正弦、余弦的圖象和性質
編稿：李霞審稿：孫永釗
【考綱要求】
1、會用「五點法」畫出正弦函式、余弦函式的簡圖；熟悉基本三角函式的圖象、定義域、值域、奇偶性、單調性及其最值；理解週期函式和最小正週期的意義.
2、理解正弦函式、余弦函式在區間的性質（如單調性、最大和最小值、與軸交點等）,理解正切函式在區間的單調性.
【知識網路】
【考點梳理】
考點一、「五點法」作圖
在確定正弦函式在上的圖象形狀時，最其關鍵作用的五個點是，，，，
考點二、三角函式的圖象和性質
要點詮釋：
①三角函式性質包括定義域、值域、奇偶性、單調性、週期性、最大值和最小值、對稱性等，要結合圖象記憶性質，反過來，再利用性質鞏固圖象．三角函式的性質的討論仍要遵循定義域優先的原則，研究函式的奇偶性、單調性及週期性都要考慮函式的定義域．
②研究三角函式的圖象和性質，應重視從數和形兩個角度認識，注意用數形結合的思想方法去分析問題、解決問題.
考點三、週期
一般地，對於函式，如果存在乙個不為0的常數,使得當取定義域內的每乙個值時，都有，那麼函式就叫做週期函式，非零常數叫做這個函式的週期，把所有週期中存在的最小正數，叫做最小正週期（函式的週期一般指最小正週期）.
要點詮釋：
應掌握一些簡單函式的週期：
①函式或的週期；
②函式的週期；
③函式的週期；
④函式的週期.
【典型例題】
型別一、定義域
例1．求函式的定義域.
【思路點撥】根據要使偶次根式有意義只需偶次根式下大於等於零即可，同時對數要有意義，再結合單位圓中的三角函式線解不等式即可.
【解析】為使函式有意義，需滿足，解得，由單位圓，如圖所示：
故函式的定義域為.
【總結昇華】求函式的定義域通常是解不等式組，利用「數形結合」.在求解三角函式中，我們可以在單位圓中畫三角函式線，求表示各三角不等式解集的扇形區域的交集來完成.
舉一反三：
【變式】求函式的定義域.
【解析】為使函式有意義，需滿足，即，
解得，由單位圓，如圖所示：
函式的定義域為.
例2．求函式的定義域.
【思路點撥】只需，同時對數要有意義，即底且，真數.
【解析】由題有
將上面的每個不等式的範圍在數軸上表示出來，然後取公共部分，由於x[-5,5]，故下面的不等式的範圍只取落入[-5，5]之內的值，
即：∴因此函式的定義域為：
【總結昇華】①sinx中的自變數x的單位是「弧度」，x∈r，不是角度.求定義域時，若需先把式子化簡，一定要注意變形時x的取值範圍不能發生變化.
②求三角函式的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函式線.
舉一反三：
【變式1】求函式的定義域：
（1）； （2）.
【解析】（1）要使得函式有意義，需滿足，
解得或，
∴定義域為：.
（2）要使得函式有意義，需滿足
解得∴定義域為：.
【變式2】已知的定義域為，求的定義域.
【解析】∵中，∴中，
解得，∴的定義域為：.
型別二、值域
例3.求下列函式的值域：
（1） （2）
【思路點撥】（1）解析式利用二倍角的正弦公式化簡後求值域；（2）利用兩角和公式對函式解析式化簡整理，進而根據正弦函式的性質求得函式的最大值與最小值，注意自變數的取值範圍.
【解析】（1）根據可知，
故函式的值域為.
（2），
由知，由正弦函式的單調性可知，
故函式的值域為.
【總結昇華】①形如或，可根據的有界性來求最值；②形如或可看成關於的二次函式，但也要注意它與二次函式求最值的區別，其中；③形如可化為（其中）的形式來確定最值.
舉一反三：
【變式】已知且，求函式的值域.
【解析】,且，且，
由正切函式的單調性可知或，
故函式的值域為.
型別三、奇偶性
例4.判斷下列函式的奇偶性：
（1） （2）
【思路點撥】（1）先觀察定義域為r，再判斷f(x)與f（-x）的關係，可得答案；（2）先觀察定義域，注意到定義域區間不關於原點對稱，易得出答案.
【解析】（1）函式的定義域為r，
是偶函式.
（2）由題意有，故，所以函式的定義域為，
顯然函式的定義域區間不關於原點對稱，所以函式既不是奇函式也不是偶函式.
【總結昇華】定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要不充分條件。判斷函式奇偶性常見步驟：①判定定義域是否關於原點對稱；②判定f(x)與f（-x）的關係.
舉一反三：
【變式】判斷函式的奇偶性.
【解析】，
故是奇函式.
型別四、週期性
例5. 求下列函式的週期：
（1）；（2）
【思路點撥】運用公式化簡轉化為熟悉的三角函式的週期.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）， ∴週期為；
（2）函式的週期， ∴週期為.
【總結昇華】① 求三角函式式的最小正週期時，要盡可能地化為只含乙個三角函式，且三角函式的次數為1的形式，比如或的形式，否則很容易出現錯誤.
②函式或的週期，函式的週期.
舉一反三：
【變式】求函式的最小正週期．
（1）； （2）； （3）
【解析】（1），∴週期為；
（2），∴週期為；
（3），∴週期為.
型別五、單調區間
例6．求函式的單調區間.
【思路點撥】借助正弦函式圖象及含有絕對值的函式圖象的畫法，來幫助分析.
【解析】令，則，
函式的週期為，且圖象如圖所示：
顯然，當時，單調遞減；
當時，單調遞增；
∴當時，單調遞減；
當時，單調遞增；
故的單調遞減區間為；單調遞增區間為.
【總結昇華】復合三角函式的單調區間是運用基本函式的單調性及單調區間得出來的.
舉一反三：
【變式】求函式的單調區間：
【解析】令，則， 且
顯然函式在始終是單調遞減的，
所以時，單調遞增，單調遞減；
時，單調遞減，單調遞增；
故單調遞減區間為；單調遞增區間為.
型別六、綜合
例7. 已知函式，
（1）求的定義域及最小正週期；
（2）求的單調遞增區間.
【思路點撥】通過二倍角與兩角差的正弦函式，化簡函式的表示式，（1）直接求出函式的定義域和最小正週期．（2）利用正弦函式的單調增區間，結合函式的定義域求出函式的單調增區間即可．
【解析】（1）由題知，即，
所以的定義域為，
.（2）由，即，單調遞增，
故的單調遞增區間區間為.
【總結昇華】對於較為複雜的三角函式，可通過恒等變形轉化為或的形式進行. 求三角函式的最小正週期，一般運用公式來求解；注意三角函式的單調性的求解.
舉一反三：
【變式1】 函式()的最大值為3， 其影象相鄰兩條對稱軸之間的距離為．
(1)求函式的解析式；
(2)設，則，求的值．
【解析】(1)∵函式f(x)的最大值為3，∴a＋1＝3，即a＝2．
∵函式影象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，
∴最小正週期t＝π．
∴ω＝2．故函式的解析式為
(2)∵，即
∵∴∴， 故
【變式2】已知函式
（1）求函式的最小正週期和圖象的對稱軸方程；
（2）求函式在區間上的值域.
【解析】（1）
∴的最小正週期
由，得函式圖象的對稱軸方程為：
（2）因為在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
所以當時，取最大值1，
又，當時，取最小值,
所以函式在區間上的值域為.
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