【學習目標】
1.能運用二次函式分析和解決簡單的實際問題，培養分析問題、解決問題的能力和應用數學的意識．
2.經歷探索實際問題與二次函式的關係的過程，深刻理解二次函式是刻畫現實世界的乙個有效的數學模型．
【要點梳理】
要點一、列二次函式解應用題
列二次函式解應用題與列整式方程解應用題的思路和方法是一致的，不同的是，學習了二次函式後，表示量與量的關係的代數式是含有兩個變數的等式．對於應用題要注意以下步驟：
(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變數之間的基本關係是什麼，找出等量關係(即函式關係)．
(2)設出兩個變數，注意分清自變數和因變數，同時還要注意所設變數的單位要準確．
(3)列函式表示式，抓住題中含有等量關係的語句，將此語句抽象為含變數的等式，這就是二次函式．
(4)按題目要求，結合二次函式的性質解答相應的問題。
(5)檢驗所得解是否符合實際：即是否為所提問題的答案．
(6)寫出答案．
要點詮釋：
常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實際問題關鍵是找等量關係，把實際問題轉化為函式問題，列出相關的函式關係式.
要點二、建立二次函式模型求解實際問題
一般步驟：(1)恰當地建立直角座標系；(2)將已知條件轉化為點的座標；(3)合理地設出所求函式關係式；(4)代入已知條件或點的座標，求出關係式；(5)利用關係式求解問題．
要點詮釋：
(1)利用二次函式解決實際問題，要建立數學模型，即把實際問題轉化為二次函式問題，利用題中存在的公式、內含的規律等相等關係，建立函式關係式，再利用函式的圖象及性質去研究問題.在研究實際問題時要注意自變數的取值範圍應具有實際意義.
(2)對於本節的學習，應由低到高處理好如下三個方面的問題：
①首先必須了解二次函式的基本性質；
②學會從實際問題中建立二次函式的模型；
③借助二次函式的性質來解決實際問題.
【典型例題】
型別一、利用二次函式求實際問題中的最大（小）值
1. 某水產品養殖企業為指導該企業某種水產品的養殖和銷售，對歷年市場**和水產品養殖情況進行了調查．調查發現這種水產品的每千克售價y1(元)與銷售月份x (月)滿足關係式，而其每千克成本(元)與銷售月份x(月)滿足的函式關係如圖所示．
(1)試確定b，c的值；
(2)求出這種水產品每千克的利潤y(元)與銷售月份x(月)之間的函式關係式；(不要求指出x的取值範圍)
(3)「五一」之前，幾月份**這種水產品每千克的利潤最大?最大利潤是多少?
【答案與解析】
（1）把(3，25)，(4，24)代入中，得
解方程組得
(2)根據題意，得
．所以y與x的函式關係式為．
(3)由(2)得，，因為，所以當x＜6時，y隨x的增大而增大，所以「五一」之前，四月份**這種水產品每千克的利潤最大，最大利潤為10.5元．
【點評】在用二次函式知識解決實際問題時，有的同學易忽略自變數的取值範圍，有的題目結果中的值看上去有意義，但不一定符合題意，有的題目本身就隱含著對自變數的限制，常常考慮不周而造成錯解．
舉一反三：
【變式】某服裝公司試銷一種成本為每件50元的t恤衫，規定試銷時的銷售單價不低於成本價，又不高於每件70元，試銷中銷售量（件）與銷售單價（元）的關係可以近似的看作一次函式（如圖）．
（1）求與之間的函式關係式；
（2）設公司獲得的總利潤為元，求與之間的函式關係式，並寫出自變數的取值範圍；根據題意判斷：當取何值時，的值最大？最大值是多少？（總利潤總銷售額總成本）
【答案】（1）設與的函式關係式為：，
∵函式圖象經過點（60，400）和（70，300）
∴ 解得
∴（2）
（50≤x≤70）
∵，＜0
∴函式圖象開口向下，
對稱軸是直線x=75
∵50≤x≤70，此時y隨x的增大而增大,
∴當x=70時，.
型別二、利用二次函式解決拋物線形建築問題
2.某工廠大門是拋物線形水泥建築，大門地面寬為4m，頂部距離地面的高度為4.4m，現有一輛滿載貨物的汽車欲通大門，其裝貨寬度為2.4m，該車要想過此門，裝貨後
的最大高度應是多少m？
【思路點撥】
因為校門是拋物線形，不妨將這一問題轉化為二次函式進行研究，建立適當的直角座標系，將已知資料轉化為點的座標，從而確定函式關係式，再根據關係式求高．
【答案與解析】
解：建立如圖平面直角座標系：
設拋物線的解析式為y=ax2，
由題意得：點a的座標為（2，﹣4.4），
∴﹣4.4=4a，
解得：a=﹣1.1，
∴拋物線的解析式為y=﹣1.1x2，
當x=1.2時，
y=﹣1.1×1.44=﹣1.584，
∴線段ob的長為1.584公尺，
∴bc=4.4﹣1.584=2.816公尺，
∴裝貨後的最大高度為2.816公尺，
故答案為：2.816公尺．
【點評】利用二次函式解決拋物線形建築問題一般步驟：(1)恰當地建立直角座標系；(2)將已知條件轉化為點的座標；(3)合理地設出所求函式關係式；(4)代入已知條件或點的座標，求出關係式；(5)利用關係式求解問題．
型別三、利用二次函式求跳水、投籃等實際問題
3. 如圖所示，一位運動員在距籃下4公尺處跳起投籃，球執行的路線是拋物線，當球執行的水平距離為2.5 m時，達到最大高度3.
5 m，然後準確落入籃筐，已知籃筐中心到地面的距離為3.05 m，若該運動員身高1.8 m，在這次跳投中，球在頭頂上方0.
25 m處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少?
【答案與解析】
如圖所示，在直角座標系中，點a(1.5，3.05)表示籃筐，點b(0，3.5)表示球執行的最大高度，點c表示球員籃球出手處，其橫座標為-2.5，
設c點的縱座標為n，過點c、b、a所在的拋物線的解析式為，由於拋物線開口向下，則點b(0，3.5)為頂點座標，∴ ．
∵ 拋物線經過點a(1.5，3.05)，
∴ 3.05＝a·1.52+3.5，
∴ ．
∴ 拋物線解析式為．
∴ ，
∴ n＝2.25．
∴ 球出手時，球員跳離地面的高度為2.25-(1.8+0.25)＝0.20(公尺)．
【點評】首先要建立適當的平面直角座標系，建構函式模型，將已知資料轉化為點的座標，然後利用待定係數法求出函式解析式，再利用解析式求出拋物線上已知橫座標的點的縱座標，結合已知條件，得到實際問題的解．
型別四、利用二次函式求圖形的邊長、面積等問題
4. 一條隧道的截面如圖所示，它的上部是乙個以ad為直徑的半圓o，下部是乙個矩形abcd．
(1)當ad＝4公尺時，求隧道截面上部半圓o的面積；
(2)已知矩形abcd相鄰兩邊之和為8公尺，半圓o的半徑為r公尺．
①求隧道截面的面積s(m)2關於半徑r(m)的函式關係式(不要求寫出r的取值範圍)；
②若2公尺≤cd≤3公尺，利用函式圖象求隧道截面的面積s的最大值．(π取3.14，結果精確到0.1公尺)
【思路點撥】
①根據幾何圖形的面積公式可求關於面積的函式解析式；
②利用二次函式的有關性質，在自變數的取值範圍內確定面積的最大值．
【答案與解析】
(1) (公尺)；
(2)①∵ ad＝2r，ad+cd＝8，∴ cd＝8-ad＝8-2r，
∴ ．
②由①知，cd＝8-2r，又∵ 1.2公尺≤cd≤3公尺，
∴ 2≤8-2r≤3，∴ 2.5≤r≤3．
由①知， ．
∵ -2.43＜0，∴ 函式圖象為開口向下的拋物線，函式圖象對稱軸，
又2.5≤r≤3，由函式圖象知，在對稱軸左側s隨r的增大而增大，故當r＝3時，s有最大值．
(公尺)．
【點評】解此類問題，一般先應用幾何圖形的面積公式，寫出圖形的面積與邊長之間的關係，再用配方法或公式法求頂點座標，結合二次函式性質與自變數的取值範圍確定最大面積．
舉一反三：
【變式】如圖，矩形紙片abcd，ad=8，ab=10，點f在ab上，分別以af、fb為邊裁出的兩個小正方形紙片面積和s的取值範圍是
【答案】50≤s≤68．
【解析】解：設af=x，則bf=10﹣x，由題意，得
s=x2+（10﹣x）2，
s=2x2﹣20x+100，
s=2（x﹣5）2+50．
∴a=2＞0，
∴x=5時，s最小=50．
∵2≤x≤8，
當x=2時，s=68，
當x=8時，s=68．
∴50≤s≤68．
故答案為：50≤s≤68．
實際問題與二次函式 知識講解 基礎
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實際問題與二次函式
測試6 實際問題與二次函式 學習要求 靈活地應用二次函式的概念解決實際問題 課堂學習檢測 1 矩形窗戶的周長是6m，寫出窗戶的面積y m2 與窗戶的寬x m 之間的函式關係式，判斷此函式是不是二次函式，如果是，請求出自變數x的取值範圍，並畫出函式的圖象 2 如圖，有一座拋物線型拱橋，已知橋下在正常水...
實際問題與二次函式
要點梳理 知識點一 列二次函式解應用題 列二次函式解應用題與列整式方程解應用題的思路和方法是一致的，不同的是，學習了二次函式後，表示量與量的關係的代數式是含有兩個變數的等式 對於應用題要注意以下步驟 1 審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變數之間的基本關係是什麼，找出等量關係 即函...