指數與指數冪的運算
編稿：丁會敏審稿：王靜偉
【學習目標】
1.理解分數指數的概念，掌握有理指數冪的運算性質
(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性質，能根據性質進行相應的根式計算；
(2)能認識到分數指數是指數概念由整數向有理數的一次推廣，了解它是根式的一種新的寫法，能正確進行根式與分數指數冪的互化；
(3)能利用有理指數運算性質簡化根式運算.
2.掌握無理指數冪的概念，將指數的取值範圍推廣到實數集；
3.通過指數範圍的擴大，我們要能理解運算的本質，認識到知識之間的聯絡和轉化，認識到符號化思想的重要性，在抽象的符號或字母的運算中提高運算能力；
4.通過對根式與分數指數冪的關係的認識，能學會透過表面去認清事物的本質．
【要點梳理】
要點一、整數指數冪的概念及運算性質
1．整數指數冪的概念
2．運算法則
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
要點二、根式的概念和運算法則
1．n次方根的定義：
若xn=y(n∈n*，n>1，y∈r)，則x稱為y的n次方根.
n為奇數時，正數y的奇次方根有乙個，是正數，記為；負數y的奇次方根有乙個，是負數，記為；零的奇次方根為零，記為；
n為偶數時，正數y的偶次方根有兩個，記為；負數沒有偶次方根；零的偶次方根為零，記為.
2．兩個等式
（1）當且時，；
（2）要點詮釋：
①要注意上述等式在形式上的聯絡與區別；
②計算根式的結果關鍵取決於根指數的取值，尤其當根指數取偶數時，開方後的結果必為非負數，可先寫成的形式，這樣能避免出現錯誤．
要點三、分數指數冪的概念和運算法則
為避免討論，我們約定a>0，n，mn*，且為既約分數，分數指數冪可如下定義：
要點四、有理數指數冪的運算
1．有理數指數冪的運算性質
(1)(2)(3)當a>0，p為無理數時，ap是乙個確定的實數，上述有理數指數冪的運算性質仍適用.
要點詮釋：
(1)根式問題常利用指數冪的意義與運算性質，將根式轉化為分數指數冪運算；
(2)根式運算中常出現乘方與開方並存，要注意兩者的順序何時可以交換、何時不能交換.如；
(3)冪指數不能隨便約分.如.
2.指數冪的一般運算步驟
有括號先算括號裡的；無括號先做指數運算．負指數冪化為正指數冪的倒數．底數是負數，先確定符號，底數是小數，先要化成分數，底數是帶分數，先要化成假分數，然後要盡可能用冪的形式表示，便於用指數運算性質．在化簡運算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的運用，能夠簡化運算.
【典型例題】
型別一、根式
例1.求下列各式的值：
（1）.
【答案】 -3；；；
【解析】 熟練掌握基本根式的運算，特別注意運算結果的符號.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）【總結昇華】（1）求偶次方根應注意，正數的偶次方根有兩個，例如，4的平方根是，但不是.
（2）根式運算中，經常會遇到開方與乘方兩種運算並存的情況，應注意兩者運算順序是否可換，何時可換.
舉一反三：
【變式1】計算下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）.
【答案】（1）-2；（2）3；（3）；（4）.
例2.計算：（1）；
（2）.
【答案】．
【解析】 對於（1）需把各項被開方數變為完全平方形式，然後再利用根式運算性質求解.對於（2），則應分子、分母同乘以分母的有理化因式.
（1）=+-
==||+||-||
=+-（）
=2 （2）
【總結昇華】對於多重根式的化簡，一般是設法將被開方數化成完全次方，再解答，或者用整體思想來解題.化簡分母含有根式的式子時，將分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，的分子、分母中同乘以.
舉一反三：
【變式1】化簡：（1）；
（2）【答案】（1）；（2）
型別二、指數運算、化簡、求值
例3.用分數指數冪形式表示下列各式（式中）：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】；；；
【解析】先將根式寫成分數指數冪的形式，再利用冪的運算性質化簡即可．
（1）（2）；
（3）；
（4）解法一：從裡向外化為分數指數冪===
==解法二：從外向裡化為分數指數冪．
*****
【總結昇華】 此類問題應熟練應用．當所求根式含有多重根號時，要搞清被開方數，由里向外或由外向裡，用分數指數冪寫出，然後再用性質進行化簡．
舉一反三：
■高畫質課程：指數與指數運算例1
【變式1】把下列根式用指數形式表示出來，並化簡
（1）；
【答案】（1）；（2）．
【變式2】把下列根式化成分數指數冪：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】；；；
【解析】（1）=；
（2）；
（3）；
（4）=
=．例4.計算：
(1)；
(2)(3)．
【答案】 3；0；2
【解析】(1)原式=；
(2)原式=；
(3)原式=-5+6+4--(3-)=2；
注意：（1）運算順序(能否應用公式)；（2）指數為負先化正；（3）根式化為分數指數冪.
舉一反三：
【變式1】計算下列各式：
(1)； (2).
【答案】 112；．
【解析】(1)原式=；
(2)原式.
【變式2】計算下列各式：■高畫質課程：指數與指數運算例3
【答案】21+
【解析】原式=16++5+2+=21+．
例5.化簡下列各式.
(1)； (2)； (3).
【答案】；；0.09
【解析】(1)即合併同類項的想法，常數與常數進行運算，同一字母的化為該字母的指數運算；(2)對字母運算的理解要求較高，即能夠認出分數指數的完全平方關係；(3)具體數字的運算，學會如何簡化運算.
(1)(2)(3)舉一反三：
【變式1】化簡：
.【答案】
【解析】原式=.
注意：當n為偶數時，.
【變式2】化簡
【答案】
【解析】應注意到之間的關係，對分子使用乘法公式進行因式分解，原式.
【總結昇華】根式的化簡結果應寫為最簡根式.(1)被開方數的指數與根指數互質；(2)被開方數分母為1，且不含非正整數指數冪；(3)被開方數的每個因數的指數小於根指數.
【變式3】化簡下列式子：
(123)
【答案】；；
【解析】 (1)原式
(2)∴由平方根的定義得：
(3).■高畫質課程：指數與指數運算例4
例6．已知，求的值．
【答案】
【解析】 從已知條件中解出的值，然後代入求值，這種方法是不可取的，而應設法從整體尋求結果與條件的聯絡，進而整體代入求值．
， ， ， =
=【總結昇華】 對於「條件求值」問題一定要弄清已知與未知的聯絡，然後採用「整體代換」或「化簡後代換」方法求值．本題的關鍵是先求及的值，然後整體代入．
舉一反三：
【變式1】求值：
(1)已知，求的值；
(2)已知a>0， b>0， 且ab=ba， b=9a，求a的值.
【答案】 23；
【解析】熟練掌握冪的運算是關鍵問題.
(2)a>0， b>0， 又∵ ab=ba， ∴∴.
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