第十章導數及其應用
§10.1導數及其運算
一、知識導學
1.瞬時變化率：設函式在附近有定義，當自變數在附近改變量為時，函式值相應地改變，如果當趨近於0時，平均變化率趨近於乙個常數c（也就是說平均變化率與某個常數c的差的絕對值越來越小，可以小於任意小的正數），那麼常數c稱為函式在點的瞬時變化率。
2.導數：當趨近於零時，趨近於常數c。可用符號「」記作：當時，或記作，符號「」讀作「趨近於」。函式在的瞬時變化率，通常稱作在處的導數，並記作。
3.導函式：如果在開區間內每一點都是可導的，則稱在區間可導。
這樣，對開區間內每個值，都對應乙個確定的導數。於是，在區間內，構成乙個新的函式，我們把這個函式稱為函式的導函式。記為或（或）。
4.導數的四則運算法則：1）函式和（或差）的求導法則：設，是可導的，則即，兩個函式的和（或差）的導數，等於這兩個函式的導數的和（或差）。
2）函式積的求導法則：設，是可導的，則即，兩個函式的積的導數，等於第乙個函式的導數乘上第二個函式，加上第乙個函式乘第二個函式的導數。
3）函式的商的求導法則：設，是可導的，，則
5.復合函式的導數:設函式在點處有導數,函式在點的對應點處有導數,則復合函式在點處有導數,且.
6.幾種常見函式的導數：
(12)
(34)
(56)
(78)
二、疑難知識導析
1.導數的實質是函式值相對於自變數的變化率
2.運用復合函式的求導法則,應注意以下幾點
（1）利用復合函式求導法則求導後,要把中間變數換成自變數的函式,層層求導.
(2) 要分清每一步的求導是哪個變數對哪個變數求導，不能混淆，一直計算到最後，常出現如下錯誤，如實際上應是。
(3) 求復合函式的導數，關鍵在於分清楚函式的復合關係，選好中間變數，如選成，計算起來就複雜了。
3.導數的幾何意義與物理意義
導數的幾何意義，通常指曲線的切線斜率.導數的物理意義，通常是指物體運動的瞬時速度。對導數的幾何意義與物理意義的理解，有助於對抽象的導數定義的認識，應給予足夠的重視。
4. 表示處的導數，即是函式在某一點的導數；表示函式在某給定區間內的導函式，此時是在上的函式，即是在內任一點的導數。
5.導數與連續的關係
若函式在處可導，則此函式在點處連續，但逆命題不成立，即函式
在點處連續，未必在點可導，也就是說，連續性是函式具有可導性的必要條件，而不是充分條件。
6.可以利用導數求曲線的切線方程
由於函式在處的導數，表示曲線在點處切線的斜率，因
此，曲線在點處的切線方程可如下求得：
（1）求出函式在點處的導數，即曲線在點處切線的斜率。
（2）在已知切點座標和切線斜率的條件下，求得切線方程為：，如果曲線在點的切線平行於軸（此時導數不存在）時，由切線定義可知，切線方程為.
三、經典例題導講
[例1]已知,則
錯因：復合函式求導數計算不熟練,其與係數不一樣也是乙個復合的過程,有的同學忽視了,導致錯解為:.
正解：設,,則
.[例2]已知函式判斷f(x)在x=1處是否可導？
錯解：。
分析： 分段函式在「分界點」處的導數，須根據定義來判斷是否可導 .
解：∴ f(x)在x=1處不可導.
注：，指逐漸減小趨近於0；，指逐漸增大趨近於0。
點評：函式在某一點的導數，是乙個極限值，即，△x→0，包括△x→0＋，與△x→0－，因此，在判定分段函式在「分界點」處的導數是否存在時，要驗證其左、右極限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定這點存在導數，否則不存在導數.
[例3]求在點和處的切線方程。
錯因：直接將，看作曲線上的點用導數求解。
分析：點在函式的曲線上，因此過點的切線的斜率就是在處的函式值；
點不在函式曲線上，因此不能夠直接用導數求值，要通過設切點的方法求切線．
解：即過點的切線的斜率為4，故切線為：．
設過點的切線的切點為，則切線的斜率為，又，
故，。即切線的斜率為4或12，從而過點的切線為：
點評： 要注意所給的點是否是切點．若是，可以直接採用求導數的方法求；不是則需設出切點座標．
[例4]求證：函式圖象上的各點處切線的斜率小於1，並求出其斜率為0的切線方程.
分析： 由導數的幾何意義知，要證函式的圖象上各點處切線的斜率都小於1，只要證它的導函式的函式值都小於1，因此，應先對函式求導後，再進行論證與求解.
解：（1），即對函式定義域內的任一，其導數值都小於，於是由導數的幾何意義可知，函式圖象上各點處切線的斜率都小於1.
（2）令，得，當時，；當時，，
曲線的斜率為0的切線有兩條，其切點分別為與，切線方程分別為或。
點評： 在已知曲線切線斜率為的情況下，要求其切線方程，需要求出切點，而切點的橫座標就是的導數值為時的解，即方程的解，將方程的解代入就可得切點的縱座標，求出了切點座標即可寫出切線方程，要注意的是方程有多少個相異實根，則所求的切線就有多少條.
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