第二章函式與導數第12課時導數在研究函式中的應用(對應學生用書(文)、(理)30～32頁)
, 1. (選修22p28例1改編)函式f(x)＝x3－15x2－33x＋6的單調減區間為
答案：(－1，11)
解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，由(x－11)(x＋1)<0，得單調減區間為(－1，11)．亦可填寫閉區間或半開半閉區間．
2. (選修22p34習題3改編)若函式f(x)＝ex－ax在x＝1處取到極值，則a
答案：e
解析：由題意，f′(1)＝0，因為f′(x)＝ex－a，所以a＝e.
3. (選修22p34習題8)函式y＝x＋sinx，x∈[0，2π]的值域為________．
答案：[0，2π]
解析：由y′＝1＋cosx≥0，所以函式y＝x＋sinx在[0，2π]上是單調增函式，所以值域為[0，2π]．
4. (原創)已知函式f(x)＝－x2＋blnx在區間[，＋∞)上是減函式，則b的取值範圍是________．
答案：(－∞，4]
解析：f′(x)＝－x＋≤0在[2，＋∞)上恆成立，即b≤x2在[2，＋∞)上恆成立．
5. (選修22p35例1改編)用長為90cm、寬為48cm的長方形鐵皮做乙個無蓋的容器，先在四角分別截去乙個小正方形，然後把四邊翻摺90°角，再焊接而成，則該容器的高為________cm時，容器的容積最大．
答案：10
解析：設容器的高為xcm，即小正方形的邊長為xcm，該容器的容積為v，則v＝(90－2x)(48－2x)x＝4(x3－69x2＋1080x)，00；當101. 函式的單調性與導數
在區間(a，b)內，函式的單調性與其導數的正負有如下關係：
如果f′(x)>0，那麼函式y＝f(x)為該區間上的增函式；
如果f′(x)<0，那麼函式y＝f(x)為該區間上的減函式．
2. 函式的極值與導數
(1) 函式極值的定義
若函式f(x)在點x＝a處的函式值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函式值都要小，f(a)叫函式的極小值．
若函式f(x)在點x＝b處的函式值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函式值都要大，f(b)叫函式的極大值，極小值和極大值統稱為極值．
(2) 求函式極值的方法
解方程f′(x)＝0，當f′(x0)＝0時，
① 如果在x0附近左側單調遞增，右側單調遞減，那麼f(x0)是極大值．
② 如果在x0附近左側單調遞減，右側單調遞增，那麼f(x0)是極小值．
3. 函式的最值
(1) 最大值與最小值的概念
如果在函式定義域i內存在x0，使得對任意的x∈i，總有f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為函式f(x)在定義域上的最大值．如果在函式定義域i內存在x0，使得對任意的x∈i，總有f(x)≥f(x0)，則稱f(x0)為函式f(x)在定義域上的最小值．
(2) 求函式y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟
① 求函式y＝f(x)在(a，b)內的極值．
② 將函式y＝f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較，其中值最大的乙個是最大值，值最小的乙個是最小值．
4. 生活中的優化問題
解決優化問題的基本思路是：
題型1 導數與函式的單調性
例1 已知函式f(x)＝x3－ax－1.
(1) 若a＝3時，求f(x)的單調區間；
(2) 若f(x)在實數集r上單調遞增，求實數a的取值範圍；
(3) 是否存在實數a，使f(x)在(－1，1)上單調遞減？若存在，求出a的取值範圍；若不存在，說明理由．
解：(1) 當a＝3時，f(x)＝x3－3x－1，∴ f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)>0即3x2－3>0，解得x>1或x<－1，
∴ f(x)的單調增區間為(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
同理可求f(x)的單調減區間為(－1，1)．
(2) f′(x)＝3x2－a.
∵ f(x)在實數集r上單調遞增，
∴ f′(x)≥0恆成立，即3x2－a≥0恆成立，∴ a≤(3x2)min.
∵ 3x2的最小值為0，∴ a≤0.
(3) 假設存在實數a使f(x)在(－1，1)上單調遞減，
∴ f′(x)≤0在(－1，1)上恆成立，即a≥3x2.
又3x2∈[0，3)，∴ a≥3.
∴ 存在實數a使f(x)在(－1，1)上單調遞減，且a≥3.
(1) 已知函式 f(x)＝x2－mlnx＋(m－1)x，當 m≤0 時，試討論函式 f(x) 的單調性；
(2) 若函式f(x)＝－＋blnx在(1，＋∞)上是減函式，求實數b的取值範圍．
解：(1)函式的定義域為，f′(x)＝x－＋(m－1)＝＝.
①當－10，得01，
令f′(x)<0，得－m∴ 函式 f(x)的單調遞增區間是和，單調遞減區間是；
②當m≤－1時，同理可得，函式 f(x)的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.
(2)由f(x)＝－＋blnx，得f′(x)＝－(x－2)＋，
由題意，知f′(x)≤0即－＋≤0在上恆成立，∴ b≤，
當x∈時，∈，∴ b≤1.
題型2 導數與函式的極值、最值
例2 設函式f(x)＝(x2＋ax＋b)ex(x∈r)．
(1) 若a＝2，b＝－2，求函式f(x)的極大值；
(2) 若x＝1是函式f(x)的乙個極值點．
① 試用a表示b；
② 設a＞0，函式g(x)＝(a2＋14)ex＋4.若 ξ1、ξ2∈[0，4]，使得|f(ξ1)－g(ξ2)|＜1成立，求a的取值範圍．
解：(1) ∵ f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋b)ex＝[x2＋(2＋a)x＋(a＋b)]ex，
當a＝2，b＝－2時，f(x)＝(x2＋2x－2)ex，
則f′(x)＝(x2＋4x)ex，
令f′(x)＝0得(x2＋4x)ex＝0，
∵ ex≠0, ∴ x2＋4x＝0，解得x＝－4或x＝0，
列表如下：
∴ 當x＝－4時，函式f(x)取極大值，f(x)極大值＝.
(2) ① 由(1)知f′(x)＝[x2＋(2＋a)x＋(a＋b)]ex.
∵ x＝1是函式f(x)的乙個極值點，∴ f′(1)＝0，
即e[1＋(2＋a)＋(a＋b)]＝0，解得b＝－3－2a.
② 由①知f′(x)＝ex[x2＋(2＋a)x＋(－3－a)]
＝ex(x－1)[x＋(3＋a)]，
當a＞0時，f(x)在區間(0，1)上的單調遞減，在區間(1，4)上單調遞增，
∴ 函式f(x)在區間[0，4]上的最小值為f(1)＝－(a＋2)e.
∵ f(0)＝b＝－3－2a＜0，f(4)＝(2a＋13)e4＞0，
∴ 函式f(x)在區間[0，4]上的值域是[f(1)，f(4)]，
即[－(a＋2)e，(2a＋13)e4]．
又g(x)＝(a2＋14)ex＋4在區間[0，4]上是增函式，且它在區間[0，4]上的值域是[(a2＋14)e4，(a2＋14)e8]，
∴ (a2＋14)e4－(2a＋13)e4＝(a2－2a＋1)e4＝(a－1)2e4≥0，
∴ 存在ξ1、ξ2∈[0，4]使得|f(ξ1)－g(ξ2)|＜1成立只須(a2＋14)e4－(2a＋13)e4＜1 (a－1)2e4＜1 (a－1)2＜ 1－＜a＜1＋.
已知函式f(x)＝ax3＋bx2－3x(a、b∈r)在點x＝－1處取得極大值為2.
(1) 求函式f(x)的解析式；
(2) 若對於區間[－2，2]上任意兩個自變數的值x1、x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤c，求實數c的最小值．
解：(1) f′(x)＝3ax2＋2bx－3.
由題意，得即解得
所以f(x)＝x3－3x.
(2) 令f′(x)＝0，即3x2－3＝0，得x＝±1.
因為f(－1)＝2，f(1)＝－2，所以當x∈[－2，2]時，f(x)max＝2，f(x)min＝－2.
則對於區間[－2，2]上任意兩個自變數的值x1、x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤|f(x)max－f(x)min|＝4，所以c≥4.
所以c的最小值為4.
題型3 導數在實際問題中的應用
例3 請你設計乙個包裝盒，如圖所示，abcd是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得a、b、c、d四個點重合於圖中的點p，正好形成乙個正四稜柱形狀的包裝盒，e、f在ab上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設ae＝fb＝x cm.
教案 導數在研究函式中的應用
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