第0216課時導數在函式中的應用——極值和最值
【基礎再現】
1. 已知函式f(x)＝4x3－x4在x＝x0處取極值，則x0
答案：3
意圖：求函式的極值點
2. 函式y＝的極大值點為
答案：令，當時，；當時，，，在定義域內只有乙個極值點為x=e.
意圖：求函式的極大值點
3.函式y＝x－4x＋3在區間[－2,3]上的最小值為
答案：得而端點的函式值，得
意圖：複習求最值的基本方法.
4.函式y＝x＋2cosx在區間[0,]上的最大值是
答案：意圖：考察有關三角函式極值和最值的問題.
5. 若函式y＝x3＋ax2＋bx＋30在x＝－1和x＝3處有極值，則a＋2b
答案：－15
意圖：已知極值求變數的值
【典型例題】
例1．求函式f(x)＝x－x＋1在區間[－3,]上的極值和最值．
答案：極大值f(0)＝1，極小值f(1)＝
最大值1，最小值f(－3)＝－12.5
意圖：複習列表求函式的極值和最值
例2．函式f(x)＝x＋ax2＋bx＋a在x＝1時有極值10，那麼a，b的值分別為________.
解：當時，不是極值點
意圖：知道極值求引數，應注意，「導數等於0」只是「此點為極值點」的必要條件，故需檢驗所求的結果.
例3．若函式f(x)＝ax－bx＋4，當x＝2時，函式f(x)有極值－，
（1）求函式的解析式；
（2）若函式f(x)＝k有3個解，求實數k的取值範圍．
解：,（1）由題意：,解得.
所求解析式為
（2）由（1）可得：
令，得或
當變化時，、的變化情況如下表：
因此，當時，有極大值;
當時，有極小值;
函式的圖象大致如圖y=k
由圖可知：
設計意圖：（1）極大值，極小值是否就是最大值，最小值，要與區間兩端點的函式值進行比較，才能下結論.（2）在已知函式f(x)是增函式（或減函式）求引數的取值範圍時，應令恆成立，解出引數的取值範圍，然後檢驗引數的取值能否使f』(x)恆等於0，若能恆等於0，則引數的這個值應捨去，若f』(x)不恒為0，則由，x恆成立解出的引數的取值範圍確定.
變式：已知函式f(x)＝x－ax2＋bx＋c的圖象為曲線e.
(ⅰ) 若曲線e上存在點p，使曲線e在p點處的切線與x軸平行，求a,b的關係；
(ⅱ) 說明函式f(x)可以在x＝－1和x＝3時取得極值，並求此時a,b的值；
(ⅲ) 在滿足(ⅱ)的條件下，f(x)＜2c在x∈[－2,6]恆成立，求c的取值範圍.
解：(1),設切點為,則曲線在點p的切線的斜率,由題意知有解，
∴即. (2)若函式可以在和時取得極值，
則有兩個解和，且滿足.
易得.(3)由(2)，得.
根據題意， ()恆成立.
∵函式（）在時有極大值（用求導的方法），
且在端點處的值為.
∴函式（）的最大值為.
所以.【課後強化】
1.函式f(x)＝x3－3x的極小值為
2. 若函式f(x)＝x(x－c)在x＝2處有極大值，則常數c的值為
3. 設f(x)＝x－x－2x＋5，當x∈[－1,2]時，f(x)＜m恆成立，則實數m的取值範圍為
4. 已知函式f(x)的導數f ′(x)＝a(x＋1)(x－a),若f(x)在x＝a處取到極大值，則a的取值範圍是
5. 函式f(x)＝x3－3x＋a在閉區間[－3，0]上的最大值3，則a的值是
6. 若f(x)＝x＋3ax＋3(a＋2)x＋1有極大值和極小值，則a的取值範圍是
7. 右圖是函式y＝f(x)的導函式y＝f ′(x)的圖象，給出下列命題：
①—3是函式y＝f(x)的極值點；
②—1是函式y＝f(x)的最小值點；
③y＝f(x)在x＝0處切線的斜率小於零；
④y＝f(x)在區間（—3，1）上單調遞增.
則正確命題的序號是
8.已知函式y＝f(x)在定義域（－，3）上可導，其影象如圖，記y＝f(x)的導函式y＝f ′(x)，則不等式xf ′(x)≤0的解集是________.
9. 求下列函式的值域：
（1） f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,2]
（2）f(x)＝2ln(1＋x) －x2，x∈[0,2]．
10. 已知函式y＝ax＋bx，當x＝1時，有極大值3；
（1）求a,b的值；（2）求函式y的極小值.
11. 已知函式f(x)＝ax＋bx－3x(a,b∈r)
在點（1，f(1)）處的切線方程為y＋2＝0．.
（1）求函式f(x)的解析式；
（2）若對於區間[－2,2]上任意兩個自變數的值x,x，都有|f(x)－f(x)|≤c，求實數c的最小值。
參***：1. 1個
2. 3.
4. （0，+）
5. 1
6. a>2或a<-1
7. ①④
8. 9. （1）[－37，3]
(2)[2ln2－，2ln3－2]
10．解：（1）當時，，
即（2），令，得
11. 解：⑴．
根據題意，得即解得
所以．⑵令，即．得．
因為，，
所以當時，，．
則對於區間上任意兩個自變數的值，都有
，所以．
教案 導數在研究函式中的應用
三維目標 1 了解導數的物理意義 幾何意義，了解函式的單調性和導數的關係。2 會求不超過三次的多項式函式的單調區間 極值 最值。3 通過相應題型的講練掌握導數應用的題型，總結歸納解題方法。教學重點 難點 導數應用求解函式的單調區間，極值最值和恆成立問題。教學方法 在掌握導數求導的前提下，熟悉並掌握導...
導數在研究函式中的應用教案
第二章函式與導數第12課時導數在研究函式中的應用 對應學生用書 文 理 30 32頁 1.選修22p28例1改編 函式f x x3 15x2 33x 6的單調減區間為 答案 1，11 解析 f x 3x2 30x 33 3 x 11 x 1 由 x 11 x 1 0，得單調減區間為 1，11 亦可填...
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一 可微函式的無條件極值 如果在區域上存在二階連續偏導數，我們可以用下面的方法求出極值。首先，通過解方程得到駐點。其次，對每個駐點求出二階偏導數 最後利用課本定理7.8進行判斷。函式在此點取極小值 函式在此點取極大值 函式在此點不取極值 不能確定。二 如何求多元函式的最值 如果函式在有界閉域上連續，...