求函式值域十二法
求函式的值域或最值是高中數學基本問題之一，也是考試的熱點和難點之一。遺憾的是教材中僅有少量求定義域的例題、習題，而求值域或最值的例題、習題則是少得屈指可數。原因可能是求函式的值域往往需要綜合用到眾多的知識內容，技巧性強，有很高的難度，因此求函式的值域或最值的方法需要我們在後續的學習中逐步強化。
本文談一些求函式值域的方法，僅作拋磚引玉吧。
一、 基本知識
1． 定義：因變數y的取值範圍叫做函式的值域（或函式值的集合）。
2． 函式值域常見的求解思路：
⑴．劃歸為幾類常見函式，利用這些函式的圖象和性質求解。
⑵．反解函式，將自變數x用函式y的代數式形式表示出來，利用定義域建立函式y的不等式，解不等式即可獲解。
⑶．可以從方程的角度理解函式的值域，如果我們將函式看作是關於自變數的方程，在值域中任取乙個值，對應的自變數一定為方程在定義域中的乙個解，即方程在定義域內有解；另一方面，若取某值，方程在定義域內有解，則一定為對應的函式值。從方程的角度講，函式的值域即為使關於的方程在定義域內有解的得取值範圍。
特別地，若函式可看成關於的一元二次方程，則可通過一元二次方程在函式定義域內有解的條件，利用判別式求出函式的值域。
⑷．可以用函式的單調性求值域。
⑸．其他。
3． 函式值域的求法
在以上求解思路的引導下，又要注意以下的常見求法和技巧：
⑴．觀察法；⑵．最值法；⑶．判別式法；⑷．反函式法；⑸．換元法；⑹．復合函式法；⑺．利用基本不等式法；⑻．利用函式的單調性；⑼．利用三角函式的有界性；⑽．圖象法；⑾．配方法；⑿．構造法。
二、 舉例說明
⑴．觀察法：由函式的定義域結合圖象，或直觀觀察，準確判斷函式值域的方法。
例1：求函式的值域
例2：求函式的值域
⑵．最值法：對於閉區間上的連續函式，利用函式的最大值、最小值求函式的值域的方法。
例3：求函式，的值域
例4：求函式的值域
⑶．判別式法：通過二次方程的判別式求值域的方法。
例5：求函式的值域
⑷．反函式法：利用求已知函式的反函式的定義域，從而得到原函式的值域的方法。
例6：求函式的值域
例7：求函式，的值域
⑸．換元法：通過對函式恒等變形，將函式化為易求值域的函式形式來求值域的方法。
例8：求函式的值域
⑹．復合函式法：對函式，先求的值域充當的定義域，從而求出的值域的方法。
例9：求函式的值域
⑺．利用基本不等式求值域：
例10：求函式的值域
例11：求函式的值域
⑻．利用函式的單調性：
例12：求函式的值域。
提示：，，∴都是增函式，故是減函式，因此當時，，又∵，∴。
例13：求函式的值域。
略解：易知定義域為，而在上均為增函式，∴，故
⑼．利用三角函式的有解性：
例14：求函式的值域
例15：求函式的值域
⑽．圖象法：如果可能做出函式的圖象，可根據圖象直觀地得出函式的值域（求某些分段函式的值域常用此方法）。
例16：求函式的值域
求函式值域方法很多，常用的有以上這些，這些方法分別具有極強的針對性，每一種方法又不是萬能的。要順利解答求函式值域的問題，必須熟練掌握各種技能技巧。
⑾．配方法：當所給函式是二次函式或可化為二次函式的復合函式時,可以利用配方法求函式值域。
例17：求函式的值域。
點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函式的最值求。
解：由,可知函式的定義域為x∈[－1，2]。此時
∴,函式的值域是。
⑿．構造法：根據函式的結構特徵，賦予幾何圖形，數形結合。
例18：求函式的值域。
點撥：將原函式變形，構造平面圖形，由幾何知識，確定出函式的值域。
解：原函式變形為
作乙個長為4、寬為3的矩形abcd，再切割成12個單位
正方形。設hk=,則ek=2,kf=2,ak=,
kc= 。
由三角形三邊關係知，ak+kc≥ac=5。當a、k、c三點共
線時取等號。
∴原函式的知域為｛y|y≥5｝。
高中數學解題方法指導 求函式值域十二法
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