從二次方程轉換到二次函式
例1:已知某商品的進價為每件40元,現在的售價是每件60元,每星期可賣出300件。市場調查反映:
如調整** ,每漲價一元,每星期要少賣出10件;每降價一元,每星期可多賣出20件。如何定價才能使利潤最大?
我知道二次函式應用是難點,何況該題目又是漲價又是降價。我怕把學生弄糊塗,在九四班上課時先讓學生讀題弄明白題意,然後又讓學生討論。大約10分鐘,檢查結果很不理想,大部分學生對該題目感覺無從下手,相當一部分學生考慮問題的出發點總離不開方程。
在給九三班上課之前我就琢磨,怎樣才能讓學生從方程思想過渡到函式?函式也是解決實際問題的乙個重要的數學模型,是初中的重要內容之一。其實這類利潤問題的題目對於學生來說很熟悉,在上冊二次方程的應用,經常做關於利潤的題目,其中的數量關係學生也很熟悉,所不同的是方程題目告訴利潤求定價,函式題目不告訴利潤而求如何定價利潤最高。
如何解決二者之間跨越?再三琢磨,於是在第二節課的教學時我做了如下調整,設計成三個題目:
1、已知某商品的進價為每件40元,售價是每件60元,每星期可賣出300件。市場調查反映:如調整** ,每漲價1元,每星期要少賣出10件。
要想獲得6000元的利潤,該商品應定價為多少元?(學生很自然列方程解決)
改換題目條件和問題:
2、已知某商品的進價為每件40元,售價是每件60元,每星期可賣出300件。市場調查反映:如調整** ,每漲價一元,每星期要少賣出10件。
該商品應定價為多少元時,商場能獲得最大利潤?
分析:該題是求最大利潤,是個未知的量,引導學生發現該題目中有兩個變數——定價和利潤,符合函式定義,從而想到用函式知識來解決——二次函式的極值問題,並且利潤一旦設定,就當已知參與建立等式。
於是學生很容易完成下列求解。
解:設該商品定價為x元時,可獲得利潤為y元
依題意得: y = (x-40)〔300-10(x-60)〕
=-10x2 +1300x-36000
=-10(x-65)2 +6250 300-10(x-60)≥ 0
當x=65時,函式有最大值。 得x≤ 90
(40≤x ≤ 90)
即該商品定價65元時,可獲得最大利潤。
增加難度,即原例題
3、已知某商品的進價為每件40元。現在的售價是每件60元,每星期可賣出300件。市場調查反映:
如調整** ,每漲價一元,每星期要少賣出10件;每降價一元,每星期可多賣出20件。如何定價才能使利潤最大?
該題與第2題相比,多了一種情況,如何定價才能使利潤最大,需要兩種情況的結果作比較才能得出結論。我把題目全放給學生,結果學生很快解決。多了兩個題目,需要的時間更短,學生掌握的更好。
這說明我們在平時教學中確實需要掌握一些教學技巧,在題目的設計上要有梯度,給學生乙個循序漸進的過程,這樣學生學得輕鬆,老師教的輕鬆,還能收到好的效果。
教後記:方程好比一台照相機,記錄的是一變化過程的瞬間,函式好比一台攝像機,記錄的是整個的變化過程,但用函式思想求極值問題時,還是變化過程的瞬間,不必把函式想得那麼神秘,它反映的就是乙個變化過程。
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