(時間：120分鐘；滿分：150分)
一、選擇題(本大題共12小題．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．一質點的運動方程是s＝5－3t2，則在一段時間[1,1＋δt]內相應的平均速度為( )
a．6＋3δtb．6－3δt
c．－6＋3δt d．－6－3δt
解析：選d.直接計算.
2．下列各式正確的是( )
a．(sinα)′＝cosα(α為常數) b．(cosx)′＝sinx
c．(sinx)′＝cosx d．(x－5)′＝－x－6
解析：選c.由導數的運算法則易得，注意a選項中的α為常數，所以(sinα)′＝0.
3．設f(x)＝xlnx＋x，若f′(x0)＝3，則x0＝( )
a．e2 b．e
c. d．ln2
解析：選b.∵f(x)＝xlnx＋x，∴f′(x)＝lnx＋2.
又∵f′(x0)＝3，∴x0＝e.
4．下列四個函式，在x＝0處取得極值的函式是( )
①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.
a．①② b．②③
c．③④ d．①③
解析：選b.函式y＝x2＋1在x＝0處的導數為0，並且導數在x＝0兩側的符號相反；函式y＝|x|在x＝0處顯然取到極小值．
5．已知函式f(x)可導，則等於( )
a．f′(1) b．不存在
c. f′(1) d．以上都不對
解析：選a.
＝＝f′(1)．
6．已知函式y＝f(x)，其導函式y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)( )
a．在(－∞，0)上為減函式
b．在x＝0處取極小值
c．在(4，＋∞)上為減函式
d．在x＝2處取極大值
解析：選c.在(－∞，0)上，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，0)上為增函式，a錯；在x＝0處，導數由正變負，f(x)由增變減，故在x＝0處取極大值，b錯；在(4，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)為減函式，c對；在x＝2處取極小值，d錯．
7．若甲的運動方程為s1(t)＝et－1，乙的運動方程為s2(t)＝et，則當甲、乙的瞬時速度相等時，t的值等於( )
a．1 b．2
c．3 d．4
解析：選a.需先求甲、乙的瞬時速度，即先求s1(t)、s2(t)的導數，s1′(t)＝et，s2′(t)＝e，即et＝e，∴t＝1.
8．函式f(x)＝x2－2lnx的單調遞減區間是( )
a．(0,1] b．[1，＋∞)
c．(－∞，－1]，(0,1) d．[－1,0)，(0,1]
解析：選
由f′(x)≤0結合x>0得09．已知直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b切於點(1,3)，則b的值為( )
a．3 b．－3
c．5 d．－5
解析：選a.點(1,3)在直線y＝kx＋1上，
∴k＝2.
∴2＝f′(1)＝3×12＋aa＝－1，
∴f(x)＝x3－x＋b.
∵點(1,3)在曲線上，
∴b＝3.
10．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3是r上的單調增函式，則b的取值範圍是( )
a．b<－1或b>2 b．b≤－2或b≥2
c．－1解析：選由於函式在r上單調遞增，∴x2＋2bx＋(b＋2)≥0在r上恆成立，
即δ＝(2b)2－4(b＋2)≤0，解得－1≤b≤2.
11．已知函式f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f(－1)與f(1)的大小關係是( )
a．f(－1)＝f(1) b．f(－1)c．f(－1)>f(1) d．無法確定
解析：選
∴f′(1)＝2＋2f′(1)．
∴f′(1)＝－2.
∴f(x)＝x2－4x.
∴f(1)＝－3，f(－1)＝5.
故f(－1)>f(1)．
12．把乙個周長為12 cm的長方形圍成乙個圓柱，當圓柱的體積最大時，該圓柱底面周長與高的比為( )
a．1∶2 b．1∶π
c．2∶1 d．2∶π
解析：選c.設圓柱高為x，底面半徑為r，
則r＝，圓柱體積v＝π2·x
＝(x3－12x2＋36x)(0v′＝(x－2)(x－6)，當x＝2時，v最大．
二、填空題(本大題共4小題，把答案填在題中的橫線上)
13．函式y＝在x＝1處的導數為________．
解析：y′＝，∴y′|x＝1＝－.
答案：－
14．函式f(x)＝x3－x的單調增區間為________．
解析：f′(x)＝3x2－1>0，
∴x>或x<－.
答案15．電動自行車的耗電量y與速度x之間有如下關係：y＝x3－x2－40x(x>0)，為使耗電量最小，則速度應定為________．
解析：由y′＝x2－39x－40＝0，
得x＝－1(捨去)或x＝40.
當040時，y′>0，
所以當x＝40時，y有最小值．
答案：40
16．函式y＝5－36x＋3x2＋4x3在區間[－2，＋∞)上的最大值是________，最小值是________．
解析：y′＝－36＋6x＋12x2，令y′＝0，得x1＝－2，x2＝.當x＞時，函式為增函式，所以無最大值；當－2≤x≤時，函式為減函式，f()＝－28，故最小值為－28.
答案：不存在 －28
三、解答題(本大題共6小題，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．已知f(x)＝x3－4x＋4，x∈[－3,6)．
(1)求f(x)的單調區間；
(2)求f(x)的極值與最值．
解：(1)f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，
令f′(x)＝0得x＝－2或x＝2，
列表：由上表知：f(x)在(－3，－2)，(2,6)上遞增，在(－2,2)上遞減．
(2)由(1)知：f(x)的極大值是：
f(－2)＝，
f(x)的極小值是：f(2)＝－；
f(－3)＝7＞－＝f(2)，
f(－2)＝＜f(6)＝52，
∴f(x)min＝f(2)＝－，f(x)無最大值．
18．設函式f(x)＝lnx－px＋1，求函式f(x)的極值點．
解：∵f(x)＝lnx－px＋1，
則f(x)的定義域為(0，＋∞)，
f′(x)＝－p＝.
當p≤0時，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上無極值點；
當p>0時，令f′(x)＝0，則x＝∈(0，＋∞)．
f′(x)、f(x)隨x的變化情況如下表：
從上表可以看出：當p>0時，f(x)有唯一的極大值點x＝.
19．已知函式f(x)＝ax2－ax＋b，f(1)＝2，f′(1)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在(1,2)處的切線方程．
解：(1)f′(x)＝2ax－a.
由已知得
解得∴f(x)＝x2－2x＋.
(2)函式f(x)在(1,2)處的切線方程為y－2＝x－1，
即x－y＋1＝0.
20．已知函式f(x)＝x3＋ax2＋x＋a，且f′(－1)＝0.
(1)求a的值；
(2)求函式f(x)在[－1,0]上的最值．
解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋，
由f′(－1)＝0，得3－2a＋＝0，
則a＝.
(2)∵f(x)＝x3＋x2＋x＋，
∴f′(x)＝3x2＋x＋＝3(x＋)(x＋1)．
由f′(x)＝0得x＝－或x＝－1.
而f(－1)＝，f(－)＝，f(0)＝，
∴f(x)在[－1,0]上的最大值為m＝，
最小值m＝.
21．某集團為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用於廣告**．經調查，每年投入廣告費t(百萬元)，可增加銷售額約為－t2＋5t(百萬元)(0≤t≤5)，現該公司準備共投入300萬元，分別用於廣告**和技術改造．經**，每投入技術改造費x(百萬元)，可增加的銷售額約為－x3＋x2＋3x(百萬元)．為使該公司由此獲得的收益最大，求x的值．
解：設用於技術改造的資金為x(百萬元)，則用於廣告**的資金為(3－x)(百萬元)，又設由此獲得的收益是g(x)，則有g(x)＝(－x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3(0≤x≤3)，即g(x)＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)，
∴g′(x)＝－x2＋4，
令g′(x)＝0得x＝－2(捨去)或x＝2，
又當0≤x≤2時，g′(x)＞0；當2＜x≤3時，g′(x)＜0，
∴g(x)在[0,2)上是增函式，在(2,3]上是減函式，
∴當x＝2時，g(x)取最大值，即將2百萬元用於技術改造，該公司收益最大．
22．奇函式f(x)＝ax3＋bx2＋cx的圖象過點a(－，)，b(2，10)．
(1)求f(x)的表示式；
(2)求f(x)的單調區間；
(3)若方程f(x)＋m＝0有三個不同的實根，求m的取值範圍．
解：(1)∵f(x)＝ax3＋bx2＋cx為奇函式，
∴f(－x)＝－f(x)(x∈r)，∴b＝0，∴f(x)＝ax3＋cx.
∵圖象過點a(－，)，b(2，10)，∴即∴
∴f(x)＝x3－3x.
(2)∵f(x)＝x3－3x，
∴f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
∴當－1＜x＜1時，f′(x)＜0；
當x＜－1或x＞1時，f′(x)＞0，
∴f(x)的遞增區間是(－∞，－1)和(1，＋∞)，遞減區間是(－1,1)．
(3)∵f(－1)＝2，f(1)＝－2，為使方程f(x)＋m＝0，即f(x)＝－m有三個不等實根，則－2＜－m＜2，即－2＜m＜2，∴m的取值範圍是(－2,2)．
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