【學習目標】
1.能運用二次函式分析和解決簡單的實際問題，培養分析問題、解決問題的能力和應用數學的意識．
2.經歷探索實際問題與二次函式的關係的過程，深刻理解二次函式是刻畫現實世界的乙個有效的數學模型．
【要點梳理】
要點一、列二次函式解應用題
列二次函式解應用題與列整式方程解應用題的思路和方法是一致的，不同的是，學習了二次函式後，表示量與量的關係的代數式是含有兩個變數的等式．對於應用題要注意以下步驟：
(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變數之間的基本關係是什麼，找出等量關係(即函式關係)．
(2)設出兩個變數，注意分清自變數和因變數，同時還要注意所設變數的單位要準確．
(3)列函式表示式，抓住題中含有等量關係的語句，將此語句抽象為含變數的等式，這就是二次函式．
(4)按題目要求，結合二次函式的性質解答相應的問題。
(5)檢驗所得解是否符合實際：即是否為所提問題的答案．
(6)寫出答案．
要點詮釋：
常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實際問題關鍵是找等量關係，把實際問題轉化為函式問題，列出相關的函式關係式.
要點二、建立二次函式模型求解實際問題
一般步驟：(1)恰當地建立直角座標系；(2)將已知條件轉化為點的座標；(3)合理地設出所求函式關係式；(4)代入已知條件或點的座標，求出關係式；(5)利用關係式求解問題．
要點詮釋：
(1)利用二次函式解決實際問題，要建立數學模型，即把實際問題轉化為二次函式問題，利用題中存在的公式、內含的規律等相等關係，建立函式關係式，再利用函式的圖象及性質去研究問題.在研究實際問題時要注意自變數的取值範圍應具有實際意義.
(2)對於本節的學習，應由低到高處理好如下三個方面的問題：
①首先必須了解二次函式的基本性質；
②學會從實際問題中建立二次函式的模型；
③借助二次函式的性質來解決實際問題.
【典型例題】
型別一、利用二次函式求實際問題中的最大（小）值
1．某商場以每件30元的**購進一種商品，試銷中發現，這種商品每天的銷
量m(件)與每件的銷售價x(元)滿足一次函式：m＝162-3x．
(1)寫出商場賣出這種商品每天的銷售利潤y與每件的銷售價x之間的函式關係；
(2)如果商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適?最大銷售利潤為多少?
【思路點撥】
(1)根據總利潤＝售出件數×(每件商品售價-進價)列函式關係式；
(2)利用配方法求售價及最大銷售利潤.
【答案與解析】
(1)∵ 每件商品利潤為(x-30)元．
∴ 銷售m件商品利潤為m(x-30)元，
又∵ m＝162-3x，
∴ 每天利潤y＝(162-3x)(x-30)．
即y＝-3x2+252x-4860．
(2)∵ y＝-3x2+252x-4860＝-3(x-42)2+432，
又∵ a＝-3＜0，∴ 當x＝42時，＝432(元)．
答：(1)函式關係式為y＝-3x2+252x-4860；(2)每件商品售價42元時，可獲得最大利潤，
每天最大利潤是432元．
【點評】1．讀懂題意，弄清各個數量之間的關係是解決本題的關鍵；
2．在實際問題中遇到最大(小)值問題時，往往先建立函式關係式，然後通過配方化為頂點式求解．
舉一反三：
【實際問題與二次函式練習講解】
【變式】某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規定試銷期間銷售單價不低於成本單價，且獲利不超過45%，經試銷發現，銷售量y（件）與銷售單價x（元）符合一次函式，且時，；時，．
（1）若該商場獲利為w元，試寫出利潤w與銷售單價x之間的關係式，售價定為多少元時，商場可以獲利最大，最大利潤為多少元？
（2）若該商場獲利不低於500元，試確定銷售單價x的範圍．
【答案】
（1）據題意列，解得 ∴，
∴w ===
又∵60≤x≤60×（1+45%），即60≤x≤87，則x=87時獲利最多
將x=87代入，得w =－（87-90）2+900=891元 .
（2），即
或（舍）
則，但 ∴
答：略.
型別二、利用二次函式解決拋物線形建築問題
2．如圖所示，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度為6公尺，底部寬度om為12公尺．現以o點為原點，om所在直線為x軸建立直角座標系．
(1)直接寫出點m及拋物線頂點p的座標；
(2)求這條拋物線的解析式；
(3)若要搭建乙個矩形支撐架adcb，使c、d點在拋物線上，a、b點在地面om上，則這個「支撐架」總長的最大值是多少?
【答案與解析】
(1)m(12，0)，p(6，6)．
(2)設拋物線解析式為：．
∵ 拋物線經過點(0，0)，
∴ ，即．
∴ 拋物線解析式為：，即．
(3)設a(m，0)，則b(12-m，0)，c，d．
∴ 支撐架總長
．∵ 此二次函式的圖象開口向下．
∴ 當m＝3時，。ad+dc+cb有最大值為15公尺．
【點評】根據題意設拋物線解析式為頂點式，又拋物線經過原點，不難求出其解析式，設a(m，0)，
用含m的式子表示支撐架總長ad+dc+cb，根據函式性質求解．
型別三、利用二次函式求跳水、投籃等實際問題
3．某跳水運動員進行10 m跳台跳水訓練時，身體(看作一點)在空中的運動路線是如圖所示座標系下經過原點o的一條拋物線(圖中標出的資料為已知條件)．在跳某個規定動作時，正常情況下，該運動員在空中最高處距水面m，入水處距池邊的距離為4 m，同時，運動員在距離水面高度為5m以前，必須完成規定的翻騰動作，並調整好入水姿勢，否則就會出現失誤．
(1)求這條拋物線的關係式；
(2)在某次試跳中測得運動員在空中的運動路線是(1)中的拋物線，且運動員在空中調整好入水姿勢時，距池邊的水平距離為m，問此次跳水會不會失誤?並通過計算說明理由．
【答案與解析】
(1)在給定的直角座標系下，設最高點為a，入水點為b，拋物線的關係式為．
由題意知，o、b兩點的座標依次為(0，0)，(2，-10)，且頂點的縱座標為．
解得或∵ 拋物線對稱軸在y軸右側，∴ ，
又∵ 拋物線開口向下，
∴ a＜0，b＞0，∴ ，，c＝0．
∴ 拋物線關係式為．
(2)當運動員在空中距池邊的水平距離為m時，即
時，．∴ 此時運動員距水面的高為(m)．
因此，此次跳水會出現失誤．
【點評】(1)由圖中所示直角座標系，可知拋物線經過o、a、b三點，o、b兩點的座標由分析可知
o(0，0)、b(2，-10)，且點a的縱座標為，故可設拋物線，求得a、b、c的值．(2)會不會產生失誤即運動員完成動作時到水面的距離是否小於5公尺，換句話說就是完成動作時所對應的拋物線上的點的縱座標絕對值是否小於5公尺．
舉一反三：
【 實際問題與二次函式
例2】【變式】一位運動員在距籃下水平距離4公尺處跳起投籃，球執行的路線是拋物線，當球執行的水平距離為2.5公尺時，達到最大高度3.5公尺，然後準確落入籃圈，已知籃圈中心到地面的距離為3.
05公尺. 若該運動員身高1.8公尺，球在頭頂上方0.
25公尺處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少？
【答案】如圖建立直角座標系.
∵點(2.5，3.5)是這段拋物線的頂點
∴設解析式為： (a≠0)（0≤x≤4），帶入點（4,3.05），可求得：a=-0.2
∴（0≤x≤4），
即,當x=0時，y=2.25，∴距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.2公尺.
型別四、利用二次函式求圖形面積問題
4．在一邊靠牆的空地上，用磚牆圍成三格矩形場地，如圖所示．已知磚牆在地面上占地總長度160 m，問分隔牆在地面上的長度x為多少時所圍場地總面積最大?並求最大面積?
【思路點撥】
利用矩形的面積公式建立所圍場地總面積與分隔牆在地面上的長度x的函式關係式，寫成頂點式即可求出面積的最大值．
【答案與解析】
設所圍場地總面積是y m2，根據題意得
．所以分隔牆在地面上的長度x為20m時所圍場地總面積最大，這個最大面積是1600 m2．
【點評】此類問題一般是先運用幾何圖形的面積公式寫出圖形的面積y與邊長x之間的二次函式關係，再求出這個函式關係式的頂點座標，即為最大面積。
實際問題與二次函式 知識講解 提高
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實際問題與二次函式
測試6 實際問題與二次函式 學習要求 靈活地應用二次函式的概念解決實際問題 課堂學習檢測 1 矩形窗戶的周長是6m，寫出窗戶的面積y m2 與窗戶的寬x m 之間的函式關係式，判斷此函式是不是二次函式，如果是，請求出自變數x的取值範圍，並畫出函式的圖象 2 如圖，有一座拋物線型拱橋，已知橋下在正常水...
實際問題與二次函式
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