最值
編稿：趙雷審稿：李霞
【學習目標】 1. 理解極值的概念和極值點的意義。
2. 會用導數求函式的極大值、極小值。
3. 會求閉區間上函式的最大值、最小值。
4. 掌握函式極值與最值的簡單應用。
【要點梳理】
知識點一：函式的極值
（一）函式的極值的定義：
一般地，設函式在點及其附近有定義，
（1）若對於附近的所有點，都有，則是函式的乙個極大值，記作
；（2）若對附近的所有點，都有，則是函式的乙個極小值，記作.
極大值與極小值統稱極值.
在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變數的值，極值指的是函式值.
要點詮釋：
由函式的極值定義可知：
（1）在函式的極值定義中，一定要明確函式y=f(x)在x=x0及其附近有定義，否則無從比較.
（2）函式的極值是就函式在某一點附近的小區間而言的，是乙個區域性概念；在函式的整個定義域內可能有多個極值，也可能無極值.由定義，極值只是某個點的函式值與它附近點的函式值比較是最大或最小，並不意味著它在函式的整個的定義域內最大或最小.
（3）極大值與極小值之間無確定的大小關係.即乙個函式的極大值未必大於極小值.極小值不一定是整個定義區間上的最小值.
（4）函式的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能成為極值點.而使函式取得最大值、最小值的點可能在區間的內部，也可能在區間的端點.
（二）用導數求函式極值的的基本步驟：
①確定函式的定義域；
②求導數；
③求方程的根；
④檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負，則f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，則f(x)在這個根處取得極小值.(最好通過列表法)
要點詮釋：
①可導函式的極值點一定是導函式為0的點，但導數為0的點不一定是極值點.即是可導函式在點取得極值的必要非充分條件.例如函式y=x3，在x=0處，，但x=0不是函式的極值點.
②可導函式在點取得極值的充要條件是，且在兩側的符號相異。
知識點二：函式的最值
（一） 函式的最大值與最小值定理
若函式在閉區間上連續，則在上必有最大值和最小值；在開區間內連續的函式不一定有最大值與最小值.如.
要點詮釋：
①函式的最值點必在函式的極值點或者區間的端點處取得。
②函式的極值可以有多個，但最值只有乙個。
（二）求函式最值的的基本步驟：
若函式在閉區間有定義，在開區間內有導數，則求函式在上的最大值和最小值的步驟如下：
（1）求函式在內的導數；
（2）求方程在內的根；
（3）求在內使的所有點的函式值和在閉區間端點處的函式值，；
（4）比較上面所求的值，其中最大者為函式在閉區間上的最大值，最小者為函式在閉區間上的最小值.
要點詮釋：
①求函式的最值時，不需要對導數為0的點討論其是極大還是極小值，只需將導數為0的點和端點的函式值進行比較即可。
②若在開區間內可導，且有唯一的極大（小）值，則這一極大（小）值即為最大（小）值.
（三）最值與極值的區別與聯絡
①函式的最大值和最小值是比較整個定義域上的函式值得出的（具有絕對性），是整個定義域上的整體性概念。最大值是函式在整個定義域上所有函式值中的最大值；最小值是函式在整個定義域上所有函式值中的最小值.函式的極大值與極小值是比較極值點附近兩側的函式值而得出的（具有相對性），是區域性的概念；
②極值可以有多個，最大(小)值若存在只有乙個；極值只能在區間內取得，不能在區間端點取得；最大（小）值可能是某個極大（小）值，也可能是區間端點處的函式值；
③有極值的函式不一定有最值，有最值的函式未必有極值，極值可能成為最值.
知識點三：函式極值與最值的簡單應用
1. 不等式恆成立，求引數範圍問題。
一些含參不等式，一般形如，
若能隔離引數，即可化為：的形式。若其恆成立，則可轉化成，從而轉化為求函式的最值問題。
若不能隔離引數，就是求含參函式的最小值，使。所以仍為求函式的最值問題，只是再求最值時可能需要對引數進行分類討論。
2. 證不等式問題。
當所要證的不等式中只含乙個未知數時，一般形式為，則可化為，一般設，然後求的最小值，證即可。所以證不等式問題也可轉化為求函式最小值問題。
3. 兩曲線的交點個數問題（方程解的個數問題）
一般可轉化為方程的問題，即的解的個數問題，
我們可以設，然後求出的極大值、極小值，根據解的個數討論極大值、極小值與0的大小關係即可。所以此類問題可轉化為求函式的極值問題。
【典型例題】
型別一： 求函式的極值
例1. 下列函式的極值。
（1）； （2）；
【解析】（1）函式的定義域為r。
。令，得x=－2或x=2。
當x變化時，，變化狀態如下表：
從上表可以看出，當x=―2時，函式有極大值，且
。當x=2時，函式有極小值，且
。（2）函式的定義域為r。
。令，得x=0或x=2。
當x變化時，，變化狀態如下表：
由上表可以看出，當x=0時，函式有極小值，且。
當x=2時，函式有極大值，且。
【總結昇華】 解答本題時應注意只是函式在x0處有極值的必要條件，如果再加上x0左右導數的符號相反，方能斷定函式在x0處取得極值，反映在解題上，錯誤判斷極值點或漏掉極值點是經常出現的失誤。
舉一反三：
【高畫質課堂：函式的極值與最值 370875 例題1】
【變式1】 討論函式（）的單調性並求極值．
令，解得x1=0， x2=, x3=2 。
當x變化時，，變化狀態如下表：
由上表可以看出，在（－∞，0）和（，2）上為減函式，在（0，）和（2，+∞）上
為增函式。
當x=0時，函式有極小值; 當x=2時，函式有極小值。
當x=時，函式有極大值。
【高畫質課堂：函式的極值與最值 370875 例題3】
【變式2】函式的定義域為區間（a，b），導函式在（a，b）內的圖如圖所示，則函式在（a，b）內的極小值有（ ）
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
【答案】由極小值的定義，只有點b是函式的極小值點，故選a。
型別二：函式極值的逆向應用
例2. 已知函式在點x0處取得極大值5，其導函式的圖象經過點（1，0），（2，0），如圖所示。求：
（1）x0的值；
（2）a，b，c的值。
【思路點撥】觀察影象的正負和零點。
【解析】 （1）由圖象可知，在（―∞，1）上，在（1，2）上，在（2，+∞）上，
故在（－∞，1）和（2，+∞）上遞增，在（1，2）上遞減。
因此在x=1處取得極大值，所以x0=1。
（2）方法一：，
由，，，
得，解得。
方法二：設。
又，所以，，c=2m，
，由，即，
得m=6，所以a=2，b=―9，c=12。
【總結昇華】
（1）由導函式的圖象求極值點，先看圖象與x軸的交點，其次看這點左右兩側的導數值的正負。
（2）注意條件「在點x0處的極大值是5」的雙重條件，即，。
舉一反三：
【變式】已知函式f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求a,b的值.
【答案】
依題意得方程組解得.
當a=-3,b=3時，
令得x=1.
顯然a=-3, b=3不合題意，捨去.
當a=4, b=-11時，f(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11)
令得或 x=1.
f(x)在x=1處有極小值10，合題意，
∴a=4, b=-11.
型別三：求函式的最值
【高畫質課堂：函式的極值與最值 370875 例題2】
例3、求函式在區間[-1，2]上的最大值與最小值。
【解析】，
由上表可知，當x=-1時,f(x)取最小值-2；當x=2時,f(x)取最大值1.
∴ 函式在區間[-1，2]上的最大值為1，最小值為-2。
【總結昇華】解題格式要求：
ⅰ. 對於分解因式，寫出相應方程的根；
ⅱ. 列**，**反映出隨的變化情況，必須列出極值點，若求最值時，還要列出端點的函式值。
ⅲ. 一般要註明x取何值時f(x)取得最大最小值。
舉一反三：
【變式】求函式y=x4―2x2+5在區間[―2，2]上的最大值與最小值。
【答案】
先求導數，得y＇=4x3―4x。
令y＇=0即4x3―4x=0，
解得x1=―1，x2=0，x3=1。
當x變化時，y＇，y的變化情況如下表：
從上表知，當x=±2時，函式有最大值13；當x=±1時，函式有最小值4。
例4. 求函式，x∈[－3，2] 的最值。
【解析】
，由得x=―1，0，1。
∵f(-3)=-60,f(-1)=f(1)=4,f(0)=3,f(2)=-5,
經比較可得：
當x=―3時，有最小值―60。 當x=―1時或1時，有最大值4。
【總結昇華】
當方法熟悉後,可以不再列表. 也就是說在求函式的最值時，實際不需要對導數為0的點討論其是極大還是極小值，只需將導數為0的點和端點的函式值進行比較即可。
舉一反三：
【變式】求函式，x∈[0，2]的最值。
【答案】
，令，化簡為x2+x―2=0，解得x1=―2（捨去），x2=1。
∵，又，，
∴為函式在[0，2]上的最小值，為函式在[0，2]上的最大值。
型別四：極值與最值的應用----證不等式問題。
例5. 求證：當x＞0時，。
【思路點撥】移項，化為等式左邊為函式式的形式。
【解析】 設，
，所以在（―1，+∞）上為增函式，
∴當x＞0時，，
即x＞0時，。
【總結昇華】 利用導數可以證明含有高次式、指數式、對數式等型別的不等式，在證明的過程中，首先要注意變數的取值範圍，再正確地構造出函式，最後再求出函式的最值。
舉一反三：
【變式】 當時，證明不等式：。
【答案】 設，
，，則函式在上單調減函式，
∴成立。
型別五：極值與最值的應用----不等式恆成立，求引數範圍問題。
函式的極值與最值 帶答案
導數法解極值 最值問題 型別一 正向思維已知解析式求極值或最值 例1 已知函式。求的最大值 設實數，求函式在上的最小值 型別二 逆向思維已知極值或最值求解析式 例2 已知在時取得極值，且f 1 1 1 試求常數a b c的值 2 試判斷x 1是函式的極小值還是極大值，並說明理由 型別三 建構函式不等...
關於多元函式的極值和最值計算
一 可微函式的無條件極值 如果在區域上存在二階連續偏導數，我們可以用下面的方法求出極值。首先，通過解方程得到駐點。其次，對每個駐點求出二階偏導數 最後利用課本定理7.8進行判斷。函式在此點取極小值 函式在此點取極大值 函式在此點不取極值 不能確定。二 如何求多元函式的最值 如果函式在有界閉域上連續，...
高等數學 上冊 教案15函式的極值與最值
第3章導數的應用 函式的極值與最值 教學目的 1.理解函式的極值的概念 2.掌握求函式的極值的方法 3.了解最大值和最小值的定義 4.掌握求函式的最值的方法 5.會求簡單實際問題中的最值。教學重點 1.函式極值的第一充分條件，第二充分條件 2.導數不存在情況下極值的判定 3.函式最值的求解方法 4....